2022年苏教版-高一上册-期中解答压轴题（第1-3章） (解析版)

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期中解答压轴题（第1-3章）
一、解答题
1．（2020·浙江金华·高一期末）设二次函数．
(1)若，且在上的最大值为，求函数的解析式；
(2)若对任意的实数b，都存在实数，使得不等式成立，求实数c的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由，则，由在上的最大值为，可得，可得的值，可得函数的解析式；
（2）只需当时.设，，则只需 对任意的实数都成立，分类讨论可得答案.
(1)
若，则，
当时
故，解得：，故.
(2)
由题意得：存在，使.
设，，则只需 对任意的实数都成立.
1、当=0时，，此时不成立.
2、当时，在递增，故恒成立，故.
3、当时，在递增，故恒成立，故舍去.
4、当时，在上递减，在上递增，

若，则恒成立，故舍去.
若，则恒成立，故舍去.
5、当时，在上递减，故恒成立，故.
综上：或.
【点睛】关键点点睛：第二问，令，，将问题转化为 对任意的实数都成立，结合分类讨论的方法求参数范围.
2．（2020·浙江·高一期末）已知二次函数．
（1）若的解集为，解关于x的不等式；
（2）若不等式对恒成立，求的最大值．
【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)先根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，求得，代入并解一元二次不等式得结果，（2）根据二次函数图像得，即得，因此，再令化为对勾函数，利用基本不等式求最值.
【解析】（1）∵的解集为
∴，，
∴.故
从而，解得.
（2）∵恒成立，
∴，
∴∴，
令，∵ ∴，从而，
∴，令.
①当时，；
②当时， ，
∴的最大值为.
【点睛】易错点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
3．（2022·浙江宁波·高一期末）已知函数.
(1)若，写出的单调递增区间（不要求写出推证过程）；
(2)若存在，使得对任意都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）结合函数的解析式，直接写出其单调增区间即可；
（2）分类讨论，讨论 与区间的位置关系，将存在，使得对任意都有的问题转化为确定函数的最值问题.
(1)
当时，，
单调增区间为；
(2)
由题意可知即，
而，
当即时，对任意，为增函数，
对任意都有，故只需 ，
即，整理得 ，
要使b存在，需，即 ，与矛盾，故此时不合题意；
当即时，，，
，
，又，，
若时，，所以，
所以，整理得 ，
要使b存在，需，即，所以；
若，，所以，
所以，
整理得 ，要使b存在，需，即，
故此时符合题意；
当即时，对任意，，
对称轴为，
当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减。
故，又，，
当时，，故，
故，整理得到，
要使b存在，需，即，故，满足条件；
当时，，故，
故，整理得到，
要使b存在，需，即，故，满足条件；
当，即时，函数在上单调递增，
，整理得 ，
要使b存在，需，即，故此时矛盾，
综上，实数的取值范围是 .
【点睛】本题难点在于对进行讨论，并且还要注意函数值大小的比较，考查学生分类讨论的思想.
4．（2020·浙江·余姚中学高一期中）已知函数
（1）若在上有意义且不单调，求的取值范围．
（2）若非空集合，，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）根据题意得到二次函数的对称轴在之间，且在上非负，列出关于a的不等式，计算得到答案.
（2）设为方程的两个根，计算，得到，计算得到答案.
【解析】（1）当时，，
由在上有意义且不单调，可得函数的对称轴在之间，且在上非负，
∴ ，解得；
所以的取值范围为
（2）因为，，故，设为方程的两个根，结合图像可知：

，
由，故有与等解，得且，由得，
所以，
因为，∴，解得或，
又为方程的两个根，即，即，
由韦达定理知：，又，所以
∴，解得，

综上可知：的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题考查利用二次函数的性质，利用集合相等求参数，解题的关键是要利用数形结合思想，将转化成，再利用集合，构造成函数的值域关系，列出关于的不等式，考查学生的转化与划归能力，数形结合思想与运算求解能力，属于难题.
5．（2020·浙江丽水·高一期末）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若函数在上的最小值为0，求的值；
（3）当时，若函数在上既有最大值又有最小值，且恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为；（2）或；（3）或.
【分析】（1）将代入函数解析式，去掉绝对值符号，将函数写出分段函数的形式，结合二次函数的单调性，写出函数的单调递减区间；
（2）将函数解析式化为分段函数的形式，对的范围进行讨论，从而确定函数的最小值点，相互对照，求得结果；
（3）首先根据题意，判断出函数在区间上存在最值的条件，利用恒成立，转化得出对应的不等关系，进而求得其范围.
【解析】（1）当时，
由二次函数单调性知在单调递减，在单调递减，
∴的单调递减区间为
（2）
当时，在单调递减，单调递增，单调递减，
（i）当即时，
∴（舍去）
（ii）由得
当，即时，
∴，符合题意.
（iii）当，即时，
∴，符合题意.
综上所述，或.
（3）当时，由，可知
由可知
要使恒成立
∵
又∵
∴，∴
∴或.
【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的单调区间，根据分段函数的最值求参数，有关恒成立问题的转化，属于较难题目.
6．（2022·浙江大学附属中学高一期中）设函数，，令函数．
(1)若函数为偶函数，求实数a的值；
(2)若，求函数在区间上的最大值；
(3)试判断：是否存在实数a，b，使得当时，恒成立，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)

【分析】（1）首先表示出，依题意可得，即可求出参数的值；
（2）利用二次函数的性质，在区间，上的最大值应该在或处取得，分类研究即可；
（3）求出的对称轴，利用对称轴和区间，的位置关系进行分类讨论，分别研究的最大值和最小值，将问题转化为，分别求解即可得到答案．
（1）
解：因为为偶函数，
则，即，
所以对任意恒成立，所以；
（2）
解：当时，，对称轴为，
设函数在区间上的最大值为，
又，，，
所以；
（3）
解：由题意可得，，又，
对称轴为，
当，时，恒成立，等价于，
当，即时，函数在区间，上单调递增，
所以有，
因为且，
所以，与矛盾；
当，即时，在区间，上单调递减，
所以有，
因为，
所以，
故，与矛盾；
当，即时，
则有，
由①可得，结合②可得，
由①③可得，，又，
所以，即，
再结合①，则有，
解得，此时存在满足条件，
综上所述，的取值范围为，此时．
7．（2022·浙江·杭十四中高一期末）已知函数，，
(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；
(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；
(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为，；
(2)
(3)

【分析】（1）将题中的代入解析式，由对勾函数的单调性可得单调区间；
（2）解不等式，即可得到结果；
（3）将题中的式子等价变形，将问题转化为在，单调递增，结合分段函数的解析式和二次函数的图象的对称轴，分类讨论得到结果．
（1）
解：当时，，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；
（2）
解：因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增，
又因为在，上的最大值为，所以，
即，整理可得，
所以，所以，即；
（3）
解：由不等式对任意，，恒成立，
即，
可令，等价为在，上单调递增，
而，
分以下三种情况讨论：
①当即时，可得，解得，矛盾，无解；
②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增，
但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解；
③即时，此时在，上单调递增，
要想在，递增，只能，即，所以．
综上可得满足条件的的取值范围是．
8．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）已知，函数．
(1)当，请直接写出函数的单调递增区间和最小值（不需要证明）；
(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；
(3)对（2）中的，当，恒有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)递增区间为，.
(2).
(3)

【分析】（1）当时，函数去绝对值，利用分段的形式写出函数的表达式，根据二次函数的单调性可直接判断函数的单调递增区间及最值.
（2）函数去绝对值，利用分段的形式写出函数，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出最小值的表达式；
（3）构造函数，只需即可，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出函数最大值即可.
（1）
解（1）当时，，
即，则，
故函数的递增区间为，递减区间为，.
（2）
由题可知，
当时，在上递减，在递增，则；
当时，在上递减，则，
综上：．
（3）
（3）令，只需，
当，且时，，在上单调递减，
∴，
当时，，在上单调递增，
∴；
当时，，在上递减，∴，
综上可知，，所以．
9．（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）已知，设函数.
(1)若在区间内有最小值，求的取值范围；
(2)，，，求正数的最小值.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)分，两种情况讨论，根据函数的单调性及函数在上有最值求解；
（2）由题意转化为，求出的最大值，即可求出M的最小值.
(1)

①当时，由一次函数、反比例函数的单调性知在单调递增，不存在最小值；
②当时，，由对勾函数的单调性知函数在上单调递减，因为在区间内有最小值，故需，解得.
(2)
由题意可知，原问题成立只需，
注意，
设，则，
作出的图象如图，

由图象可知的最小值为，此时，
故最小值为.
【点睛】关键点点睛：原问题转化为，由二次函数求出的值域，换元为，转化为是解题的关键，属于难题.
10．（2021·浙江·瓯海中学高一阶段练习）设函数，其中，.
(1)若在上不单调，求a的取值范围；
(2)记为在上的最大值，求的最小值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据对勾函数的单调性和在上不单调可知，，解出的取值范围；（2）令，根据函数图象即函数对称性可知，当，，且时，取得最小值.
(1)
由对勾函数函数单调性的定义可知：在上递减，在上递增，因此在上不单调的充要条件是，解得：，所以；
(2)
令，比较，，三种情况，可知当，，且时，取得最小值，且最小值为，由得：，所以，，所以，
所以的最小值为.
11．（2021·浙江杭州·高一期中）设，.
(1)若在区间上是单调函数，求a的取值范围；
(2)若存在，使得对任意的，都有成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）对称轴为，由或，解得即可；
（2）通过比较与给定区间之间的关系，分类讨论求出的最大值，利用换元法，令，得，，，原问题可转化为，再分三种情况，并结合对勾函数、二次函数的图象与性质，即可得解．
(1)
解：由题意知，对称轴，因为在区间上是单调函数，
所以或，∴或.
(2)
解：当，即时，在，上单调递减，所以；
当，即时，在，上单调递增，所以；
当，即时，在，上单调递增，在，上单调递减，所以，
综上， ，
由题意，问题转化为，
对恒成立，对函数，
令，则，，
则问题转化为：，恒成立，
①当时，对恒成立，
即，
因为，且在上恒成立，
所以恒成立，即符合题意；
②当时，对恒成立，
则对恒成立，
关于t的二次函数的对称轴在之间，开口向下，
则，解得或，即得.
③当时，对恒成立，
则对恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，所以，即，所以.
综上可得，满足题意的a的范围是：.
12．（2021·浙江·宁波市北仑区柴桥中学高一期中）设常数，函数
(1)若，求的单调区间；
(2)若为奇函数，且关于的不等式在内有解，求实数的取值范围；
(3)当时，，若任意，存在，且，使，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；
(2)
(3)

【分析】（1）将函数写成分段函数形式，再判断函数单调性；
（2）根据函数的奇偶性求得，构造，使；
（3）根据由已知可知函数在上的值域与的范围，的取值范围分情况讨论.
(1)
解：，则，故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
(2)
解：由为奇函数，得，即，解得，故函数，又在内有解，即在内有解，设，在上单调递减，故；
(3)
解：在单调递增，故，又函数，函数在和上单调递增，在上单调递减，故或，即或，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
故，无解；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
故，解得：，
综上所述，.
13．（2021·浙江·镇海中学高一期中）已知．
(1)当时，求的值域；
(2)对任意和任意，都有恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)的值域为；
(2)实数a的取值范围为.

【分析】(1)设，将原函数转化为二次函数，再结合二次函数性质求值域；(2)先考虑函数任意恒成立可得a，x的关系，再根据不等式关于恒成立求实数a的取值范围．
(1)
∵ ，，
∴ ，
∴ ，
设则，，且，
∴ ，
∴ 的值域为；
(2)
可化为
，
∵对任意，都有恒成立，
∴ ，
∴
∴
∴，又，
∴ ，设，则，且
∵ 对任意，都有恒成立，
∴对任意，都有，
∴ ，
∵ 函数，在上为减函数，
∴，
∴ 实数a的取值范围为.
14．（2021·浙江·台州市书生中学高一阶段练习）若存在实数x0与正数a，使x0+a，x0﹣a均在函数f（x）的定义域内，且f（x0+a）＝f（x0﹣a）成立，则称“函数f（x）在x＝x0处存在长度为a的对称点”．
（1）设f（x）＝x3﹣3x2+2x﹣1，问是否存在正数a，使“函数f（x）在x＝1处存在长度为a的对称点”？试说明理由．
（2）设g（x）＝x（x＞0），若对于任意x0∈（3，4），总存在正数a，使得“函数g（x）在x＝x0处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围．
【答案】（1）存在，理由见解析；（2）（0，9]．
【分析】（1）由f（1+a）＝f（1﹣a），代入化简即可求出正数a；
（2）令g（x）＝c，则xc，即x2﹣cx+b＝0必须有两正根，且两根的算术平均数为x0，即可求b的取值范围．
【解析】（1）∵f（1+a）＝f（1﹣a），
∴（1+a）3﹣3（1+a）2+2（1+a）﹣1＝（1﹣a）3﹣3（1﹣a）2+2（1﹣a）﹣1，
∴a（a+1）（a﹣1）＝0，
∵a＞0，∴a＝1；
（2）令g（x）＝c，则xc，即x2﹣cx+b＝0（*）．
由题意，方程（*）必须有两正根，且两根的算术平均数为x0，
∴c＞0，b＞0，c2﹣4b＞0，x0，
∴0＜b＜x02对一切意x0∈（3，4）均成立，
∴b的取值范围为（0，9]．
15．（2021·浙江·高一期中）已知函数，函数，其中
（1）若恒成立，求实数t的取值范围；
（2）若，
①求使得成立的x的取值范围；
②求在区间上的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）将问题转化为“恒成立”，然后根据与的大小关系求解出的取值范围；
（2）①分别考虑时不等式的解集，由此确定出成立的的取值范围；
②先将写成分段函数的形式，然后分段考虑的最大值，其中时注意借助二次函数的单调性进行分析.
【解析】（1）因为恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，所以，解得，
所以；
（2）①当时，，所以，解得；
当时，，所以，
因为，所以，
所以无解，
综上所述：的取值范围是；
②由①可知：，
当时，，所以，所以；
当时，的对称轴为，所以，
且，所以，
令，所以，所以，
综上可知：.
【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对取最小值函数（）的理解以及分类讨论思想的运用，通过分类讨论的思想确定出的解析式，再分析对应的每段函数的最大值，从而确定出的最大值.
16．（2021·浙江·高一期末）已知函数，其中常数．
（1）若函数分别在区间，上单调，试求的取值范围；
（2）当时，方程有四个不相等的实数根，，，．
①证明：；
②是否存在实数，，使得函数在区间单调，且的取值范围为．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；证明见解析，(2)
【分析】（1）原函数即，可设，运用双勾函数分析；
（2）当时，方程即为或，由韦达定理可证明．结合函数图像及其单调性，分类讨论分别在四个单调区间内去求解，最后求并集即可．
【解析】（1）原函数即设
∵ ∴函数分别在区间上单调 且
要使函数分别在区间上单调
则只需
所以的取值范围为
（2）①当时，或
即或
∵为方程的四个不相等的实根
∴由根与系数的关系得
②如图，可知，在、、、均为单调函数

（Ⅰ）当时，在上单调递减
则两式相除整理得
∵ ∴上式不成立 即无解，无取值.
（Ⅱ）当时，在上单调递增
则即在有两个不等实根
而令 则
作在的图像可知，
（Ⅲ）当时，在上单调递减
则两式相除整理得
∴ ∴ ∴
由得
则关于的函数是单调的，而应有两个不同的解
∴此种情况无解                                       
（Ⅳ）当时，同（Ⅰ）可以解得无取值
综上，的取值范围为
【点睛】由单调性求参数范围常用的方法是，先求出函数的单调区间（含有参数），题目中给出的单调区间应是所求区间的子集，从而把问题转化为由集合关系求参数范围问题．含参数的值域问题，不论是求值域还是把值域作为已知条件的，都按照求值域的步骤运算，当遇到困难时，要注意对参数的分类讨论．
17．（2021·浙江省杭州学军中学高一开学考试）设，已知函数.
（1）若是奇函数，求的值；
（2）当时，证明：；
（3）设，若实数满足，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）由于函数的定义域为，进而结合奇函数即可得；
（2）采用作差比较大小，整理化简得；
（3）令，，进而得，再结合题意即可得，再分和两种情况讨论，其中当时，结合（2）的结论得，等号不能同时成立.
【解析】解：（1）由题意，对任意，都有，
即，亦即，因此；
（2）证明：因为，，


.
所以，.
（3）设，则，
当时，；
当时，；
，，
所以.
由得，即.
①当时，，，所以；
②当时，由（2）知，
，等号不能同时成立.
综上可知.
【点睛】本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域，进而结合题意得，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题.
18．（2020·浙江·绍兴鲁迅中学高一阶段练习）设函数，其中为常数且.新定义：若满足，但，则称为的次不动点.
（1）当时，分别求和的值；
（2）求函数在上的次不动点.
【答案】（1）；；（2）；
【解析】（1）当时，分别计算出，，再代入解析式继而求出，.
（2）根据次不动点的定义，分别讨论或，代入解析式即可求解.
【解析】（1）当时， ，
，，
，
.
（2）

当时，由，解得，
由于，故不是的次不动点，
当时，由，
解得，
因为，
所以是的次不动点，
当时，由，解得，
，故不是的次不动点，
当时，由，
解得，
，
即是的次不动点，
所以函数在上的次不动点为；
【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的计算能力，属于较难题.
19．（2020·浙江·瑞安市上海新纪元高级中学高一期末）若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数.
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值.
参考公式：，的中点坐标为
【答案】（1）－1或3；（2）；（3）.
【解析】（1）将，代入 ，求出，令，解方程求不动点即可；
（2）由有两个不动点，即有两个不等实根，可通过判别式大于0得到关于参数，的不等式，不等式恒成立转化为即可．
（3）可以先设出两点的坐标分别为，，，，可以得到，根据根与系数的关系，题设中的条件转化为，化为，至此，求参数的问题转化为求关于的函数最小值的问题．
【解析】（1），由，
解得或，所以所求的不动点为－1或3.
（2）令，则①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，
即恒成立，
则，故
（3）设，，，
又的中点在该直线上，所以，
∴，
而、应是方程①的两个根，所以，即，
∴
∴当时，.
【点睛】本题考点是二次函数的性质，主要考查二次函数、方程的基本性质、不等式的有关知识，同时考查函数思想、数形结合思想、逻辑推理能力和创新意识．
20．（2021·浙江·高一期末）已知幂函数在上单调递增，函数．
（1）求m的值；
（2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．
（3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由幂函数的定义，再结合单调性即得解.
（2）求解，的值域，得到集合，，转化命题是成立的必要条件为，列出不等关系，即得解.
（3）由（1）可得，根据二次函数的性质，分类讨论和两种情况，取并集即可得解.
【解析】（1）由幂函数的定义得：，或，
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当时，在上单调递增，符合题意；
综上可知：.
（2）由（1）得：，
当时，，即，
当时，，即，
由命题是成立的必要条件，则，显然，则，即，
所以实数k的取值范围为：.
（3）由（1）可得，二次函数的开口向上，对称轴为，
要使在上单调递增，如图所示：
或
即或，解得：或.
所以实数k的取值范围为：
【点睛】关键点点睛：本题考查幂函数的定义及性质，必要条件的应用，已知函数的单调性求参数，理解是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集是解题的关键，考查学生的分析试题能力与分类讨论思想，及数形结合思想，属于较难题.
21．（2022·江苏·南京市中华中学高一阶段练习）设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，试证明中还有另外两个元素；
(2)集合是否为双元素集合，并说明理由；
(3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
【答案】(1)证明见解析；
(2)不是，理由见解析；
(3).

【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可；
（2）根据条件求出元素间的规律即可；
（3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可.
（1）
由题意得若，则；
又因为，所以；
即集合中还有另外两个元素和.
（2）
由题意，若（且），则，则，若则；
所以集合中应包含，故集合不是双元素集合.
（3）
由（2）得集合中的元素个数应为3或6，
因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积，
所以中应有6个元素，且其中一个元素为，
由结合条件可得，
又因为，所以剩余三个元素和为，即，
解得，
故.
22．（2022·江苏·高邮市第一中学高一开学考试）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合与是否为“和谐集”（不必写过程）；
(2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
【答案】(1)不是“和谐集”，不是“和谐集”
(2)证明见解析
(3)7

【分析】（1）由“和谐集”的定义判断
（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明
（3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解
（1）
对于，去掉2后，不满足题中条件，故不是“和谐集”，
对于，去掉3后，不满足题中条件，不是“和谐集”
（2）
设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，
故的奇偶性相同
①若为奇数，则为奇数，易得为奇数，
②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合B也是“和谐集”，
若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知为奇数
综上，集合中元素个数为奇数
（3）
由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”，
当时，不妨设，若A为“和谐集”，
去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”
当，设，
去掉1后，，
去掉3后，，
去掉5后，，
去掉7后，，
去掉9后，，
去掉11后，，
去掉13后，，
故是“和谐集”，元素个数的最小值为7
23．（2022·上海市南洋模范中学高一开学考试）设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质.
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合；
(2)若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质；
(3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由.
【答案】(1);
(2)证明见解析;
(3)不存在，理由见解析.

【分析】（1）根据题意直接写出即可.
（2）根据性质可知，分别说明集合中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可.
（3）由题意可知，且不是单元素集，令，,且 ，则可分别说明当与当时矛盾.
（1）

（2）
若集合具有性质，不妨设,
由非空数集具有性质，有.
①若,易知此时集合具有性质.
②若实数集只含有两个元素，不妨设，
由，且，解得，此时集合具有性质.
③若实数集含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素，
则有,由于集合具有性质，
所以有，这说明集合具有性质.
（3）
不存在具有性质的非空实数集,使得集合具有性质.
由于非空实数集具有性质,令集合,
依题意不妨设.
因为集合具有性质,所以.
若,则,否则,这与矛盾.
故集合不是单元素集.
令,且 ，
①若,可得,即,这与矛盾;
②若,由于,所以,因此,这与矛盾.
综上可得:不存在具有性质的非空实数集,使得集合具有性质.
24．（2022·重庆南开中学高一阶段练习）对于任意的，记集合，，若集合A满足下列条件：①；②，且，不存在，使，则称A具有性质Ω.如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质Ω.
(1)写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质Ω.
(2)证明：不存在A､B具有性质Ω，且，使.
(3)若存在A､B具有性质Ω，且，使，求n的最大值.
【答案】(1)，中的元素个数分别为9，14，不具有性质．
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）由已知条件能求出集合，中的元素个数，并判断出不具有性质．
（2）假设存在，具有性质，且，使．其中，2，3，，，从而，由此推导出与具有性质矛盾．从而假设不成立，即不存在，具有性质，且，使．
（3）当时，不存在，具有性质，且，使．，根据、、分类讨论，能求出的最大值为14．
（1）
解： 对于任意的，记集合，2，3，，，．当时，；
当时，，集合，中的元素个数分别为9，，
集合满足下列条件：①；②，，且，不存在，使，则称具有性质，
因为，，，，不符合题意，
不具有性质．
（2）
证明：假设存在，具有性质，且，使．其中，2，3，，．
因为，所以，
不妨设．因为，所以，．
同理，，．因为，这与具有性质矛盾．
所以假设不成立，即不存在，具有性质，且，使．
（3）
解：因为当时，，由（2）知，不存在，具有性质，且，使．
若，当时，，
取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，，
则，具有性质，且，使．
当时，集合中除整数外，其余的数组成集合为，
令，，
则，具有性质，且，使．
当时，集中除整数外，其余的数组成集合，
令，．
则，具有性质，且，使．
集合中的数均为无理数，
它与中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令，，则，且．
综上，所求的最大值为14．
25．（2022·北京·清华附中朝阳学校高一阶段练习）已知集合(且），，且．若对任意（），当时，存在()，使得，则称是的元完美子集．
(1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；
①；              ②．
(2)若是的3元完美子集，求的最小值；
(3)若是（且）的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件．
【答案】(1)不是的3元完美子集；是的3元完美子集；理由见解析
(2)12
(3)证明见解析；等号成立的条件是且

【分析】（1）根据元完美子集的定义判断可得结论；
（2）不妨设．由，，分别由定义可求得的最小值；
（3）不妨设，有．是中个不同的元素，且均属于集合，此时该集合恰有个不同的元素，显然矛盾．因此对任意，都有，由此可得证.
(1)
解：（1）①因为，又，所以不是的3元完美子集．
②因为，且，而，
所以是的3元完美子集．
(2)
解：不妨设．
若，则，，，与3元完美子集矛盾；
若，则，，而，符合题意，此时．
若，则，于是，，所以．
综上，的最小值是12．
(3)
证明：不妨设．
对任意，都有，
否则，存在某个，使得．
由，得．
所以是中个不同的元素，且均属于集合，
该集合恰有个不同的元素，显然矛盾．
所以对任意，都有．
于是．
即．
等号成立的条件是且．
26．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，对于定义域内任意都满足.
(1)求的解析式；
(2)已知定点，且是（）图像上任意一点，那么求、两点距离的最小值；（直角坐标平面上两点、的距离公式为）.
(3)若不等式：，对于任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3)

【分析】（1）定义域为，由定义域内任意都满足方程可得，可求得，再由，解出a即可；
（2）由两点距离公式整理得，令，，由双勾函数性质讨论最小值即可；
（3）由对任意恒成立，得，化简不等式成，即可对k分类讨论，即可以去绝对值，分离参数，由双勾函数性质讨论不含参数部分的最值.
（1）
定义域为，又对于定义域内任意都满足，则有，∴，
由，，∴，∴；
（2）
，（），
令，，则由双勾函数性质易得在即时取得最小值，所以∴
∴当，即时，，即、两点距离的最小值为；
（3）
∵不等式对任意恒成立，且，∴，
由，，
当时，则不等式恒成立等价于对于任意恒成立，
令，，由双勾函数性质易得在即时取得最小值，则在，单调递增，故，∴，与无交集，故k不存在；
当时，则不等式恒成立等价于，对于任意恒成立，
当时，显然成立，故等价于对于任意恒成立，
令，，由双勾函数性质易得在即时取得最小值，则在，单调递减，故，∴；
综上，.
【点睛】含参不等式恒成立问题， 一般将参数分离出来，研究不含参数部分的单调性，从而得出最值；或者直接对参数分类讨论.
27．（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)在，上单调递增，证明见解析
(3)

【分析】（1）利用奇函数的性质，结合（1），求解方程组，得到，的值，检验即可；
（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；
（3）将问题转化为，利用的单调性求出，分，和三种情况，利用的单调性求出，即可得到答案.
(1)
因为函数是定义在，上的奇函数，且（1），
则，解得，，
所以函数，
经检验，函数为奇函数，
所以，；
(2)
在，上单调递增.
证明如下：设，
则，
其中，，
所以，即，
故函数在，上单调递增；
(3)
因为对任意的，，总存在，，使得成立，
所以，
因为在，上单调递增，
所以，
当时，；所以恒成立，符合题意；
当时，在，上单调递增，则（1），
所以，解得；
当时，函数在，上单调递减，则，
所以，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
28．（2022·上海交大附中高一期末）定义域为的函数，对于给定的非空集合，，若对于中的任意元素，都有成立，则称函数是“集合上的函数”.
(1)给定集合，函数是“集合上的函数”，求证：函数是周期函数；
(2)给定集合，，若函数是“集合上的函数”，求实数、、所满足的条件；
(3)给定集合，函数是集合上的函数，求证：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，，；
(3)证明见解析.

【分析】（1）推导出且，可得出，由此可证得结论成立；
（2）由已知可得对任意的恒成立，由此可得出、、所满足的条件；
（3）利用函数的定义、函数周期性的定义结合充分条件、必要条件的定义可证得结论成立.
(1)
证明：由题意可知，对任意的，，可得，
对任意的，，所以，，
因此，函数为周期函数.
(2)
解：由题意可知，对任意的，，
即，可得对任意的恒成立，
所以，，即，，.
(3)
证明：若函数是周期函数，设其周期为，
因为函数是集合上的函数，
则存在、，使得，
所以，，，
对任意的，，
所以，，
所以，对任意的，，
对任意的，，
并且，
所以，对任意的，为常数，
即“是周期函数”“是常值函数”；
若函数是常值函数，对任意的、，成立，
且，所以，函数是周期函数.
即“是周期函数”“是常值函数”.
综上所述，“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，本题第三问的难点在于利用函数的周期性推导出函数为常值函数，需要充分利用题中“函数”的定义结合函数值的不等关系以及函数的周期性来进行推导.