(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习31《直线、平面垂直的判定及其性质》(含详解)

这是一份(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习31《直线、平面垂直的判定及其性质》(含详解)，共61页。试卷主要包含了直线与平面垂直，平面与平面垂直，垂直问题的转化关系等内容，欢迎下载使用。
考点31 直线、平面垂直的判定及其性质
（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.
理解以下判定定理：
·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.
理解以下性质定理，并能够证明：
·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

一、直线与平面垂直
1．定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α.图形表示如下：

【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．
2．直线与平面垂直的判定定理
文字语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
简记为：线线垂直⇒线面垂直
图形语言

符号语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α
作用
判断直线与平面垂直
【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线.
3．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行.
简记为：线面垂直⇒线线平行
图形语言

符号语言
⇒
作用
①证明两直线平行；
②构造平行线.
4．直线与平面所成的角
（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于.因此，直线与平面所成的角α的范围是.
5．常用结论（熟记）
（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．
（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
二、平面与平面垂直
1．定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作.图形表示如下：

2．平面与平面垂直的判定定理
文字语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
简记为：线面垂直⇒面面垂直
图形语言

符号语言
l⊥α，⇒α⊥β
作用
判断两平面垂直
3．平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
简记为：面面垂直⇒线面垂直
图形语言

符号语言

作用
证明直线与平面垂直
4．二面角
（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.
（3）二面角的范围：.
5．常用结论（熟记）
（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．
（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
（3）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
三、垂直问题的转化关系


考向一 线面垂直的判定与性质
线面垂直问题的常见类型及解题策略：
(1)与命题真假判断有关的问题．
解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定．
(2)证明直线和平面垂直的常用方法：
①线面垂直的定义；
②判定定理；
③垂直于平面的传递性()；
④面面平行的性质()；
⑤面面垂直的性质．
(3)线面垂直的证明．
证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
(4)线面垂直的探索性问题．
①对命题条件的探索常采用以下三种方法：
a．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；
b．先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；
c．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．
②对命题结论的探索常采用以下方法：
首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.

典例1 如图所示，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，下列说法中错误的是

A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】D
【解析】易知,所以平面,
又与均为以为直角顶点的等腰直角三角形,所以.
又,所以为等边三角形,
故,
所以,即.
所以平面,
同理平面.
故选D .

1．在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为
A．线段
B．线段
C．的中点与的中点连成的线段
D．的中点与的中点连成的线段

典例2 如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点．
（）求证：平面；
（）求证：直线平面；
（）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使?请说明理由．

【解析】（）∵三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，
∴，，
∴平面，
又∵平面，
∴，
又底面为等边三角形，为线段的中点，
∴，
又，
∴平面．
（）如图，连接交于点，连接，
则为的中点，
∵是的中点，∴，
又平面，平面，
∴直线平面．

（）在内的平面区域（包括边界）存在点，使，此时在线段上，证明如下：
如图，过作，交线段于点，
由（）可知，平面，
又平面，∴，
由，，得平面，
∵平面，
∴．

2．如图，在正方体中，E为棱的中点，F为棱BC的中点．

（1）求证：AE⊥DA1；
（2）在线段AA1上求一点G，使得AE⊥平面DFG？并说明理由．
考向二 面面垂直的判定与性质
判定面面垂直的常见策略：
(1)利用定义(直二面角)．
(2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．
(3)在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．

典例3 已知在梯形中，，分别为底上的点，且，，，沿将平面折起至平面，如图.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求多面体的体积．
【解析】（1）由平面平面，且知平面．
而平面，所以平面平面.
由，可知，即，
又平面,
所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）依题意知，多面体是三棱台，
易得高为，
两个底面面积分别是和，
故体积为．
典例4 如图,直三棱柱中,分别是的中点,.

（1）证明:平面;
（2）证明:平面平面.
【解析】（1）连接,交于点,连接,则是的中点,
因为是的中点,所以//．
因为平面平面，
所以//平面．
（2）取的中点,连接,
因为是的中点,
所以//且．
显然//,且,
所以//且，
则四边形是平行四边形.
所以//,
因为,所以.
又,
所以直线平面．
因为//,所以直线平面.
因为平面,
所以平面平面

3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．

（1）求证：OM∥平面PAB；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（3）当三棱锥C﹣PBD的体积等于时，求PA的长．
4．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，底面，，点在线段上，平面平面.

（1）请指出点的位置，并给出证明；
（2）若，求点到平面的距离.
考向三 线面角与二面角
求直线与平面所成的角的方法：
(1)求直线和平面所成角的步骤：
①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)求线面角的技巧：
在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
求二面角大小的步骤：

简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．

典例5 正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解法一：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知平面ACD，∴，
故为直角三角形．设棱长为1，则有，
∴.
设A到平面的距离为h，则有，
∴，
∴，∴.
设直线AD与平面所成的角为θ，则.
解法二：在正三棱柱中，由D为中点可证⊥平面，如图，作，∴.
又，∴AH⊥平面，∴∠为所求的线面角．
设棱长为2，在中由等面积法得，
∴.
故选B.

典例6 如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点.
（1）证明：平面⊥平面；
（2）若直线与平面所成的角为45°，求三棱锥的体积.

【解析】（1）因为三棱柱是直三棱柱，
所以，
又是正三角形的边的中点，
所以，因此平面，
而平面，
所以平面平面.
（2）如图，设的中点为，连接，

因为是正三角形，
所以，
又三棱柱是直三棱柱，
所以，因此平面，于是是直线与平面所成的角.
由题设知，所以，
在中，，
所以，
故三棱锥的体积.

5．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，底面是边长为的正三角形，且该三棱柱外接球的表面积为，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为
A． B．
C． D．
6．已知四棱锥中，底面，，，，.

（1）当变化时，点到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

典例7 已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将和分别沿DE、CE折起，使AE与BE重合，A、B两点重合后记为点P，那么二面角的大小为________．
【答案】
【解析】如图，取CD中点F，连接PF、EF.

∵EP⊥PD，EP⊥PC，∴EP⊥平面PCD，∴EP⊥CD.
∵PC=PD，∴PF⊥CD，
又PF∩PE=P，∴CD⊥平面PEF，
又EF⊂平面PEF，∴CD⊥EF，
∴∠PFE为二面角的平面角．
设正方形ABCD的边长为2，
在中，PE=1，EF=2，∴∠PFE=30°.
【名师点睛】（1）二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点.为了解题方便，可以把其放在某一特殊位置，这要具体问题具体分析.
（2）求二面角的关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
典例8 在中，，以的中线为折痕，将沿折起，如图所示，构成二面角,在平面内作，且．

（1）求证：∥平面；
（2）如果二面角的大小为，求二面角的余弦值．
【解析】（1）由得，
所以为等腰直角三角形，
由为的中点得，
以的中线为折痕翻折后仍有.
因为，所以∥，
又平面，平面，
所以∥平面．
（2）因为二面角的大小为，所以平面平面，
又平面平面,，
所以平面，因此，
又，，
所以平面，从而．
由题意，
所以在中，．
如图，设中点为，连接BF，
因为，所以，且，
如图，设的中点为，连接FG，BG，则∥，
由得，
所以为二面角的平面角，
如图，连接，在中，因为，所以．

在中，，
于是在中，．
在中，，
所以在中，．
因此二面角的余弦值为.

7．已知菱形的边长为1，，将这个菱形沿折成的二面角，则两点间的距离为
A． B．
C． D．
8．如图，多面体，平面平面，，，，是的中点，是上的点.

（1）若平面，证明：是的中点；
（2）若，，求二面角的平面角的余弦值.


1．下列说法错误的是
A．垂直于同一个平面的两条直线平行
B．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直
C．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行
D．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直
2．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中不正确的是
A． B．
C． D．
3．如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的

A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
4．若是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=

A． B．2
C． D．1
6．如图,在棱长为的正方体中,点、分别是棱、的中点，是底面上（含边界）一动点，且满足，则线段长度的取值范围是

A． B．
C． D．
7．《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？问题中“刍甍”指的是底面为矩形的屋脊状的几何体，如图1，该几何体可由图2中的八边形沿，向上折起，使得与重合而成，设网格纸上每个小正方形的边长为1，则此“刍甍”中与平面所成角的正弦值为

A． B．
C． D．
8．如图所示，在直角梯形中，，分别是上的点，，且（如图①）.将四边形沿折起，连接（如图②）.在折起的过程中，下列说法中错误的个数是

①平面；
②四点不可能共面；
③若，则平面平面；
④平面与平面可能垂直.
A．0 B．1
C．2 D．3
9．如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为AD的中点,现分别沿BE,CE将△ABE,△DCE翻折,使得点A,D重合于点F,此时二面角E-BC-F的余弦值为

　　　　 （1） （2）
A． B．
C． D．
10．如图，在正方体中，是棱上的动点，下列说法正确的是

A．对任意动点在平面内不存在与平面平行的直线
B．对任意动点在平面内存在与平面垂直的直线
C．当点从运动到的过程中，二面角的大小不变
D．当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大
11．如图,三棱锥,平面平面,若,则△的形状为__________.

12．在四面体中，平面，，，，，为棱上一点，且平面平面，则__________.
13．如图，在直三棱柱中，是的中点，，若是正三角形，则直线和平面所成的角的大小是__________.

14．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则________.

15．如图所示，在四棱锥中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当DM⊥________时，平面MBD⊥平面PCD.

16．如图所示，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，且，平面平面，，，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）若为等边三角形，为线段上的一点，求三棱锥的体积.






17．如图，已知四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.





18．如图，在四棱锥中，，，Q是AD的中点，，，，.

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.





19．如图所示，M，N，P分别是正方体的棱AB，BC，DD1上的点.

（1）若，求证:无论点P在DD1上如何移动，总有BP⊥MN;
（2）棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面⊥平面?证明你的结论.











20．在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝.沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，如图．

（1）若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF；
（2）求二面角C－AB－F的正切值．








21．如图，四边形为矩形，四边形为直角梯形，.

（1）求证:;
（2）求证:平面;
（3）若二面角的大小为,求直线与平面所成的角.








1．（2019年高考浙江卷）设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则
A．β