(新高考)高考数学一轮复习第53讲《圆锥曲线的综合应用-最值、范围问题》达标检测(解析版)

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《圆锥曲线的综合应用——最值、范围问题》达标检测

[A组]—应知应会
1．（•庐阳区校级模拟）已知P为抛物线y2＝4x上一点，Q为圆（x﹣6）+y2＝1上一点，则|PQ|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设点P的坐标为（m2，m），圆（x﹣6）2+y2＝1的圆心坐标A（6，0），求出|PA|的最小值，即可得到|PQ|的最小值．
【解答】解：设点P的坐标为（m2，m），圆（x﹣6）2+y2＝1的圆心坐标A（6，0），
∴|PA|2＝（m2﹣6）2+m2＝（m2﹣16）2+20≥20，
∴|PA|≥2，
∵Q是圆（x﹣6）2+y2＝1上任意一点，
∴|PQ|的最小值为2﹣1，
故选：C．
2．（•东湖区校级模拟）已知双曲线C：﹣y2＝1的离心率为，过点P（2，0）的直线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且∠AOB为钝角（其中O为坐标原点），则直线l斜率的取值范围是（　　）
A． B．（﹣，0）∪（0，）
C． D．
【分析】利用双曲线的离心率求出m，得到双曲线方程，设出直线方程，设出AB坐标，利用韦达定理结合向量的数量积转化求解k的范围即可．
【解答】解：由题意双曲线C：﹣y2＝1的离心率为，得，解得m＝2，
双曲线C：﹣y2＝1，
设直线l：x＝ty+2，与双曲线C联立得：（t2﹣2）y2+4ty+2＝0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则
y1y2＝，x1x2＝t2y1y2+2t（y1+y2）+4＝，又因为∠AOB为钝角，所以y1y2+x1x2＜0，
即＜0得出t2﹣2＞0，所以直线l的斜率k2＝，
即直线l斜率的取值范围是，
故选：A．
3．（•梅河口市校级模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，A位于第一象限，则|AF|+3|BF|的最小值是（　　）
A．2 B．2+1 C．2+2 D．2+4
【分析】设直线AB的方程为x＝my+1，A（，y1），B（，y2），联立直线与抛物线的方程消元，然后利用韦达定理可得，然后根据抛物线的定义可得|AF|+3|BF|＝，再利用基本不等式即可求出结果．
【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），设直线AB的方程为：x＝my+1，
联立方程组，消去x得：x2﹣（4m2+2）x+1＝0，
设A（，y1），B（，y2），
则有，即，
由抛物线的定义可得|AF|＝，|BF|＝+1＝，
所以|AF|+3|BF|＝，当且仅当时等号成立，
所以|AF|+3|BF|的最小值是2+4，
故选：D．
4．（•红岗区校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，若△ABF2的周长为24，则当ab2取得最大值时，该双曲线的焦点到渐近线的距离为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【分析】可设F1（﹣c，0），求得|AB|，运用勾股定理，可得△ABF2的周长，结合a，b，c的关系，可得b2＝a（6﹣a），则ab2＝a2（6﹣a），设f（x）＝x2（6﹣x），x＞0，求得导数和单调性，可得最大值，即可得到所求距离．
【解答】解：可设F1（﹣c，0），由x＝﹣c代入双曲线的方程可得y＝±＝±，
则|AB|＝，|AF2|＝|BF2|＝＝，
由题意可得+2＝24，
结合c2＝a2+b2，上式化简可得a3+ab2＝36a﹣6b2，可得b2＝a（6﹣a），
则ab2＝a2（6﹣a），
设f（x）＝x2（6﹣x），x＞0，导数为f′（x）＝12x﹣3x2，
当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减；当0＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增．
可得f（x）在x＝4处取得最大值．
即有a＝4，b2＝4×（6﹣4）＝8，即b＝2，
而焦点到渐近线的距离为d＝＝b＝2，
故选：D．
5．（•滨州三模）已知抛物线C：y2＝4x与圆E：（x﹣1）2+y2＝9相交于A，B两点，点M为劣弧上不同A，B的一个动点，平行于x轴的直线MN交抛物线于点N，则△MNE的周长的取值范围为（　　）
A．（3，5） B．（5，7） C．（6，8） D．（6，8]
【分析】过M作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得EN＝NH故△MNE的周长l＝NH+NM+ME＝MH+3，只需求得MH的取值范围即可．
【解答】解：如图，可得圆心E（1，0）也是抛物线的焦点，
过M作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得EN＝NH
故△MNE的周长l＝NH+NM+ME＝MH+3，
由可得A（2，2），
∴点A到准线的距离为2+1＝3，
MH的取值范围为（3，5）
∴△MNE的周长MH+3的取值范围为（6，8）
故选：C．

6．（•和平区校级一模）已知双曲线的右焦点到其中一条新近线的距离等于，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x﹣3y+6＝0和l2：x＝﹣1的距离之和的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得b，进而得到c，由抛物线的焦点坐标，可得p＝2，进而得到抛物线的方程．连接MF，过点M作MA⊥l1于点A，作MB⊥准线x＝﹣1于点C．由抛物线的定义，得到d1+d2＝MA+MF，再由平面几何知识可得当M、A、F三点共线时，MA+MF有最小值，因此算出F到直线l1的距离，即可得到所求距离的最小值．
【解答】解：双曲线C：（b＞0）的渐近线方程为y＝±，
右焦点（，0）到其一条渐近线的距离等于，
可得，
解得b＝2，
即有c＝，
由题意可得＝1，解得p＝2，
即有抛物线的方程为y2＝4x，
如图，过点M作MA⊥l1于点A，
作MB⊥准线l2：x＝﹣1于点C，
连接MF，根据抛物线的定义得MA+MC＝MA+MF，
设M到l1的距离为d1，M到直线l2的距离为d2，
∴d1+d2＝MA+MC＝MA+MF，
根据平面几何知识，可得当M、A、F三点共线时，MA+MF有最小值．
∵F（1，0）到直线l1：4x﹣3y+6＝0的距离为．
∴MA+MF的最小值是2，
由此可得所求距离和的最小值为2．
故选：B．

7．（春•丰台区期末）已知点P是椭圆上一点，M，N分别是圆（x﹣6）2+y2＝1和圆（x+6）2+y2＝4上的点，那么|PM|+|PN|的最小值为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
【分析】由题意画出图形，数形结合以及椭圆的定义转化求解即可．
【解答】解：如图，椭圆的a＝10，b＝8，所以c＝6，

圆（x﹣6）2+y2＝1和圆（x+6）2+y2＝4的圆心为椭圆的两个焦点，
则当M，N为如图所示位置时，|PM|+|PN|的最小值为2a﹣（2+1）＝17．
故选：C．
8．（•南岗区校级四模）已知椭圆T：的焦点F（﹣2，0），过点M（0，1）引两条互相垂直的两直线l1、l2，若P为椭圆上任一点，记点P到l1、l2的距离分别为d1、d2，则d12+d22的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】由已知求解a2，可得椭圆方程，设P（x0，y0），由l1⊥l2，得，再由P在椭圆上，转化为关于y0的二次函数求解．
【解答】解：由题意知：a2＝1+4＝5，
∴椭圆T：．
设P（x0，y0），∵l1⊥l2，且M（0，1），
∴，
又，∴＝．
﹣1≤y0≤1，∴当时，d12+d22的最大值为，
故选：D．
9．（春•黄山期末）已知平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆，A，B为长轴端点，C，D为短轴端点，动点M满足，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得点M的轨迹方程，由△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1可得a，b的值，进而求出椭圆的离心率．
【解答】解：由椭圆的方程可得A（﹣a，0），B（a，0），C（0，b），D（0，﹣b），设M（x，y），
则点M满足，所以可得＝2，整理可得x2+y2﹣ax+a2＝0，
圆心坐标为（a，0），半径r＝a，
因为△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，所以解得：a2＝6，b2＝，
所以椭圆的离心率e＝＝＝，
故选：D．
10．（•襄州区校级四模）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于△PF1F2，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用已知条件列出三角形的面积，推出不等式，然后推出椭圆的离心率的范围．
【解答】解：F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），
若存在以为半径的圆内切于△PF1F2，可得：，
∴，∴，∴（a+c）2≤2b2，则0≤a2﹣2ac﹣3c2，
∵（a+c）（a﹣3c）≥0，∴a≥3c，∴．
故选：D．
11．（•运城模拟）如图，已知F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点N，线段F1N的中点为M，线段F1N的垂直平分线MP与l2的交点P（第一象限）在椭圆上，若O为坐标原点，则的取值范围为（　　）

A． B． C． D．（0，1）
【分析】结合图形说明|F1M|＝|MN|．设点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）．由两点间的距离公式，以及焦半径公式转化求解的表达式，然后求解取值范围．
【解答】解：如图所示，点P在y轴右边，

因为PM为F1N的垂直平分线，所以|F1M|＝|MN|．
由中位线定理可得．
设点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）．由两点间的距离公式，
得
＝，同理可得|PF2|＝a﹣ex0，
所以|F2N|＝|PF1|﹣|PF2|＝2ex0，故|OM|＝ex0，
因为a＝8，，所以，故，
所以．
因为x0∈（0，8），所以．
故的取值范围为（0，1）．
故选：D．
12．（•汉阳区校级模拟）已知A，B是圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB取得最大值时，则：
（1）点P的坐标为　 　；
（2）|AB|＝　 　．
【分析】（1）根据圆的方程及两点之间的距离公式，表示出|PC|，求导，根据函数的单调性即可求得|PC|的最小值，即可求得当∠APB取得最大值时，P点坐标；
（2）根据圆的性质，即可求得|AB|．
【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心（4，1），半径为1，
要使∠APB最大，只需要∠APC最大，由，|AC|＝1，只需要|PC|最小，
设抛物线上的点P（m，n），则m2＝2n，
|PC|＝＝＝，
令g（m）＝，
可得g′（m）＝m3﹣8，令g′（m）＝m3﹣8＝0，解得m＝2，
当m＜2，g′（m）＜0，g（x）单调递减，当m＞2，g′（m）＞0，g（m）单调递增，
所以g（m）的最小值为：g（2）＝4﹣16+17＝5．由复合函数的单调性可知，
|PC|＝≥，当且仅当m＝2，n＝2时取等号，
所以P（2，2）；
（2）由（1）可知，P（2，2），所以切线长为：|PA|＝2，如图：
|PC|•|AB|＝|PA|•|AC|，|AB|＝2×1
|AB|＝．
故答案为：（1）（2，2）；（2）．

13．（春•湖南期末）已知双曲线C：﹣＝1与双曲线D：x2﹣＝1的离心率分别为e1，e2，则e1+e2的最大值为　 ．
【分析】求出双曲线的离心率然后求解和，转化求解最大值即可．
【解答】解：双曲线C：﹣＝1的离心率分别为e1＝＝，
双曲线D：x2﹣＝1的离心率分e2＝，0＜m＜4，
所以e1+e2＝＝＝，
所以当m＝2时，e1+e2取得最大值：＝2．
故答案为：2．
14．（春•安徽期末）已知点P（5，0），若双曲线的右支上存在两动点M，N，使得，则的最小值为　 　．
【分析】画出图形，利用向量的数量积的几何意义，转化为双曲线上的点到P距离的平方，然后求解最小值即可．
【解答】解：由题意，
则＝＝，的最小值，就是双曲线上的点M到P距离的平方的最小值，
设M（m，n），则：，
＝（m﹣5）2+n2＝（m﹣5）2+3m2﹣3＝4m2﹣10m+22，当m＝时，表达式取得最小值：．
故答案为：．

15．（•湖北模拟）已知点A（4，4）和抛物线y2＝4x上两点B、C，使得AB⊥BC，则点C的纵坐标的取值范围为　 　．
【分析】设，，由kAB•kBC＝﹣1得（y1+4）（y1+y2）＝﹣16，化简为关于y1的一元二次方程，该方程有解，进而可得△≥0，解不等式即得解．
【解答】解：设，，则，同理
由kAB•kBC＝﹣1得（y1+4）（y1+y2）＝﹣16，
整理得：且y1≠4，
∴，解得y2≤﹣4或y2≥12，
检验，当y2＝﹣4时，y1＝0，；当y2＝12时，y1＝﹣8；均满足条件．
故点C纵坐标的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[12，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[12，+∞）．

16．（春•达州期末）过双曲线C：﹣＝1（0＜b＜2）的一个焦点和C两支都相交的直线l与椭圆+＝1相交于点A，B．若C的离心率为，则|AB|的取值范围是　 　．
【分析】由双曲线的离心率求得b，得到椭圆方程，画出图形，即可求得|AB|的最大值；设出直线l的方程，与椭圆方程联立，由判别式大于0求得k的范围，可知直线与双曲线两支相交时k的范围，求出斜率与双曲线渐近线斜率相等时的|AB|，则答案可求．
【解答】解：双曲线C：﹣＝1的实半轴长为2，虚半轴长为b（0＜b＜2），
由C的离心率为，得，即b＝1．
∴．
椭圆方程为，如图：
不妨取双曲线的左焦点F1 （，0），由图可知，直线l截椭圆所得弦长的最大值为4；
设过F1 的直线方程为y＝k（x+），
联立，可得．①
由△＝＝16﹣4k2≥0，解得﹣2≤k≤2．
可知当k＝±2时，直线与椭圆相切．
要使直线与双曲线C两支都相交，则k∈（﹣，）．
而当k＝时，①化为．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．
∴|AB|＝＝．
∴|AB|的取值范围是[2，4]．
故答案为：[2，4]．

17．（•榆林四模）已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，定点A（1，2）和动点P都在抛物线C上，点B（2，0），则的最大值为　　 ．
【分析】根据抛物线的定义先求出p的值，再根据抛物线的性质，结合基本不等式即可求出．
【解答】解：定点A（1，2）和动点P都在抛物线C上，
∴p＝2，
∴抛物线C：y2＝4x，
设P（x，y），
∴＝＝，当x＝0时，＝0，
当x≠0时，＝≤＝，当且仅当x＝2时取等号，
故答案为：．
18．（春•内江期末）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F1，过点F和F1的直线l与抛物线在第一象限的交点为M，且抛物线在点M处的切线与直线y＝﹣x垂直，当a+b取最大值时，双曲线C的方程为　　 ．
【分析】先求出过点F，F1的直线方程，再根据导数的几何意义和抛物线在点M处的切线与直线y＝﹣x垂直，求出c的值，再根据三角代换求解最大值，然后求出双曲线方程．
【解答】解：抛物线x2＝4y的焦点为F为（0，1），双曲线C：＝1的右焦点为F1（c，0），
∴过点F，F1的直线为y＝﹣x+1，即y＝﹣x+1，
∵抛物线在点M处的切线与直线y＝﹣x垂直，
∴抛物线在点M处的切线的斜率为，
∵y＝x2，
∴y′＝x，
设点M的坐标为（x0，y0），
∴x0＝，
解得x0＝，
∴y0＝x02＝，
∴M（，），
∴＝﹣×+1，
解得c＝，
∴a2+b2＝c2＝3，令a＝cosθ，b＝sinθ，
a+b＝cosθ+3sinθ＝2sin（θ+）≤2．
当且仅当a＝，b＝时取等号，
此时双曲线方程为：．
故答案为：．
19．（春•南通期末）已知椭圆的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为，则椭圆的方程为　　；若点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围是　 　．
【分析】根据已知条件短轴长为2，△F1AB的面积为，可以求出a，b，c的值，则椭圆方程可求；再利用椭圆的性质化简并代入，即可求解的取值范围．
【解答】解：由已知可得2b＝2，即b＝1，
∵△F1AB的面积为，
∴（a﹣c）b＝，得a﹣c＝；
∵a2﹣c2＝b2＝1；
∴a＝2，c＝．
可得椭圆方程为；
∴＝＝．
令|PF1|＝m，则．
∴＝，
∵≤m≤，
∴1≤﹣m2+4m≤4；
∴1≤≤4．
故答案为：；[1，4]．
20．（•济宁模拟）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，过F2作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q坐标为且满足|F2Q|＞|F2A|，若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|＜|F1F2|成立，则双曲线的离心率的取值范围是　　 ．
【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），由x＝c，解得A的坐标，再由|F2Q|＞|F2A|，结合离心率公式可得e＜，由双曲线的定义和三点共线的性质可得2a+|F2Q|＜|F1F2|，结合离心率公式可得e的范围．
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
由x＝c，y＝±b＝±，可得A（c，），
由点Q坐标为且满足|F2Q|＞|F2A|，
可得＞，即3a2＞2b2＝2c2﹣2a2，
即c2＜a2，则e＝＜，
又|PF1|﹣|PF2|＝2a，
则|PF1|+|PQ|＝2a+|PF2|+|PQ|≥2a+|F2Q|＝2a+，
当且仅当Q，P，F2三点共线时，上式取得等号．
由题意可得＜•2c，即c＞a，可得e＝＞，
综上可得＜e＜，
故答案为：（，）．
21．（春•山西期中）设点M和N分别是椭圆C：＝1（a＞0）上不同的两点，线段MN最长为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线MN过点Q（0，2），且＞0，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围．
【分析】（1）当线段MN为长轴时，其长度最长，所以4＝2a，a＝2，于是可得椭圆C的标准方程；
（2）直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为y＝kx+2，将其与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，由△＞0解得，写出韦达定理，并求得y1y2＝，因为，所以x1x2+y1y2＞0，又解得k2＜4，故①．然后设直线OP的斜率为k'，利用点差法可得②，由①②即可求出直线OP斜率的取值范围．
【解答】解：（1）因为线段MN最长为4，所以4＝2a，即a＝2，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）由题意知，直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为y＝kx+2，
联立，整理得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，
由△＝（16k）2﹣4×（1+4k2）×12＝16（4k2﹣3）＞0，可得．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
所以y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝．
因为，所以，即k2＜4，故．
设直线OP的斜率为k'，
因为，两式相减得，所以，则，
故直线OP的斜率的取值范围是．
22．（•平阳县模拟）已知抛物线的准线与半椭圆相交于A，B两点，且．
（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）若点P是半椭圆C2上一动点，过点P作抛物线C1的两条切线，切点分别为C，D，求△PCD面积的取值范围．
【分析】（1）利用抛物线的直线方程与椭圆方程联立，结合．求解p，得到抛物线方程．
（2）设点P坐标为（x0，y0），满足．设切线PC为（x﹣x0）＝m1（y﹣y0），代入得y2﹣4m1y+4m1y0﹣4x0＝0，通过△＝0得到方程，设切点C（x1，y1），y1＝2m1，得到．设切线PD为（x﹣x0）＝m2（y﹣y0），切点D（x2，y2），可得．转化求解CD直线方程为4x﹣2y0y+4x0＝0．利用三角形的面积求解即可．
【解答】解：（1）抛物线的准线：x＝﹣，由抛物线的准线与半椭圆相交于A，B两点，且．
可得得p＝2，所以．
（2）设点P坐标为（x0，y0），满足．由题意可知切线斜率不会为0，
设切线PC为（x﹣x0）＝m1（y﹣y0），代入得y2﹣4m1y+4m1y0﹣4x0＝0，
由△＝0可得①，
设切点C（x1，y1），所以y1＝2m1，代入①可得②．
设切线PD为（x﹣x0）＝m2（y﹣y0），切点D（x2，y2），同理可得③．
由②③可知y1，y2是方程y2﹣2y0y+4x0＝0的两根，所以y1+y2＝2y0，y1•y2＝4x0，
又，，所以代入②③可知C（x1，y1），D（x2，y2）是4x﹣2y0y+4x0＝0的两根，
即CD直线方程为4x﹣2y0y+4x0＝0．
∴，
∴，
S△PCD＝＝＝，
又因为且x0∈[﹣2，0]，
．
23．（•濮阳一模）已知O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点坐标为，点A，B在该抛物线上且位于y轴的两侧，．
（Ⅰ）证明：直线AB过定点（0，3）；
（Ⅱ）以A，B为切点作C的切线，设两切线的交点为P，点Q为圆（x﹣1）2+y2＝1上任意一点，求|PQ|的最小值．
【分析】（Ⅰ）由已知求得p，可得抛物线C：x2＝2y．设直线AB的方程为y＝kx+b（b＞0），联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及数量积公式列式求解b，可得直线AB过定点（0，3）；
（Ⅱ）利用导数求得函数在A，B处的切线方程，联立解得交点纵坐标，可得两切线交点P的轨迹方程为y＝﹣3．然后结合圆心到直线的距离求解．
【解答】（Ⅰ）证明：根据题意，，∴p＝1．
故抛物线C：x2＝2y．
由题意设直线AB的方程为y＝kx+b（b＞0）．
由，消去y整理得x2﹣2kx﹣2b＝0．
显然△＝4k2+8b＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞0，x2＜0），则x1x2＝﹣2b，
∴．
由题意得b2﹣2b＝3，解得b＝3或b＝﹣1（舍去）．
∴直线AB的方程为y＝kx+3，故直线AB过定点（0，3）．
（Ⅱ）解：∵y'＝x，∴，，
故以A为切点的切线方程为y﹣y1＝x1（x﹣x1），即y＝x1x﹣y1，
以B为切点的切线方程为y﹣y2＝x2（x﹣x2），即y＝x2x﹣y2，
联立，解得．
又∵x1x2＝﹣6，∴两切线交点P的轨迹方程为y＝﹣3．
∵圆心到直线y＝﹣3的距离为3，
∴圆上一点到直线y＝﹣3的最小距离为3﹣1＝2，
故|PQ|的最小值为2．
24．（•广州二模）已知点A，B的坐标分别是（﹣，0），（，0），动点M（x，y）满足直线AM和BM的斜率之积为﹣3，记M的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）直线y＝kx+m与曲线E相交于P，Q两点，若曲线E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围．
【分析】（1）根据题意得kAM•kBM＝•＝＝﹣3，（y≠0），化简可得曲线E的方程．
（2））设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与曲线E的方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理得x1+x2，y1+y2，△＞0①，根据题意得PQ的中点也是OR的中点，得R点的坐标，再代入曲线E的方程，得2m2＝k2+3②，将②代入①得m的取值范围．
【解答】解：（1）kAM•kBM＝•＝＝﹣3，（y≠0）
化简得曲线E的方程：．（y≠0）
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）
联立，得（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6＝0，
x1+x2＝﹣，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，
△＝（2km）2﹣4×（3+k2）（m2﹣6）＝﹣12m2+24k2+72＞0，即﹣m2+2k2+6＞0，①
若四边形OPRQ为平行四边形，则PQ的中点也是OR的中点，
所以R点的坐标为（﹣，），
又点R在曲线E上得，化简得2m2＝k2+3②
将②代入①得，m2＞0，所以m≠0，由②得2m2≥3，所以m≥或m≤﹣，
当直线PQ经过（，0）时，m＝±k，代入②得m＝，不符合题意
所以m的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣]∪[，）∪（，+∞）．
25．（•沙坪坝区校级模拟）如图，O为坐标原点，过点P（0，3）作圆O的两条切线分别交椭圆于点A、B和点D、C．
（1）若圆O和椭圆C有4个公共点，求直线AB和CD的斜率之积的取值范围；
（2）四边形ABCD的对角线是否交于一个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

【分析】（1）若圆O和椭圆C有4个交点，推出r2∈（3，4），设过点P的切线方程为y＝kx+3，然后求出k的范围，直线y＝kx+3和椭圆有两个交点，转化求解直线AB和CD的斜率之积的取值范围；
（2）设AC方程，代入椭圆方程，化简，设A（x1，y1），C（x2，y2），由题设条件易知kPA+kPC＝0，推出对一切k成立，得到四边形ABCD的对角线交于定点（0，1）．
【解答】解：（1）若圆O和椭圆C有4个交点，则r2∈（3，4），
设过点P的切线方程为y＝kx+3，
则①
又因为直线y＝kx+3和椭圆有两个交点，
由y＝kx+t，代入椭圆，消去y⇒（3+4k2）x2+24kx+24＝0，②
由①②可得：，所以．
（2）设AC：y＝kx+t，椭圆，代入消去y⇒（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，
设A（x1，y1），C（x2，y2），
由题设条件易知kPA+kPC＝0，
所以＝
即对一切k成立，
所以t＝1，即直线AC过定点（0，1），
同理可得直线BD也过定点（0，1），
所以，四边形ABCD的对角线交于定点（0，1）．
26．（•兴宁区校级模拟）已知A，B是x轴正半轴上两点（A在B的左侧），且|AB|＝a（a＞0），过A，B作x轴的垂线，与抛物线y2＝2px（p＞0）在第一象限分别交于D，C两点．
（Ⅰ）若a＝p，点A与抛物线y2＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率；
（Ⅱ）若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求得抛物线的焦点坐标A，可得B的坐标，代入抛物线方程可得C，D的坐标，应用直线的斜率公式可得所求值；
（Ⅱ）可设CD：y＝kx+b（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），且x2﹣x1＝a，联立抛物线方程消去x，可得y的二次方程，应用韦达定理和判别式大于0，可得0＜kb＜p，
再由点到直线的距离公式可得O到CD的距离，应用三角形的面积和梯形的面积公式可得S1．S2，即可点到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得A（，0），B（a+，0），则C（a+，），D（，p），
又a＝p，可得C（p，p），则直线CD的斜率为＝﹣1；
（Ⅱ）可设CD：y＝kx+b（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），且x2﹣x1＝a，
由消去x，可得ky2﹣2py+2pb＝0，
△＝4p2﹣8pkb＞0，即kb＜p，
又y1+y2＝＞0，y1y2＝＞0，可得k＞0，b＞0，
则|CD|＝|x1﹣x2|＝a，
O到CD的距离为，则S1＝d•|CD|＝••a＝ab，
S2＝|y1+y2|•|x2﹣x1|＝•a＝，
则＝，∵0＜kb＜p，
∴0＜＜．

27．（•包河区校级模拟）已知圆O：x2+y2＝2，点P为椭圆C：+＝1上一点，A，B分别是椭圆C的左右顶点．
（1）若过P点的直线与圆O切于点Q（Q位于第一象限），求使得△OPQ面积最大值时的直线PQ的方程；
（2）若直线AP，BP与y轴的交点分别为E，F，以EF为直径的圆与圆O交于点M，求证：直线PM平行于x轴．
【分析】（1）设P（m，n），求得圆O的半径，运用三角形的面积公式和二次函数的最值求法、直线和圆相切的条件，可得直线PQ的方程；
（2）运用三点共线的条件：斜率相等，求得E、F的纵坐标，可得EF为直径的圆与圆O的方程相减可得交线的方程，化简整理，即可得证．
【解答】解：（1）设P（m，n），可得m2+2n2＝4，
圆O：x2+y2＝2的半径为r＝，
可得△OPQ面积S＝•＝•
＝＝，
则n＝0，m＝2时，△OPQ面积取得最大值1，此时P（2，0），
设PQ：y＝k（x﹣2），由＝，解得k＝﹣1（1舍去），
则PQ的方程为y＝﹣（x﹣2），即x+y﹣2＝0：
（2）由题意可得A（﹣2，0），设P（m，n），可得m2+2n2＝4，
又A，P，E三点共线可得＝，即yE＝；
同理由B，P，F共线可得yF＝﹣，
以EF为直径的圆的方程为x2+（y﹣）2＝，
与圆O：x2+y2＝2联立，
可得2++＝，
结合m2﹣4＝﹣2n2，
可得其交线方程为y＝n，
即有M的纵坐标与P的纵坐标相等，
故直线PM平行于x轴．
[B组]—强基必备
1．（•金凤区校级二模）已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，A，B分别为椭圆的左、右顶点，且|AB|＝4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过左顶点A的直线l与椭圆C另交于点D，与y轴交于点E，在平面内是否存在一定点P，使得恒成立？若存在，求出该点的坐标，并求△ADP面积的最大值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，结合顶点的概念和a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y＝k（x+2），联立椭圆方程，运用韦达定理，可得D的坐标，由A（﹣2，0），B（2，0），设P（m，n），在平面内假设存在一定点P，使得恒成立，运用向量数量积的坐标表示，化简整理，结合恒等式的性质，可得m，n，可得P的坐标，再由三角形的面积公式，结合基本不等式，可得所求三角形的面积的最大值．
【解答】解：（1）双曲线的离心率为＝2，由题意可得椭圆的离心率为e＝＝，
|AB|＝4，即2a＝4，即a＝2，b＝，
椭圆的方程为+＝1；
（2）过左顶点A的直线l的斜率显然存在，设为k，方程设为y＝k（x+2），可得E（0，2k），
且A（﹣2，0），B（2，0），设P（m，n），
由可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，则﹣2xD＝，即xD＝，
即有D（，），
在平面内假设存在一定点P，使得恒成立．
可得•＝（﹣m，2k﹣n）•（﹣2，）＝（﹣m）（﹣）+（2k﹣n）•＝＝0，
由于上式恒成立，可得k（4m+6）﹣3n＝0，即有4m+6＝0，且﹣3n＝0，可得m＝﹣，n＝0，
则存在P（﹣，0），使得恒成立．
此时S△ADP＝|AP|•|yD|＝ו＝，当k＝0时，S△ADP＝0；
当k≠0时，S△ADP＝≤＝，当且仅当|k|2＝，即k＝±时，取得等号．
综上可得，S△ADP的最大值为．
2．（•天河区二模）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F是抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点，点（2，4）在抛物线C2上．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A，B两点，M（0，2），直线AM与BM的斜率乘积为﹣，若在椭圆上存在点N，使|AN|＝|BN|，求△ABN的面积的最小值．
【分析】（1）先求出p的值，即可求出c的值，根据离心率求出a的值，即可得到椭圆方程，
（2）设直线l的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，根据直线AM与BM的斜率乘积为﹣，求出m＝0，再根据弦长公式求出|AB|和|ON|，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．
【解答】解：（1）∵点（2，4）在抛物线y2＝2px上，
∴16＝4p，
解得p＝4，
∴椭圆的右焦点为F（2，0），
∴c＝2，
∵椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，
∴＝，
∴a＝2，
∴b2＝a2﹣c2＝8﹣4＝4，
∴椭圆C1的方程为+＝1，
（2）设直线l的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，y1y2＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝
∵M（0，2），直线AM与BM的斜率乘积为﹣，
∴k1•k2＝•＝＝＝﹣，
解得m＝0，
∴直线l的方程为y＝kx，线段AB的中点为坐标原点，
由弦长公式可得|AB|＝＝，
∵|AN|＝|BN|，
∴ON垂直平分线段AB，
当k≠0时，设直线ON的方程为y＝﹣x，
同理可得|ON|＝＝，
∴S△ABN＝|ON|•|AB|＝8，
当k＝0时，△ABN的面积也适合上式，
令t＝k2+1，t≥1，0＜≤1，
则S△ABN＝8＝8＝8，
∴当＝时，即k＝±1时，S△ABN的最小值为．
3．（•眉山模拟）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．
（i）求四边形APBQ面积的最大值；
（ii）设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．

【分析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由短轴长可得b值，根据离心率为及a2＝b2+c2，得a值；
（Ⅱ）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝x+t，代入得x的二次方程，四边形APBQ的面积S＝＝．，而|PQ|易求，代入韦达定理即可求得S的表达式，由表达式即可求得S的最大值；②直线PA的斜率，直线PB的斜率，代入韦达定理即可求得k1+k2的值；
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．
由已知b＝2，离心率e＝，a2＝b2+c2，得a＝4，
所以，椭圆C的方程为．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3），Q（2，﹣3），则|PQ|＝6，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝x+t，代入，
得：x2+tx+t2﹣12＝0．
由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由根与系数的关系得，
四边形APBQ的面积，
故当t＝0时，；
②由题意知，直线PA的斜率，直线PB的斜率，
则
＝
＝，
由①知，
可得，
所以k1+k2的值为常数0．