第4章锐角三角形+解答题基础题【湘教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖南）

这是一份第4章锐角三角形+解答题基础题【湘教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖南），共19页。试卷主要包含了﹣1，阅读下列材料，，在点C处测得∠DCP＝26°等内容，欢迎下载使用。
第4章锐角三角形 解答题基础题【湘教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖南）
一．特殊角的三角函数值（共2小题）
1．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．
2．（2022•岳阳）计算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0．
二．解直角三角形的应用（共4小题）
3．（2022•张家界）阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD＝asinB
在Rt△ACD中，CD＝bsinA
∴asinB＝bsinA
∴＝
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）


4．（2021•湘潭）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．

某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）
5．（2021•永州）已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．

（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．
6．（2020•常德）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）

（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）
三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题）
7．（2022•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）


8．（2022•株洲）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN＝千米．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．
9．（2020•益阳）沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12米，斜坡CD的坡度i＝1：1．此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离（P、D、H在同一直线上），在点C处测得∠DCP＝26°．
（1）求斜坡CD的坡角α；
（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？
（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）

10．（2020•湘潭）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：≈1.732，≈4.123）

11．（2020•株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为2米．

（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
12．（2021•张家界）张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A，观测到桥面B，C的仰角分别为30°，60°，测得BC长为320米，求观测点A到桥面BC的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.73）

13．（2020•怀化）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树m米的A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上，求古树CD的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，结果保留整数）

五．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
14．（2022•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈1.414，≈1.732）

15．（2020•岳阳）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°方向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）


第4章锐角三角形 解答题基础题【湘教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖南）
参考答案与试题解析
一．特殊角的三角函数值（共2小题）
1．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．
【解答】解：原式＝
＝．
2．（2022•岳阳）计算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0．
【解答】解：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0
＝3﹣2×1+1﹣1
＝3﹣2+1﹣1
＝1．
二．解直角三角形的应用（共4小题）
3．（2022•张家界）阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD＝asinB
在Rt△ACD中，CD＝bsinA
∴asinB＝bsinA
∴＝
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）


【解答】（1）证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，AD＝csinB，
在Rt△ACD中，AD＝bsinC，
∴csinB＝bsinC，
∴＝；
（2）解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，
∴∠C＝60°，
在Rt△ACE中，AE＝AC•sin60°＝80×＝40（m），
又∵，
即，
∴BC＝90m，
∴S△ABC＝×＝1800（m2）．


4．（2021•湘潭）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．

某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）
【解答】解：由题意可得，
在Rt△ABE中，
∵AB＝120米，∠ABE＝60°，
∴BE＝＝＝60（米），AE＝sin60°•AB＝（米），
在Rt△CDE中，
∵∠DCE＝30°，CE＝BE+CB＝60+30＝90（米），
∴DE＝tan30°•CE＝＝30（米），
∴AD＝AE﹣DE＝60＝30≈52（米）．
答：万楼主楼AD的高度约为52米．
5．（2021•永州）已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．

（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．
【解答】解：（1）∵∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵＝＝，
∴＝，
∴b＝2；
（2）∵＝，
∴＝，
∴sinB＝，
∴∠B＝60°，
∴tanB＝＝，
∴BD＝CD，
∵AC2＝CD2+AD2，
∴196＝CD2+（10﹣CD）2，
∴CD＝8，CD＝﹣3（舍去），
∴CD的长度为8米．
6．（2020•常德）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）

（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）
【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，
在Rt△ACF中，
∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，
∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82（米），
在Rt△BCF中，
∵∠ABC＝45°，
∴CF＝BF，
∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6（米），
答：所求BC的长度约为2.6米．

方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
∴cosC＝cos70°＝，
即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68（米），
sinC＝sin70°＝，
即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88（米），
又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，
∴AE＝BE，
∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6（米），
答：所求BC的长度约为2.6米．


三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题）
7．（2022•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）


【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，
∴BD＝BA＝10（m），
答：该斜坡的高度BD为10m；

（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，
∴∠CBA＝15°，
∴AB＝AC＝20（m），
答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．

8．（2022•株洲）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN＝千米．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．
【解答】解：（1）∵山坡②的坡度i＝1：1，
∴CN＝BN，
∴∠BCN＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°；
（2）在Rt△ACM中，∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，AM＝0.6千米，
∴AC＝2AM＝1.2千米，
在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，CN＝千米，
则BC＝＝2（千米），
∴该登山运动爱好者走过的路程为：1.2+2＝3.2（千米），
答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米．
9．（2020•益阳）沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12米，斜坡CD的坡度i＝1：1．此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离（P、D、H在同一直线上），在点C处测得∠DCP＝26°．
（1）求斜坡CD的坡角α；
（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？
（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）

【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡度i＝1：1，
∴tanα＝DH：CH＝1：1＝1，
∴α＝45°．
答：斜坡CD的坡角α为45°；
（2）由（1）可知：
CH＝DH＝12米，α＝45°．
∴∠PCH＝∠PCD+α＝26°+45°＝71°，
在Rt△PCH中，∵tan∠PCH＝＝≈2.90，
∴PD＝22.8（米）．
22.8＞18，
答：此次改造符合电力部门的安全要求．
10．（2020•湘潭）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：≈1.732，≈4.123）

【解答】解：∵DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，
∴在Rt△DCE中，＝10，
∴解得DC＝5．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝5．
∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，
∴，
∴BF＝4AB＝20，
∴在Rt△ABF中，≈20.62（m）．
故斜坡AF的长度约为20.62米．
11．（2020•株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为2米．

（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，；
答：该斜坡的坡高BC长为10米；
（2）∵∠α＝60°，
∴∠AMN＝30°，
∴AM＝2AN，
∵在Rt△AMN中，AN2+MN2＝AM2，
∴AN2+300＝4AN2
∴AN＝10，
∴AM＝20，
∴AM﹣AB＝20﹣18＝2．
综上所述，长度增加了2米．

四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
12．（2021•张家界）张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A，观测到桥面B，C的仰角分别为30°，60°，测得BC长为320米，求观测点A到桥面BC的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.73）

【解答】解：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图，
根据题意得∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝320m，
∵∠CAB＝∠CAM﹣∠BAM＝60°﹣30°＝30°，
∴∠B＝∠BAC，
∴CA＝CB＝320m，
在Rt△ACD中，∠DCA＝60°，
∴sin∠ACD＝，
即sin∠60°＝，
∴AD＝320×＝160≈277（m）．
答．观测点A到桥面BC的距离是277米．

13．（2020•怀化）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树m米的A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上，求古树CD的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，结果保留整数）

【解答】解：由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CB＝CD，
设CD＝x，则BC＝x，AC＝20+x，
在Rt△ACD中，
tan30°＝＝＝，
解得x＝10+10≈10×1.732+10＝27.32≈27，
∴CD＝27，
答：CD的高度为27米．
五．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
14．（2022•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈1.414，≈1.732）

【解答】解：安全，理由如下：
过点C作CD垂直AB，

由题意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，
在Rt△CBD中，设CD＝BD＝xkm，则AD＝（x+30）km，
在Rt△ACD中，tan30°＝，
∴，
∴，
解得：x＝15+15≈40.98＞40，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的．
15．（2020•岳阳）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°方向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）

【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

根据题意可知：
AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，
∴AD＝CD，
∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD＝，
∴≈0.40，
∴CD≈2，
∴AD＝CD＝2，
∴BD≈7﹣2≈5，
∴AC＝2≈2.82，
BC＝≈≈5.41，
∴AC+BC≈2.82+5.41≈8.2（km）．
答：新建管道的总长度约为8.2km．