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2022届湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月高考押题(全国卷)理科数学试题含答案
展开2022届湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月高考押题
理科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在(其中i为虚数单位)的展开式中,项的系数为( )
A.-1 B.1 C.-70 D.70
2.设,已知两个非空集合M,N满足,则( )
A. B. C. D.
3.已知命题,,则( )
A.命题,为假命题 B.命题,为真命题
C.命题,为假命题 D.命题,为真命题
4.已知实数a,b,,e为自然对数的底数,且,,,则( )
A. B. C. D.
5.A,B,C,D,E,F这6位同学站成一排照相,要求A与C相邻且A排在C的左边,B与D不相邻且均不排在最右边,则这6位同学的不同排法数为( )
A.72 B.48 C.36 D.24
6.已知双曲线的左、右焦点分别是,,过的直线l交双曲线C于P,Q两点且使得.A为左支上一点且满足,,的面积为,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
7.下列说法正确的是( )
A.随机变量X服从两点分布,若,则
B.随机变量,若,,则
C.随机变量X服从正态分布,且,则
D.随机变量X服从正态分布,且满足,则随机变量Y服从正态分布
8.设函数,,下列说法错误的是( )
A.当时,的图像关于直线对称
B.当时,的图象关于点成中心对称
C.当时,在上单调递增
D.若在上的最小值为-2,则的取值范围为
9.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,上面记载了一道有名的“孙子问题”,后来南宋数学家秦九韶在《算书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题,后传入西方,被称为“中国剩余定理”.现有一道同余式组问题:将正整数中,被3除余2且被5除余1的数,按由小到大的顺序排成一列数,则281是第几个数( )
A.18 B.19 C.20 D.21
10.设P为直线上一点,过P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则的最小值为( )
A. B.0 C. D.
11.如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA⊥平面ABCD,且,点E,F,G分别为棱AB,AD,PC的中点,下列说法错误的是( )
A.AG⊥平面PBD
B.直线FG和直线AC所成的角为
C.过点E,F,G的平面截四棱锥所得的截面为五边形
D.当点T在平面ABCD内运动,且满足的面积为时,动点T的轨迹是圆
12.已知函数是定义域不为R的奇函数.定义函数.下列说法错误的是( )
A.
B.在定义域上单调递增
C.函数不可能有四个零点
D.若函数仅有三个零点,,,满足且,则a的值唯一确定且
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.正六边形ABCDEF的边长为2,则______.
14.已知抛物线的焦点为F,点M为C上一点,点N为x轴上一点,若是边长为2的正三角形,则p的值为______.
15.设数列满足下列三条性质:①且;②,;③,,.则______.
16.在正三棱柱中,,底面的边长为2,用一个平面截此三棱柱,截面与侧棱,,分别交于点M,N,P,且为直角三角形,给出下列四个结论:①当为等腰直角三角形时,斜边与底面所成角的正弦值为;②当截面MNP将三棱柱截成体积相等的两个几何体时,的直角顶点一定为所在侧棱的中点;③截面面积的最大值为;④平面与三棱柱底面所成锐角的余弦值最大为.其中正确结论的序号为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生按要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(本小题满分12分)
为丰富学生在校的课余生活,某校高三年级倡导学生积极参加踢毽子、投篮、射门等体育活动.各班拟推选“运动健将”组建班级代表队参与年级组织的体育比赛,年级依据各班团体和个人项目成绩的总积分排名给予表彰.
(1)踢毽子是团体项目之一.班级人均一分钟踢毽子数不低于37个就认定为优秀.A班利用体育课进行一分钟踢毽子练习,体育委员统计出同学们的成绩(全介于10到70之间)并作出频率分布直方图如图所示(原始成绩单丢失).已知该频率分布直方图后四组“柱高”依次成等比数列,假若以这次练习的成绩做评价,该班是否能达到优秀标准?请你说明你的判断理由.
(2)年级组织的竞技比赛中设有定点投篮和射门两个个人项目,竞赛规则如下:
参赛选手从甲、乙两种方式中任选一种进行比赛,若投中或射中就称之为成功.
甲方式:从投篮、射门两项中通过抽签等可能地选择其中一个项目连续测试两次;
乙方式:从投篮、射门两项中通过抽签等可能地选择其中一个项目进行测试,若该项目成功则换另一个项目接着进行测试,否则重复测试该项目,此方式也只测试两次.
积分规则:无论选甲、乙哪种方式,若某项目首次测试成功就记5分,失败则记0分;再次测试该项目时,成功只记4分,失败仍记0分.
A班推选a同学代表班级从甲、乙两方式中选择一种参加个人项目比赛.已知a同学投篮和射门的命中率分别为,,且前后两项测试不会相互影响.以参加比赛的得分期望为标准,请问a同学该选择哪种方式?
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,为等边三角形,平面PAC⊥平面ABCD,E为PD的中点.底面ABCD为等腰梯形,,,.
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
已知数列满足,.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)求数列的前n项和.
20.(本小题满分12分)
已知函数,.
(1)若,直线l是的一条切线,求切线l的倾斜角的取值范围;
(2)求证:对于恒成立.
(参考数据:,,,,)
21.(本小题满分12分)
如图,已知椭圆的离心率为,直线与圆交于M,N两点,.
(1)求椭圆E的方程;
(2)A,B为椭圆E的上、下顶点,过点A作直线交圆O于点P,交椭圆E于点Q(P,Q位于y轴的右侧),直线BP,BQ的斜率分别记为,,试用k表示,并求当时,面积的取值范围.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面坐标系中,圆M的参数方程为(为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求圆M的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)过圆M的圆心作直线l交曲线C于A,B两点,若,求直线l的直角坐标方程.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设a,b,c都是正数,,且的最小值为1.
(1)求的值;
(2)证明:.
数学参考答案和评分标准
一、选择题
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】D
12.【答案】B
二、填空题
13.【答案】-6
14.【答案】3
15.【答案】0
16.【答案】③④.
三、解答题
17.【解析】(1)设倒数第1,2,3,4柱高的公比为q(),
则,即,
记函数,,
该函数在定义域上单调递增且,故.
利用频率分布直方图的信息可估计该班的一分钟踢毽子的平均值为
,
因为,所以A班能达到优秀标准.
(2)a同学若是选择甲方式,记得分为X,X可能的取值为9,5,4,0.
,,
,,
得分的期望值为.
a同学若是选择乙方式,记得分为Y,Y可能的取值为10,5,4,0.
,,
,,
得分的期望值为.
因为,所以a同学该选择乙方式.
18.【解析】(1)取AD的中点F,连接CF,
因为且,所以四边形ABCF是平行四边形,所以.
因为,所以.
因为平面PAC⊥平面ABCD,平面平面,
所以CD⊥平面PAC,又平面PAC,所以.
(2)方法1:如图,取PC的中点G,连接AG,EG.
因为为等边三角形,所以.
由(1)知CD⊥平面PAC,∵平面PCE,∴平面PAC⊥平面PCE.
又平面平面,∴AG⊥平面PCE,∴.
过点G作,垂足为H,连接AH.
∵,∴EC⊥平面AHG.
即为二面角的平面角.
在中,易得,∴,
在中,,,
∵EG为的中位线,∴,∴,
则,
,所以.
所以二面角的余弦值为.
方法2:取AC的中点O,∴,∴平面ABCD.
∵,∴.
以点O为坐标原点,方向为x轴正方向,方向为y轴正方向,
方向为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
,,,,
,,,
设平面PCE的法向量为,
由取,得.
设平面ACE的法向量为,
由取,得.
,
易知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.
19.【解析】由题意得,
故,而,
从而数列是以为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)知,故,
故,①
,②
①-②得
,
所以.
20.【解析】(1),设,则,
所以在上单调递增,故,即,因此.
(2)令,,
则,设函数,得,
当时,,,;
当时,,,;
当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增,
,,
所以,使得.
又.
.
所以,使得.
函数的单调性及极值情况如下表:
x | |||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
极大值 | 极小值 |
因为,所以只需证明.
由,得,
所以.
令,,
因为在上单调递减,
所以,
所以对于恒成立,即对于恒成立.
21.【解析】(1)圆心O到直线的距离为,解得,
联立解得故椭圆E的方程为.
(2)由(1)可知,点,,直线的方程为,
设点,,联立,得,
所以,,联立得,
所以,,
.
由,得,
.
令函数,
,所以函数在上单调递增,
,,所以面积的取值范围为.
22.【解析】(1)因为,所以,
又,
所以圆M的普通方程为,
曲线C的直角坐标方程为.
(2),设直线l的参数方程为(t为参数),带入得
,,
,①
,.
又,所以,
,
,
或,
带入①式满足或,
所以直线l的直角坐标方程为或.
23.【解析】(1),
因为a,b,c都是正数,且的最小值为1,所以.
(2).
若时,,,
若时,,,所以.
同理可证,,所以.
故.
华中师范大学第一附属中学2021年高考押题卷数学试题: 这是一份华中师范大学第一附属中学2021年高考押题卷数学试题,共2页。
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