数学必修 第二册9.1 随机抽样教案

《9.1.1 简单随机抽样》

 教学设计

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第九章《统计》的第一节《随机抽样》。以下是本节的课时安排：

学生在初中阶段已经学习过统计学的知识，知道了它的一些应用。为了让学生更好的了解统计学在科学研究领域的作用，课前学生以小组为单位搜集与统计学有关的故事和案例。学生已经具备一定的自主学习能力，对抽签法比较熟悉，对于随机数表法没见过，可能在学习中会遇到困难。

1. 正确理解总体、个体、样本、普查、抽样调查的概念,培养数学抽象的核心素养；

2. 理解简单随机抽样的概念，培养数学抽象的核心素养；

3. 体会用样本平均数、样本中的比例去估计总体平均数、总体中的比例，提升数学运算和数据分析的核心素养。

1.重点：普查与抽查、简单随机抽样、总体平均数与样本平均数

2.难点：简单随机抽样、总体平均数与样本平均数

（一）新知导入

在我国，食品安全问题越来越受到人们的关注，党中央、国务院和各级政府部门也高度重视，从制度建设和管理上都做了大量的、卓有成效的工作，取得了良好的效果.

【问题】　某报告称，食品质量检测人员对某品牌牛奶的抽检合格率为99.9%，你知道这一数据是怎么得到的吗？

【提示】　抽取少量的牛奶作为样本来检测得到的.

（二）简单随机抽样

知识点一  全面调查和抽样调查

为了解我校高一学生的体重指数，对全校1000名高一学生进行调查分析，测量其身高和体重，计算其体重指数.

【探究1】像这样，对每一名学生都进行调查的方法称为什么？

【提示】全面调查，又称普查．

【探究2】全校1000名高一学生和每一名学生分别称为什么？

【提示】总体，个体．

【探究3】如果从全校1000名高一学生中抽取200名进行身高和体重测量登记，计算其体重指数，并以此估计全校高一学生的体重指数，这种调查方法称为什么？

【提示】抽样调查

【探究4】抽取的200名高一学生称为什么？数字200又是什么？

【提示】样本    样本量

【做一做】某学校为了解高一1200名新入学学生的数学成绩，从中抽取了100名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的100名学生是(　　)

A．总体        B．样本       

 C．个体         D．样本量

解析：根据定义，被抽取的100名学生是样本．

答案：B

知识点二  简单随机抽样的概念

（1）一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n<N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样.

(2)常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.

【做一做】在放回简单随机抽样中，每次抽取时某一个个体被抽到的概率(　　)

A．与第几次抽样无关，第一次抽到的概率要大些

B．与第几次抽样无关，每次抽到的概率都相等

C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的概率要大些

D．每个个体被抽到的概率无法确定

解析：在放回简单随机抽样中，每次抽取时各个个体被抽到的概率都相等，与第几次抽样无关．

答案: B

知识点三  抽签法

抽签法：先给总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌。最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体．

【思考1】采用抽签法抽取样本时，为什么将编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌？

【提示】　为了使每个号签被抽取的可能性相等，保证抽样的公平性.

【思考2】抽签法有什么优点和缺点？

【提示】(1)优点：简单易行，当总体的个体数不多时，使总体处于“搅拌”均匀的状态比较容易，这时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性.

(2)缺点：仅适用于个体数较少的总体，当总体容量较大时，费时费力又不方便，另外，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样不公平.                                                                                                                                                                  

知识点四  随机数法

(1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数根据产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数．

(2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数，②用信息技术生成随机数．

【探究1】　某工厂有2 000名工人，从中选取20人参加职工代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机数法？为什么？

【提示】　采用随机数法，因为工人人数较大，制作号签比较麻烦，所以用随机数法.

【探究2】　某工厂的质检人员采用随机数法对生产的100件产品进行检查，若抽取10件进行检查，应如何对100件产品编号？

【提示】　可对这100件产品编号为：001，002，003，…，100.

知识点五  总体均值和样本均值

(1)总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则为总体均值，又称总体平均数．

(2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1,2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝.

(3)如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝.

【思考】在某地居民家庭年均收入调查中，小芳和小丽分别独立进行了简单随机抽样调查，小芳调查的样本平均数为4万，样本量为200；小丽调查的样本平均数3.6万，样本量为500，你更愿意把哪个值作为总体平均数的估计？

【解析】样本量越大，样本平均数就越接近总体的平均数，所以我们选用小丽调查的平均数作为总体的平均数．

【做一做】某学校抽取100位老师的年龄，得到如下数据：

估计这个学校老师的平均年龄.

解：＝×(32×2＋34×4＋38×20＋40×20＋42×26＋43×10＋45×8＋46×6＋48×4)＝41.1(岁)，

即这个学校老师的平均年龄约为41.1岁.

（三）典型例题

1.简单随机抽样的判断

例1.下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是(　　)

①一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件；

②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；

③某班从50名同学中，选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛；

④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．

A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3

解析：根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．因为一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件它不是“逐个”抽取．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③不是简单随机抽样．因为5名同学是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．④是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样．综上，只有④是简单随机抽样．

答案：B

【类题通法】可用简单随机抽样抽取样本的依据

(1)总体中的个体之间无明显差异；

(2)总体中个体数N有限；

(3)抽取的样本个体数n小于总体中的个体数N；

(4)逐个不放回地抽取；

(5)每个个体被抽到的可能性均为.

【巩固练习1】　(1)关于简单随机抽样的特点有以下几种说法，其中不正确的是(　　)

A.要求总体中的个体数有限

B.从总体中逐个抽取

C.这是一种不放回抽样

D.每个个体被抽到的机会不一样，与先后顺序有关

(2)下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是(　　)

A.某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本

B.为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查

C.从全班30名学生中，任意选取5名进行家访

D.为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计

解析：(1)简单随机抽样，除具有A，B，C三个特点外，还具有等可能性，每个个体被抽取的机会相等，与先后顺序无关.

(2)A中不同年级的学生身体发育情况差别较大，B，D的总体容量较大，C的总体容量较小，适宜用简单随机抽样.

答案：(1)D　(2)C

2.抽签法的应用

例2.从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴.

解：第一步，将20架钢琴编号，号码是1，2，…，20.

第二步，将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签.

第三步，将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀.

第四步，从盒中不放回地逐个抽取5个号签，使与号签上编号相同的钢琴进入样本.

【类题通法】1．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．

2．应用抽签法时应注意的问题：

(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号；

(2)号签要求大小、形状完全相同；

(3)号签要均匀搅拌；

(4)根据实际需要采用有放回或无放回抽取．

　【巩固练习2】为迎接2022年北京冬奥会，奥委会现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成奥运志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．

解：(1)将30名志愿者编号，号码分别是01,02，…，30；

(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．

(3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．

(4)从盒中不放回地逐个抽取6个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本．

3.随机数法的应用

例3.某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验，

(1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？

(2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号．

解：(1)第一步，将500袋牛奶编号为001,002，…，500.

第二步，用随机数工具产生1～500范围内的随机数．

第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本．

第四步，重复上述过程，直到产生不同的编号等于样本所需要的数量．

(2)应抽取的袋装牛奶的编号为：162,277,354,384,263,491,175,331,455,068.

【类题通法】随机数法的注意点

(1)当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数法抽取样本．

(2)用随机数法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数．

(3) 掌握利用信息技术产生随机数的方法和规则．

【巩固练习3】要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数法抽取种子，先将850颗种子按001,002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号________．

(下面抽取了随机数表第1行至第5行)．

03 47 43 73 86　36 96 47 36 61　46 98 63 71 62　33 26 16 80 45　60 11 14 10 95

97 74 24 67 62　42 81 14 57 20　42 53 32 37 32　27 07 36 07 51　24 51 79 89 73

16 76 62 27 66　56 50 26 71 07　32 90 79 78 53　13 55 38 58 59　88 97 54 14 10

12 56 85 99 26　96 96 68 27 31　05 03 72 93 15　57 12 10 14 21　88 26 49 81 76

55 59 56 35 64　38 54 82 46 22　31 62 43 09 90　06 18 44 32 53　23 83 01 30 30

解析：从随机数表第3行第6列的数2开始向右读第一个小于850的数字是227，第二个数字是665，第三个数字是650，第四个数字是267，符合题意．

答案：227,665,650,267

4.用样本的平均数估计总体的平均数

例4.从甲、乙两种玉米的苗中通过简单随机抽样各抽取10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm)

甲：25　41　40　37　22　14　19　39　21　42

乙：27　16　44　27　44　16　40　40　16　40

试估计这两种玉米的苗哪种长得高？

解：=＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，

=＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)．

所以＜．

在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数，所以估计乙种玉米的苗长得高.

【类题通法】1．平均数的计算：一般是根据公式来计算．

2．在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数，用样本中的比例估计总体中的比例．

【巩固练习4】某工厂人员及工资构成如下：

(1)求该工厂所有人员的平均工资；

(2)工资的平均数能反映该厂的工资水平吗？为什么？

解：(1)所有人员的平均工资

＝≈3 697.

(2)不能，因为大部分人员的工资不到平均工资，基本在平均工资以下．

（四）操作演练  素养提升

1.在以下调查中，不适合用普查的是(　　)

A．调查一批小包装饼干的卫生是否达标

B．调查一批袋装牛奶的质量

C．调查一个班级每天完成家庭作业所需要的时间

D．调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求

2.抽签法中确保样本代表性的关键是　(　　)

A.制签             B.充分搅拌

C.逐个抽取      D.抽取不放回

3.射箭运动员小亮在某次测试中射箭20次，测试成绩如下表：

则小亮的平均成绩为          .

4.某工厂共有n名工人，为了调查工人的健康情况，从中采用简单随机抽样的方法随机抽取20名工人作为调查对象，若每位工人被抽到的可能性为，则n＝________.

答案：1.C    2.B    3.8.5    4.100

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第177页  练习     第1，2,3,4题

        第180页  练习     第1，2题

第188页   习题9.1  第1,2,4,6题