2022-2023学年北师大版九年级数学上学期期末复习培优练习（陕西中考真题）

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九年级数学上学期期末复习培优综合练习 -北师大版九年级中考数学真题汇编（陕西）
一．反比例函数图象上点的坐标特征（共4小题）
1．（2021•陕西）若点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上，则b的值为 　 　．
2．（2021•陕西）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　 　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）
3．（2020•陕西）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝6，AB＝4，边OA在x轴上，若双曲线y＝经过边OB上一点D（4，m），并与边AB交于点E，则点E的坐标为　 　．

4．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为 　 　．
二．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
5．（2022•陕西）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 　 　．
三．二次函数的性质（共2小题）
6．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
7．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
四．二次函数图象与几何变换（共2小题）
8．（2020•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，则m，n的值为（　　）
A．m＝﹣6，n＝﹣3 B．m＝﹣6，n＝3 C．m＝6，n＝﹣3 D．m＝6，n＝3
9．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
10．（2021•陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
下列各选项中，正确的是（　　）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
六．二次函数的应用（共2小题）
11．（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（　　）

A．9m B．10m C．11m D．12m
12．（2022•陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．

七．二次函数综合题（共4小题）
13．（2021•陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P关于x轴对称．在该抛物线上，是否存在点D、E、F，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2021•陕西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2020•陕西）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．

16．（2020•陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

八．菱形的性质（共1小题）
17．（2020•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　 　．

九．矩形的判定（共2小题）
18．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（　　）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD
19．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（　　）
A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝AD D．AC＝BD
一十．正方形的性质（共1小题）
20．（2020•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为　 　．

一十一．圆周角定理（共2小题）
21．（2022•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（　　）

A．44° B．45° C．54° D．67°
22．（2020•陕西）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°
一十二．三角形的外接圆与外心（共1小题）
23．（2020•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

A．55° B．65° C．60° D．75°
一十三．切线的性质（共5小题）
24．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　 　．

25．（2021•陕西）如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦AB∥DP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD．
（1）求证：AF∥OD；
（2）若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长．

26．（2021•陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．
（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．

27．（2020•陕西）如图，直线AM与⊙O相切于点A，弦BC∥AM，连接BO并延长，交⊙O于点E，交AM于点F，连接CE并延长，交AM于点D．
（1）求证：CE∥OA；
（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求AF的长．

28．（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长．

一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
29．（2022•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 　 　．

一十五．相似三角形的应用（共1小题）
30．（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．

一十六．解直角三角形（共2小题）
31．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan∠C＝2，则边AB的长为（　　）

A．3 B．3 C．6 D．3
32．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（　　）

A．3 B．3 C．3 D．6
一十七．解直角三角形的应用（共1小题）
33．（2021•陕西）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号）

一十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
34．（2021•陕西）小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°．已知：点O到湖面的距离OD＝3m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、A′三点共线，A'B＝AB，求小山的高度AB．（光线的折射忽略不计；结果保留根号）

35．（2020•陕西）小宁和同学们想知道学校操场旁一棵大树比一棵小树高多少，于是他们拿着三角尺和皮尺来到了操场，如图所示，小宁在E处用三角尺测得小树CD顶部C的仰角为30°，然后她前后移动调整，在M处用三角尺测得大树AB顶部A的仰角也是30°．已知，B、D、E、M四点共线，AB⊥BM，CD⊥BM，EF⊥BM，MN⊥BM，小宁眼睛距地面的高度不变，即EF＝MN，他们测得BD＝4.5米，EM＝1.5米，求大树AB比小树CD高多少米？

一十九．列表法与树状图法（共5小题）
36．（2022•陕西）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是 　 　；
（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
37．（2021•陕西）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为 　 　；
（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．
38．（2021•陕西）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 　 　；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
39．（2020•陕西）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．
40．（2020•陕西）从一副扑克牌中取出红桃J，Q，K和黑桃J，Q，K这两种花色的六张扑克牌．
（1）将这六张牌背面朝上，洗匀，随机抽取一张，求这张牌是红桃K的概率；
（2）将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为一组，分别将这两组牌背面朝上洗匀，然后从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是J一张Q的概率．

九年级数学上学期期末复习培优综合练习 -北师大版九年级中考数学真题汇编（陕西）
参考答案与试题解析
一．反比例函数图象上点的坐标特征（共4小题）
1．（2021•陕西）若点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上，则b的值为 　　．
【解答】解：∵点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上，
∴3a＝5ab，
解得b＝，
故答案为：．
2．（2021•陕西）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　＜　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）
【解答】解：∵2m﹣1＜0（m＜），
∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
又∵0＜1＜3，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
3．（2020•陕西）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝6，AB＝4，边OA在x轴上，若双曲线y＝经过边OB上一点D（4，m），并与边AB交于点E，则点E的坐标为　（6，）　．

【解答】解：作DF⊥OA于F，
∵点D（4，m），
∴OF＝4，DF＝m，
∵∠OAB＝90°，
∴DF∥AB，
∴△DOF∽△BOA，
∴＝，
∵OA＝6，AB＝4，
∴＝，
∴m＝，
∴D（4，），
∵双曲线y＝经过点D，
∴k＝4×＝，
∴双曲线为y＝，
把x＝6代入得y＝＝，
∴E（6，），
故答案为（6，）．

4．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为 　﹣1　．
【解答】解：∵点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，点A（﹣2，1）在第二象限，
∴点C（﹣6，m）一定在第三象限，
∵B（3，2）在第一象限，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，
∴反比例函数y＝（k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m），
∴3×2＝﹣6m，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
二．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
5．（2022•陕西）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 　y＝﹣　．
【解答】解：∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m），
∴点A'（2，m），
∵点A'在正比例函数y＝x的图象上，
∴m＝＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
三．二次函数的性质（共2小题）
6．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，
故选：D．
7．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3，
而抛物线开口向上，
∴y2＜y1＜y3．
故选B．
四．二次函数图象与几何变换（共2小题）
8．（2020•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，则m，n的值为（　　）
A．m＝﹣6，n＝﹣3 B．m＝﹣6，n＝3 C．m＝6，n＝﹣3 D．m＝6，n＝3
【解答】解：∵抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，
∴﹣y＝﹣mx2﹣2x+n，
∴y＝﹣mx2﹣2x+n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n相同，
∴﹣m＝﹣6，n＝m﹣n，
解得m＝6，n＝3，
故选：D．
9．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵y＝x2﹣（m﹣1）x+m＝（x﹣）2+m﹣，
∴该抛物线顶点坐标是（，m﹣），
∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，m﹣﹣3），
∵m＞1，
∴m﹣1＞0，
∴＞0，
∵m﹣﹣3＝＝＝﹣﹣1＜0，
∴点（，m﹣﹣3）在第四象限；
故选：D．
五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
10．（2021•陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
下列各选项中，正确的是（　　）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题知，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣，
A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B．与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），故B选项不符合题意；
C．当x＝时，函数有最小值为﹣，故C选项符合题意；
D．函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当x＞时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选：C．
六．二次函数的应用（共2小题）
11．（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（　　）

A．9m B．10m C．11m D．12m
【解答】解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，
所以当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，
故选：A．
12．（2022•陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．

【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，
把（0，0）代入，可得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣5）2+9；

（2）令y＝6，得﹣（x﹣5）2+9＝6，
解得x1＝+5，x2＝﹣+5，
∴A（5﹣，6），B（5+，6）．
七．二次函数综合题（共4小题）
13．（2021•陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P关于x轴对称．在该抛物线上，是否存在点D、E、F，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A（﹣5，0）、C（0，5）在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2+6x+5，
令y＝0得x＝﹣1或x＝﹣5，
∴B（﹣1，0）；
（2）存在，理由如下：
延长AP'交抛物线于F，延长BP'交抛物线于D，对称轴交抛物线于E，如图：

由y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4知：E（﹣3，﹣4），抛物线对称轴为直线x＝﹣3，
∵点P（m，2）在对称轴直线l上，
∴P（﹣3，2），
∵点P′与点P关于x轴对称，
∴P'（﹣3，﹣2），
∴PP'＝4，P'E＝2，
由A（﹣5，0），P'（﹣3，﹣2）可得直线AP'为y＝﹣x﹣5，
解得或，
∴F（﹣2，﹣3），
∴AP'＝＝2，P'F＝＝，
由B（﹣1，0）、P'（﹣3，﹣2）可得直线BP'为y＝x+1，
解得或，
∴D（﹣4，﹣3），
∴BP'＝＝2，P'D＝＝，
∴＝＝＝2，
由位似图形定义知，四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′，
∴抛物线上存在D（﹣4，﹣3），E（﹣3，﹣4），F（﹣2，﹣3），使四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′．
14．（2021•陕西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+8，
取x＝0，得y＝8，
∴C（0，8），
取y＝0，得﹣x2+2x+8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴B（4，0）；
（2）存在点P，设P（0，y），
∵CC'∥OB，且PC与PO是对应边，
∴，
即：，
解得：y1＝16，，
∴P（0，16）或P（0，）．
15．（2020•陕西）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x；
（2）令y＝0，则0＝﹣x2﹣4x，
∴x1＝﹣4，x2＝0，
∴点A（﹣4，0），点B（0，0），
∴对称轴为x＝﹣2，
∴点D（﹣2，4），
如图，设对称轴与x轴的交点为H，过点P作PQ⊥DH于Q，设点P（m，﹣m2﹣4m），

∵△PEF∽△DAB，
∴，
∴PQ＝×4＝1，
∴|m+2|＝1，
∴m＝﹣1或﹣3，
∴点P（﹣1，3）或（﹣3，3）．
16．（2020•陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

【解答】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，
设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2﹣3＝5，故点P（2，5），
故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，
综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．

八．菱形的性质（共1小题）
17．（2020•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　2　．

【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，
得矩形AGHE，
∴GH＝AE＝2，

∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴BG＝3，AG＝3＝EH，
∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，
∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，
∴FC＝AE＝2，
∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，
在Rt△EFH中，根据勾股定理，得
EF＝＝＝2．
故答案为：2．
九．矩形的判定（共2小题）
18．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（　　）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD
【解答】解：A．∵▱ABCD中，AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B．∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C．▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D．∵▱ABCD中，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
19．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（　　）
A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝AD D．AC＝BD
【解答】解：A、▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵▱ABCD中，AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵▱ABCD中，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．

一十．正方形的性质（共1小题）
20．（2020•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为　4　．

【解答】解：如图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于T，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AH＝HC，
又∵Q是AB中点，
∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，
同理可求PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，
∴PO∥AD∥BC∥EF∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，
∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°，
∵OT⊥QH，
∴四边形POTQ是矩形，
∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4，
∴TH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴MN＝2OH＝4，
故答案为：4．
一十一．圆周角定理（共2小题）
21．（2022•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（　　）

A．44° B．45° C．54° D．67°
【解答】解：如图，连接OB，

∵∠C＝46°，
∴∠AOB＝2∠C＝92°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝＝44°．
故选：A．
22．（2020•陕西）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：∵BC∥OA，
∴∠ACB＝∠A＝25°，∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
故选：C．
一十二．三角形的外接圆与外心（共1小题）
23．（2020•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

A．55° B．65° C．60° D．75°
【解答】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，
故选：B．

一十三．切线的性质（共5小题）
24．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　3+1　．

【解答】解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，
过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，
∴OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝，
∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1，
故答案为3+1．

25．（2021•陕西）如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦AB∥DP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD．
（1）求证：AF∥OD；
（2）若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长．

【解答】（1）证明：延长DO交AB于点H，
∵DP是⊙O的切线，
∴OD⊥DP，
∵AB∥DP，
∴HD⊥AB，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴AF∥OD；
（2）∵OH⊥AB，AB＝8，
∴BH＝AH＝4，
∴OH＝＝＝3，
∵BH∥ED，
∴△BOH∽△EOD，
∴＝，即＝，
解得：ED＝，
∵∠BAC＝90°，DH⊥AB，DH⊥DP，
∴四边形AFDH为矩形，
∴DF＝AH＝4，
∴EF＝ED﹣DF＝﹣4＝．

26．（2021•陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．
（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．

【解答】（1）证明：取的中点M，连接OM、OF，
∵＝2，
∴＝＝，
∴∠COB＝∠BOF，
∵∠A＝∠BOF，
∴∠COB＝∠A；
（2）解：连接BF，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴AB⊥CD，
∴∠OBC＝∠ABD＝90°，
∵∠COB＝∠A，
∴△OBC∽△ABD，
∴＝，即＝，解得BD＝8，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝10，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠BDF＝∠ADB，
∴Rt△DBF∽Rt△DAB，
∴＝，即＝，解得DF＝．

27．（2020•陕西）如图，直线AM与⊙O相切于点A，弦BC∥AM，连接BO并延长，交⊙O于点E，交AM于点F，连接CE并延长，交AM于点D．
（1）求证：CE∥OA；
（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求AF的长．

【解答】（1）证明：∵BE是⊙O的直径，
∴CE⊥BC，
∵BC∥AM，
∴CD⊥AM，
∵AM是⊙O的切线，
∴OA⊥AM，
∴CE∥OA；
（2）解：∵⊙O的半径R＝13，
∴OA＝13，BE＝26，
∵BC＝24，
∴CE＝＝10，
∵BC∥AM，
∴∠B＝∠AFO，
∵∠C＝∠A＝90°，
∴△BCE∽△FAO，
∴，
∴，
∴AF＝．

28．（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长．

【解答】证明：（1）连接OC，

∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOC+∠OCE＝180°，
∴AD∥EC．
（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，

∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠D＝∠ACB＝60°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴sin∠ADB＝，
∴AD＝＝8，
∴OA＝OC＝4，
∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，
∴四边形OAFC是矩形，
又∵OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴CF＝AF＝4，
∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，
∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵tan∠EAF＝，
∴EF＝AF＝12，
∴CE＝CF+EF＝12+4．
一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
29．（2022•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 　　．

【解答】解：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，
由勾股定理得：OA＝＝＝，
∵ME⊥BD，AO⊥BD，
∴ME∥AO，
∴△DEM∽△DOA，
∴＝，即＝，
解得：ME＝，
同理可得：NF＝，
∴ME+NF＝，
故答案为：．

一十五．相似三角形的应用（共1小题）
30．（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．

【解答】解：∵AD∥EG，
∴∠ADO＝∠EGF，
∵∠AOD＝∠EFG＝90°，
∴△AOD∽△EFG，
∴＝，即＝，
∴AO＝15，
同理得△BOC∽△AOD，
∴＝，即＝，
∴BO＝12，
∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米），
答：旗杆的高AB是3米．
一十六．解直角三角形（共2小题）
31．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan∠C＝2，则边AB的长为（　　）

A．3 B．3 C．6 D．3
【解答】解：∵BD＝2CD＝6，
∴CD＝3，BD＝6，
∵tanC＝＝2，
∴AD＝6，
∴AB＝AD＝6
故选：C．
32．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（　　）

A．3 B．3 C．3 D．6
【解答】解：∵2CD＝6，
∴CD＝3，
∵tanC＝2，
∴＝2，
∴AD＝6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB＝，
故选：D．
一十七．解直角三角形的应用（共1小题）
33．（2021•陕西）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号）

【解答】解：在△ADC中，设AD＝xm，
∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝xm，
在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD＝30°，
∴AD＝BD•tan30°，
即x＝（16+x）m，
解得：x＝（8+8）m，
∴AB＝2AD＝2×（8）＝（16）m，
∴钢索AB的长度为（16）m．
一十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
34．（2021•陕西）小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°．已知：点O到湖面的距离OD＝3m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、A′三点共线，A'B＝AB，求小山的高度AB．（光线的折射忽略不计；结果保留根号）

【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，则BE＝OD＝3m，

设AE＝xm，则AB＝（x+3）m，A′E＝（x+6）m，
∵∠AOE＝45°，
∴OE＝AE＝xm，
∵∠A′OE＝60°，
∴tan60°＝＝，
即＝，
解得x＝3+3，
∴AB＝3+3+3＝（6+3）m．
35．（2020•陕西）小宁和同学们想知道学校操场旁一棵大树比一棵小树高多少，于是他们拿着三角尺和皮尺来到了操场，如图所示，小宁在E处用三角尺测得小树CD顶部C的仰角为30°，然后她前后移动调整，在M处用三角尺测得大树AB顶部A的仰角也是30°．已知，B、D、E、M四点共线，AB⊥BM，CD⊥BM，EF⊥BM，MN⊥BM，小宁眼睛距地面的高度不变，即EF＝MN，他们测得BD＝4.5米，EM＝1.5米，求大树AB比小树CD高多少米？

【解答】解：如图，延长NF交AB于点G，交CD于点H，

根据题意可知：
四边形BGHD，四边形DHFE，四边形FNME是矩形，
∴GH＝BD＝4.5米，HF＝DE，FN＝EM＝1.5米，
在Rt△ANG中，∠AGN＝90°，∠ANG＝30°，
∴AG＝GN•tan∠ANG
＝（GH+HF+FN）•tan30°
＝（4.5+HF+1.5）
＝（6+HF）（米），
在Rt△CFH中，∠CHF＝90°，∠CFH＝30°，
∴CH＝HF•tan∠CFH
＝HF•tan30°
＝HF，
∴AB﹣CD＝（AG+BG）﹣（CH+DH）
＝AG﹣CH
＝（6+HF）﹣HF
＝2（米）．
答：大树AB比小树CD高2米．
一十九．列表法与树状图法（共5小题）
36．（2022•陕西）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是 　　；
（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
【解答】解：（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种，
∴所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率为＝．
37．（2021•陕西）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为 　　；
（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．
【解答】解：（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，
∴摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率为＝．
38．（2021•陕西）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 　　；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
【解答】解：（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为＝，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，
∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为＝．
39．（2020•陕西）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．
【解答】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率＝＝；
（2）画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，
∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝＝．
40．（2020•陕西）从一副扑克牌中取出红桃J，Q，K和黑桃J，Q，K这两种花色的六张扑克牌．
（1）将这六张牌背面朝上，洗匀，随机抽取一张，求这张牌是红桃K的概率；
（2）将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为一组，分别将这两组牌背面朝上洗匀，然后从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是J一张Q的概率．
【解答】解：（1）将这六张牌背面朝上，洗匀，随机抽取一张，则这张牌是红桃K的概率为；
（2）画树状图如图：

共有9个等可能的结果，其中一张是J一张Q的结果有2个，
∴其中一张是J一张Q的概率为．