湖南省长沙市明德中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题

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明德中学2022年下学期高一年级10月阶段性考试数  学2022年10月时量：120分钟    总分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={0，1，2，3}，，则（       ）A．{1，2，3}  B．C．{0，1，2，3，4}  D．【分析】利用并集的定义直接求出．【解析】解：集合，1，2，，∴．故选：．2．命题“存在，”的否定形式是（       ）A．任意， B．任意，或C．存在， D．存在，或【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在，”的否定形式是“任意，或”．故选：．3．已知，则（       ）A．  B．C．  D．【分析】对于，结合不等式的性质，即可求解，对于，结合特殊值法，即可求解，对于，结合函数的单调性，即可求解，对于，结合作差法，即可求解．【解析】解：对于，，，，，故错误，对于，令，，，满足，但，故错误，对于C，，，在上单调递增，，故C正确．对于D，，，，故D错误，故选：C．4．在下列四组函数中，与表示同一函数的是（       ）A．，B．，C．，D．，【分析】直接利用同一函数的定义和函数的定义域的应用判断、、、的结论．【解析】解：对于，，，故错误；对于，，故正确；对于，，故错误；对于，，，，，，故错误．故选：．5．当时，函数的最小值为（       ）A． B． C． D．4【分析】由，利用基本不等式的性质求解即可；【解析】解：∵，∴∴当且仅当时，即等号成立∴函数的最小值为故选：A．6．命题“任意，”为真命题的一个必要不充分条件是（       ）A． B． C． D．【分析】命题“，”为真命题，可得，令，，，利用二次函数的单调性即可得出函数取得最小值，进而判断出结论．【解析】解：命题“，，”为真命题，∴令，，，则函数在，上单调递增，∴时，函数取得最小值，．∴．因此命题“任意，”为真命题的一个必要不充分条件是．故选：A．7．已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（       ）A． B．C．  D．【分析】利用二次函数根的分布求解即可．【解析】解：令，则由已知可得函数与轴有两个不同的交点，且都在2的右侧，如图所示：由图可得：，解得：，故的取值范围为：，故选：．8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数（）称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（       ）A．1 B． C． D．【分析】由题意可得或或或，画出可行域，计算出面积即可．【解析】解：由题意可得或或或，画出可行域，如图所示，点集所表示的平面区域的面积是4，故选：． 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．已知，，且，，则a取值可能为（       ）A． B．0 C．1 D．2【分析】由已知中 且，，代入可构造关于的不等式，解不等式结合，可得满足条件的值．【解析】解： 且，，即，解得：，又，，或，或，故满足条件的的取值集合为，1，，故选：．10．下列命题，其中正确的命题是（       ）A．函数在（0，）上是增函数B．函数在上是减函数C．函数的单调递减区间是D．已知在R上是增函数，若，则有【分析】根据二次函数的性质、反比例函数的单调性、以及函数单调性的定义逐项判断即可．【解析】解：对于的单调递增区间为，故在上是增函数，故正确；对于：函数在，上单调递减，故正确；对于：要求函数的单调减区间，只需，解得，故该函数的单调递减区间为，，故错误；对于在上是增函数，若，所以，，所以（a），（b），两式相加得（a）（b），故正确．故选：ABD．11．对于数集M，若对于任意a，，有，，则称集合M为闭集合，则下列说法中错误的是（       ）A．集合M={，0，1}为闭集合B．集合为闭集合C．正整数集是闭集合D．若集合，为闭集合，则为闭集合【分析】根据已知新定义对应各个选项逐个判断即可．【解析】解：选项：因为，，所以集合不是闭集合；选项：设，，，，则，，所以集合为闭集合，故正确；选项：设，为任意两个正整数，当时，不是正整数，所以正整数不是闭集合，故错误；选项：设，，，，由可知集合，为闭集合，2，，而，故不为闭集合，故错误．故选：．12．若x，，且满足，则下列结论正确的是（       ）A．的最小值是3  B．的最小值为6C．的最小值为2 D．的最大值为【分析】根据基本不等式及函数的单调性逐项判断即可．【解析】解：对于选项：由题干可得：，所以，，，当且仅当取得等号，所以选项错误．对于选项：由题干可得：，所以，，当且仅当取得等号，所以选项正确．对于选项：由题干可得：，，，，，当且仅当，取得等号，所以正确．对于选项：由题干可得：，令，则有知．原式在上单减，所以时即时有最大值，所以正确．故选：． 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合，若函数，，则函数的值域是________．【分析】先求解，然后根据函数的单调性进行求解即可．【解析】解：，当时，，即的值域为，，故答案为：，14．若，，则的取值范围为________．【分析】根据已知条件，结合不等式的基本性质，即可求解．【解析】解：，，，，，故的取值范围为．故答案为：15．已知集合，若集合A中所有整数元素之和为18，则实数a的取值范围是________．【分析】先由二次不等式求出集合，根据已知集合中所有整数的元素和为18可判断的范围【解析】解；由可得①若，则，则其中所有整数的元素的和不可能是18，舍去②若，则，不符合题意③若，则，由知中的整数有3，4，5，6，∴故答案为：16．函数的定义域为D，若对于任意，，当时都有，则称函数在D上为非减函数，设在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：              ①；              ②；              ③；则________；等于________．【分析】由新定义可知（1），，，当，时，，从而求得．【解析】解：，，（1），，（1），，当，时，，故，故，故，故答案为：1；  四、解答题（本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分） 已知全集U={2，4，6，8，10}，．（1）若中有3个元素，求实数t的取值范围；（2）若中有四个元素，求实数t的值．【分析】（1）若中有3个元素，则集合A中有2个元素，根据一元二次方程根的关系即可求t的值；（2）若中有4个元素，则等价为为单元素集合，然后进行求解即可．【解析】解：（1）全集U={2，4，6，8，10}，由中有3个元素，则集合A中有2个元素，即方程有两个不相等的实数解，∴，∴或，（2）中有四个元素，为单元素集合，由，解得，当时，方程化为，解得，所以，满足条件；当时，方程化为，解得，所以，不满足条件；综上知，．    18．（本题满分12分） 已知集合，．（1）若，求实数a的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）先求出集合，，若，则有，解不等式组即可；（2）根据条件便知，所以便有，或，所以解不等式即可得到的取值范围．【解析】解：（1）；∴若，则：；解得；的取值范围为；（2）是的必要不充分条件；能得到，而得不到；；∴或；∴或；∴实数的取值范围为R．   19．（本题满分12分） 如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD=2x，梯形ABCD的周长为y．（1）求出y关于x的函数的解析式；（2）若周长y大于9，求上底CD长的取值范围．【分析】（1）作，分别垂直，交于，，连结，求出，又在直角中，进一步求出，从而求出梯形的周长与间的函数解析式，根据，，可求出定义域；（2）利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．【解析】解：（1）作，分别垂直，交于，，连结．由圆的性质，是中点，设，．又在直角中，，，其定义域是； （2）令，则，且，，∵周长y大于9∴，解得：∴，∴，∴，∴上底CD长的取值范围  20．（本题满分12分）（1）若的解集为，求实数a，b的值；（2）当时，求关于x的不等式的解集．【分析】（1）题意转化为1，是方程的解，从而列方程解得；（2）根据不等式，再分类讨论求不等式的解集．【解析】解：（1）的解集为，，是方程的解，故，解得，； （2）∵，①当时，不等式的解集为或，②当时，不等式的解集为，③当时，不等式的解集为或，④当时，不等式的解集为．  21．（本题满分12分） 已知，．（1）①求的值； ②当时，求；（2）当时，求的解析式；（3）求方程的解．【分析】（1）根据自变量的范围选择对应的解析式代入求解；（2）代范围求出解析式；（3）先将方程化简一下，再求解．【解析】解：（1）①②当时，，，故． （2）由（1）知，当时，．当时，，，故．当时，，，故．所以当时，的解析式为． （3），，所以方程为解得或．  22．（本题满分12分） 已知函数，a为实数．（1）当时，判断并用定义证明函数在区间（0，1]上的单调性；（2）是否存在实数a（），使得在闭区间上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出．（2）化简函数为分段函数，通过讨论的范围，列出关系式求解即可．【解析】解：（1）当时，，当，时，，，在，上恒成立，在，上单调递减； （2），，，（先用特殊值约束范围），，在上递增，必在区间，上取最大值2．当，即时，则，，成立，当，即时，，则（舍，综上，．