第14讲-全等三角形性质与判定（二）-【同步优课】2021-2022学年七年级数学下学期重难点精品讲义（沪教版）

第12讲-全等三角形的性质与判定（二）

1．   掌握全等三角形的判定定理2、3、4，并能应用四种判定说明两个三角形全等；

2．   能够综合运用各种判定方法来证明线段和角相等；

（以提问的形式回顾）

1. 全等三角形判定方法2：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为A.S.A）

2. 全等三角形判定方法3：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为 A.A.S）

3. 全等三角形判定方法4：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为：S.S.S）

小练习：

1．如图，∠A = ∠D，∠ABC = ∠DCB，则ΔABC≌ΔDCB，依据是             

2．如图，在ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，则ΔABD≌ΔACD，则ΔABD

≌ΔACD的依据是                  

3．如图，已知AB = BD，请你再附加一个条件，            使ΔABC≌ΔDBC，其理

是                 

4．如图，AB = CD，BC = AD，∠ABD = 40°，则∠BDC =           °

         第4题图               第5题图               第6题图

5．如图，AB = AC，∠B = ∠C，则ΔABE ≌ΔACD的依据是          

6．如图，在ΔABC中，AB = AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中

全等的三角形共有          对

7．如图，AD⊥BC，∠B = ∠C，BC = 10厘米，则BD =          厘米

         第7题图                        第8题图

8．有A、B、C三个三角形，其中全等的两个三角形是          

9．如图，BD = CE，∠D = ∠E，点A是DE的中点，AB = 10 厘米，则AC =      厘米

10．如图，在ΔABC中，AB = 10厘米，AC = 6厘米，DE是BC的垂直平分线，分别交

AB、BC于D、E，则ΔADC的周长是          厘米

参考答案：1、AAS     2、SSS     3、AC = DC、SSS     4、40     5、ASA

6、3     7、5     8、A与C     9、10     10、16   

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB上一点，DM⊥AB，DE=BC，过点M作ME∥BC交AB于点E，求证：DM=AC。

解析：ME∥BC可得∠B=∠DEM，所以△ABC≌△MED（ASA），所以DM=AC。

试一试：如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，求证：BD=CE

解析：△EBC≌△DCB（ASA），所以BD=CE。

例2. 如图，在ΔABC中，已知AD⊥BC，CE⊥AB，且CF = AB，求证：AD = CD

解析：根据同角的余角相等，可得∠BAD=∠FCD（或∠B=∠CFD），再证明△ABD≌△CFD（AAS），所以AD = CD。

试一试：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B。

求证：AB=DE

解析：根据AC∥DE，∠ACD=∠B，可得∠ACB=∠E，∠B=∠D，再证明△ABC≌△EDC（AAS），所以AB=DE。

例3. 如图，已知AB=CD，AC=DB，求证：∠ABO=∠DCO

解析：证明△ABC≌△DCB（SSS），可得∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，根据等式性质可得∠ABO=∠BCO。

试一试：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：∠B=∠D

解析：联结AC，证明△ABC≌△ADC（SSS），可得∠B=∠D。

1．（2021·上海嘉定·七年级期末）如图，已知AO平分∠DAE，AD=AE，AB=AC，图中全等三角形有（       ）．

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决．

【详解】

解：∵AO平分∠DAE，

∴∠1=∠2，

在△AOD和△AOE中，，

∴△AOD≌△AOE（SAS），

∴∠D=∠E，OD=OE；

在△AOC和△AOB中，，

△AOC≌△AOB（SAS）；

在△COD和△BOE中，，

∴△COD≌△BOE（ASA）；

在△DAB和△EAC中，，

∴△DAB≌△EAC（SAS）；

由上可得，图中全等三角形有4对，

故选：D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．

2．（2019·上海·七年级阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ）

A．， B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【解析】

【分析】

利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．

【详解】

解：A．∠C=90°，AB=6，不符合全等三角形的判定方法，即不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；

B．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；

C．，，，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；

D．3+4<8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．

3．（2019·上海·七年级单元测试）如图：若，且，则的长为（       ）

A．2 B．2.5 C．3 D．5

【答案】C

【解析】

【分析】

根据全等三角形的性质得AC=AB=5，由EC=AC﹣AE求解即可．

【详解】

解：∵，AB=5，

∴AC=AB=5，

∵AE=2，

∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，

故选：C．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质、线段的和与差，熟练运用全等三角形的性质是解答的关键．

4．（2021·上海嘉定·七年级期末）下列说法中错误的是（　　）

A．有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等

B．有两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

C．有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等

D．有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等

【答案】D

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】

解：A．有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等,是“ASA”,说法正确；

B．两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,是“AAS”,说法正确；

C．有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等,是“SAS”,说法正确；

D．有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,说法错误；

故选：D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定,是基础题,熟记全等三角形判定方法是解题的关键,要注意“SSA”不能判定三角形全等．

5．（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是__________________（只需填写一个）．

【答案】AB＝DE或∠ACB＝∠DCE（只需填写一个）．

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定定理（SAS，SSS）即可得出答案．

【详解】

解：添加AB＝DE，利用SSS可得△ABC≌△DEC；

添加∠ACB＝∠DCE，利用SAS可得△ABC≌△DEC；

故答案为：AB＝DE或∠ACB＝∠DCE．

【点睛】

本题考查了全等三角形判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．

6．（2021·上海金山·七年级期末）如图，有两根钢条、，在中点处以小转轴连在一起做成工具（卡错），可测量工件内槽的宽．如果测量，那么工件内槽的宽______cm．

【答案】2

【解析】

【分析】

利用SAS证明，即可得到答案．

【详解】

解：由题意得：在△BOD和△AOC中，

，

∴，

∴，

故答案为：2．

【点睛】

此题考查全等三角形的判定及性质的实际应用，正确理解题意证明是解题的关键．

7．（2021·上海市向东中学七年级期末）如图，中，，垂足分别为交于点，请你添加一个适当的条件：______________，使．

【答案】或（答案不唯一）

【解析】

【分析】

要使，现有一对直角相等，根据全等三角形的判定方法进行分析，还需要一边对应边相等，观察图形即可；

【详解】

∵，，垂足分别为D、E，

∴，

在中，，

又∵，

∴，

在和中，，

∵，

∴，即，

∴根据“”添加或；

根据“”添加．可证．

故答案填：或或均可．

故答案是或（答案不唯一）．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．

8．（2018·上海松江·七年级期末）如图，已知与全等，且、、、，，那么________度．

【答案】

【解析】

【分析】

在△ABC中，根据三角形内角和定理求得∠C=63°，那么∠C=∠E．根据相等的角是对应角，相等的边是对应边得出△ABC≌△DFE，然后根据全等三角形的对应角相等即可求得∠D．

【详解】

在△ABC中，∵∠A=72°，∠B=45°，

∴∠C=180°-∠A-∠B=63°，

∵∠E=63°，

∴∠C=∠E．

∵△ABC与△DEF全等，BC=10，EF=10，

∴△ABC≌△DFE，

∴∠D=∠A=72°，

故答案为72．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质；注意：题目条件中△ABC与△DEF全等，但是没有明确对应顶点．得出△ABC≌△DFE是解题的关键．

9．（2019·上海市兴陇中学七年级阶段练习）如图，已知AB=DB,∠1=∠2，请添加一个适当的条件，__________________使△ABC≌△DBE，并使其判定依据为S.A．S

【答案】BC=BE.

【解析】

【分析】

要使△ABC≌△DBE，已知AB=DB，由∠1=∠2得∠ABC=∠DBE，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．

【详解】

∵∠1=∠2，

∴∠ABC=∠DBE，

又AB=DB，

∴根据SAS判定△ABC≌△DBE添加BC=BE；

故答案为BC=BE.

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．

10．（2021·上海市上南中学南校七年级期末）如图，在三角形ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B与∠C相等吗？为什么？

【答案】∠B与∠C相等，理由见解答．

【解析】

【分析】

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC＝∠B+∠DFB，再根据∠FDE＝∠B，证明∠DFB＝∠EDC，然后根据边角边定理证明△DFB与△EDC全等，根据此思路写出相关的理由与步骤即可．

【详解】

解：∠B与∠C相等，

理由：∵∠FDC＝∠FDE+∠EDC，

又∵∠FDC＝∠B+∠BFD，

∴∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，

又∵∠FDE＝∠B，

∴∠BFD＝∠EDC，

在△BFD和△CDE中

，

∴△BFD≌△CDE（SAS），

∴∠B＝∠C．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键．

11．（2021·上海浦东新·七年级期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线使，交的延长线于点．试说明的理由．

解：因为（已知），

所以                (                )

因为点是边的中点，

所以               

在和中，

所以(                )

所以(                )

【答案】；两直线平行，内错角相等；；；对顶角相等；；；全等三角形对应边相等

【解析】

【分析】

把每一步的因果关系加以识别，即可运用相关的结论填写解题过程和依据．

【详解】

解：因为（已知），

所以∠E（两直线平行，内错角相等）

因为点是边的中点，

所以BD=CD．

在和中，

（对顶角相等）

所以（AAS）

所以（全等三角形的对应边相等）

【点睛】

本题考查了平行线的性质、线段的中点的定义、全等三角形的判定与性质等知识点，熟知上述各个知识点是解题的基础，根据每一步的因果关系对出现的相关的角或线段加以认真识别，是解题的关键．

12．（2021·上海黄浦·七年级期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？

解：∵BE∥CF（已知）

∴∠EBC＝∠FCB（       ）

∵∠EBC＋∠EBA＝180°，∠FCB＋∠FCD＝180°（平角的意义）

∴∠EBA＝∠FCD（       ）

∵AC＝BD（已知）

∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），

即 　 　（完成以下说理过程）

【答案】两直线平行，内错角相等；等角的补角相等；AB＝CD．证明见解析

【解析】

【分析】

根据推导过程，写出理由即可，再证△ABE和△DCF全等，可得出∠A＝∠D，从而AE∥DF．

【详解】

解：∵BE∥CF（已知），

∴∠EBC＝∠FCB（ 两直线平行，内错角相等）．

∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），

∴∠EBA＝∠FCD（ 等角的补角相等）．

∵AC＝BD（已知），

∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），

即AB＝CD．

在△ABE和△DCF中

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠A＝∠D，

∴AE∥DF．

故答案为：两直线平行，内错角相等；等角的补角相等；AB＝CD．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

13．（2020·上海浦东新·七年级期末）如图，已知点C是线段AB上一点，∠DCE＝∠A＝∠B，CD＝CE．

（1）说明△ACD与△BEC全等的理由；

（2）说明AB＝AD+BE的理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

【分析】

（1）由三角形内角和得∠D＝∠BCE，再由AAS证明三角形全等；

（2）由全等三角形的性质可得AC＝BE，AD＝BC，进而由线段的和差得结论．

【详解】

（1）∵∠DCE＝∠A，

∴∠D+∠ACD＝∠ACD+∠BCE，

∴∠D＝∠BCE，

在△ACD和△BEC中，

，

∴△ACD≌△BEC（AAS）；

（2）∵△ACD≌△BEC，

∴AD＝BC，AC＝BE，

∴AC+BC＝AD+BE，

即AB＝AD+BE．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，属于基础题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.

14．（2021·上海普陀·七年级期末）如图，已知与相交于点O，，从下列条件中补充一个条件，不一定能判定的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．

【详解】

A．，则

B．，则

C．无法证明

D．，

故选：C

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的判定：1、（SSS）三边对应相等的两个三角形全等；2、（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；3、（ASA）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；4、（AAS）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

15．（2021·上海市市西初级中学七年级期末）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

A选项，根据即可判断；B选项，根据即可判断；C选项由不能判断；D选项，根据，可得，进而根据即可判断．

【详解】

A选项：∵，

∴即．

∴在和中，

，

∴．故A选项不符合题意．

B选项：在和中，

，

∴．故B选项不符合题意．

C选项：由，，，

不能得出，故C选项符合题意．

D选项：∵，

∴，

∴在和中，

，

∴．

故D选项不符合题意．

故选C．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

16．（2019·上海·七年级单元测试）给出下列四组条件：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF；             ②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；

③∠B=∠E，AC=DF，∠C=∠F；          ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．

其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（   ）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

【答案】C

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定方法逐一判断即得答案．

【详解】

解：①若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则根据SSS能使△ABC≌△DEF；

②若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则根据SAS能使△ABC≌△DEF；

③若∠B=∠E，AC=DF，∠C=∠F，则根据AAS能使△ABC≌△DEF；

④若AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，满足有两边及其一边的对角对应相等，不能使△ABC≌△DEF；

综上，能使△ABC≌△DEF的条件共有3组．

故选：C．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，属于基础题型，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．

17．（2019·上海普陀·七年级期末）如图 ，△ACE ≌△DBF ，如果EF ，AD10 ，BC2 ，那么线段AB的长是_____．

【答案】4

【解析】

【分析】

由△ACE≌△DBF，EF得到AC=DB,所以AB=CD，再由AD=10，BC=2即可计算AB的长度.

【详解】

∵△ACE≌△DBF，EF，

∴AC=DB,

∴AC-BC=DB-BC,

∴AB=CD,

∵AD=10，BC=2，

∴AB=.

故填：4.

【点睛】

此题考查三角形全等的性质，根据全等三角形的对应边相等即可得到AB=CD,由此求值.

18．（2018·上海市兴陇中学七年级阶段练习）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，则∠ABC=∠CDE=，BC=CD,∠1=_______,所以△ABC≌_______，若测得的长为35米，则长为_______.

【答案】     ∠2     △EDC     35米

【解析】

【分析】

已知直角三角形中，一锐角相等，又有一直角边相等，所以可得到其全等，然后由全等的性质得到河宽AB的长度．

【详解】

∵CD=BC，∠1=∠2，∠ABC=∠CDE=90°，

∴Rt△ABC≌Rt△EDC，

∴AB=DE，

∴AB=35米，

故答案为∠2，△EDC，35米．

【点睛】

本题考查了全等三角形的应用；认真观察图形，找出已知条件，把实际问题转化为数学问题解决是正确解答本题的关键．

19．（2021·上海松江·七年级期末）如图，已知点A，D，C，F在同一直线上，AB//DE，BC//EF那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ）          

A．AB＝DE B．BC＝EF C． D．AD＝CF

【答案】C

【解析】

【分析】

分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS、ASA进行判断即可．

【详解】

A、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；

B、添加BC＝EF可用AAS进行判定，故本选项错误；

C、添加∠B＝∠E不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；

D、添加AD＝CF，得出AC＝DF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．

20．（2021·上海杨浦·七年级期末）在与中，，那么______．

【答案】

【解析】

【分析】

先画好图形，再利用证明再利用全等三角形的性质可得答案.

【详解】

解：如图：

在与中，

，

，

，

，

，

故答案为：3．

【点睛】

本题考查三角形全等的判定及应用，掌握全等三角形的判定定理和根据已知画出图形是解答本题的关键．

21．（2021·上海市上南中学南校七年级期末）如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，∠A＝∠F，请添加一个条件：__________________，使△ABC≌△FED．

【答案】AB＝FE或∠B＝∠E或∠ACB＝∠FDE或DE∥BC

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．

【详解】

解：∵AD＝FC，AC＝AD+CD，FD＝CF+CD

∴AC＝FD，

∵∠A＝∠F，

∴添加AB＝FE，利用SAS得出△ABC≌△FED，

添加∠B＝∠E，利用AAS得出△ABC≌△FED，

添加∠ACB＝∠FDE，利用ASA得出△ABC≌△FED，

添加DE∥BC，得出∠EDF＝∠BCA，利用ASA得出△ABC≌△FED，

故答案为：AB＝FE或∠B＝∠E或∠ACB＝∠FDE或DE∥BC．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟知全等三角形的判定条件.

22．（2021·上海奉贤·七年级期末）如图，已知，，请添加一个条件，使得，这个条件可以是_________．

【答案】BC=EC

【解析】

【分析】

添加BC=EC，由等式的性质可得∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD，进而可得∠ACB=∠ECD，然后利用SAS判定△ABC≌△DEC即可．

【详解】

解：添加BC=EC，

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD，

即∠ACB=∠ECD，

在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

故答案为：BC=EC．

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

23．（2021·上海宝山·七年级期末）如图，已知四边形中，，．为上一点，且，，交的延长线于点．

（1）和相等吗？为什么？

（2）和相等吗？为什么？

【答案】（1）相等，见解析；（2）相等，见解析

【解析】

【分析】

（1）根据平行线性质，得，，证即可；

（2）由，证得即可；

【详解】

解：（1）∵（已知），

∴（两直线平行，内错角相等），

同理可得：，

在和中，

∴，

∴（全等三角形的对应边相等），

（2）∵（已证），（已知），

∴（等量代换）．

∵（已知），

∴（两直线平行，内错角相等），

∵（已知）

∴（等式性质）

即：，

在和中，

∴，

∴（全等三角形的对应边相等）

【点睛】

考核知识点：平行线，全等三角形．熟练掌握全等三角形判定和性质是关键．

24．（2021·上海市川沙中学南校七年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．则线段AB，BE，CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

【答案】AB+BE＝CD；理由见解析．

【解析】

【分析】

先根据平行线的性质得到∠ABD＝∠EDC，然后证明△ABD≌△EDC得到AB＝DE，BD＝CD，由此即可得到AB+BE＝CD．

【详解】

解：AB+BE＝CD， 理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠ABD＝∠EDC，

在△ABD和△EDC中，

，

∴△ABD≌△EDC（AAS），

∴AB＝DE，BD＝CD，

∵DE+BE＝BD，

∴AB+BE＝CD．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．

25．（2021·上海奉贤·七年级期末）如图，已知，，说明的理由．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由已知线段得到CE=DE，利用SAS证明△ACE≌△BDE，可得AC=BD．

【详解】

解：∵AD=BC，AE=BE，

∴CE=DE，

在△ACE和△BDE中，

，

∴△ACE≌△BDE（SAS），

∴AC=BD．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力．

26．（2019·上海市松江区九亭中学七年级期中）如图（1），，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们的运动时间为．

（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；

（2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变，设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，；（2）存在，使得与全等．

【解析】

【分析】

(1)根据SAS证明△ACP≌△BPQ，利用全等三角形的性质即可得到；

(2)分两种情况：①若△ACP≌△BPQ，②若△ACP≌△BQP，利用全等三角形的性质得到对应线段相等，由此求出答案.

【详解】

（1）当时，，，

又∠A=∠B=90°，

在与中

，

∴△ACP≌△BPQ(SAS)，

，

，

，

即；

（2）①若△ACP≌△BPQ，

则，，

，

解得；

②若△ACP≌△BQP，

则，，

，

解得，

综上所述，存在，使得与全等.

【点睛】

此题考查全等三角形的判定及性质定理，（2）中利用分类思想分别利用全等三角形的性质求出未知数的值，熟练掌握三角形全等的判定及性质定理是解题的关键.

27．如图，在△ABC和△DEF中，点B、E、C、F在同一直线上，请你从以下4个等式中选出3个作为已知条件，余下的1个作为结论，并说明结论正确的理由．

① AB = DE； ② AC = DF； ③∠ABC =∠DEF； ④ BE = CF．

解：已知条件是  ①     ，   ②    ，   ④    ．

结论是   ③    ．

（或：已知条件是  ①     ，   ③    ，   ④    ．结论是    ②   ．）

说理过程：因为BE = CF（已知），

所以BE + EC = CF + EC（等式的性质）．

即BC = EF．

          在△ABC和△DEF中，

         所以△ABC≌△DEF（S．S．S）。

         所以∠ABC =∠DEF（全等三角形的对应角相等）。

28．如图，点、、、在一条直线上．如果，，且，那么．为什么？

解：因为（已知），

所以（两直线平行，内错角相等 ）．

因为，（平角的意义），

所以（等角的补角相等）．

    因为（已知），

    所以(等式性质)，

    即

    在△和△中，

     所以△≌△（），

     得（全等三角形的对应角相等），

    所以（内错角相等，两直线平行）．