2021-2022学年山东省济宁市高二下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年山东省济宁市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A．{2，3} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3，4，5}

【答案】B

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.

【详解】解：由，即，解得，

所以，

又，所以.

故选：B

2．已知随机变量X服从正态分布，且，则（       ）

A．0.3 B．0.3 C．0.2 D．0.1

【答案】D

【分析】根据正态分布的性质计算可得.

【详解】解：因为且，

所以.

故选：D

3．设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】首先解分式不等式与绝对值不等式，再根据集合的包含关系判断即可；

【详解】解：由，即，解得，

由，即，解得，

因为，所以“”是“”的必要不充分条件；

故选：B

4．在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据古典概型概率公式直接计算可得.

【详解】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为.

故选：D

5．已知随机变量X的概率分布为：，其中是常数，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据分布列的性质概率和为可求出，再根据即可解出．

【详解】因为，即，解得：，所以，．

故选：A．

6．若函数的定义域为，则（       ）

A．3 B．3 C．1 D．1

【答案】A

【分析】根据题意可知为方程的一个根，从而可求出的值

【详解】由，得，

由题意可知上式的解集为，

所以为方程的一个根，

所以，得，

故选：A

7．某中学为了更好地培养学生劳动实践能力，举办了一次劳动技术比赛.根据预赛成绩，最终确定由甲、乙等5名同学进入决赛，决出第1名到第5名的名次.决赛后甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲都不是最差的.”从这两个回答分析，甲、乙等5人的决赛名次可能有（       ）种排列情况.

A．18 B．36 C．54 D．72

【答案】C

【分析】根据简单的推理可知，甲既不是第1名，也不是第5名，乙不是第5名，由元素分析法和位置分析法即可求出．

【详解】由题意可知，甲既不是第1名，也不是第5名，乙不是第5名，所以甲的名次可能是2,3,4,第5名可能为丙,丁,戊,剩余的三个人全排,即可得到甲、乙等5人的决赛名次的可能情况,即有种.

故选：C．

8．已知定义域为R的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是（       ）

A． B．[-1，1] C． D．[-1，0]

【答案】B

【分析】根据题意可得函数的图象关于直线对称，从而利用其单调性可将不等式转化为，亦即，即可解出．

【详解】因为函数是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，在在上单调递增，而不等式对任意的恒成立，由于，所以，即原不等式等价于，又，所以，解得：．

故选：B．

二、多选题

9．下列命题中正确的是（       ）

A．在回归分析中，成对样本数据的样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度越强

B．在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好

C．比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟合效果越差

D．对分类变量X与Y，统计量的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大

【答案】ABD

【分析】根据相关系数、决定系数、残差平方和，以及统计量的意义直接判断可得.

【详解】相关系数的绝对值越大，相关程度越强，A正确；

决定系数越大，拟合效果越好，故B正确；

残差平方和越小，模拟效果越好，故C错误；

统计量的值越大，分类变量X与Y相互独立的概率越小，即判断“X与Y有关系”的把握程度越大，故D正确.

故选：ABD

10．设，则下列不等式中正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据不等式的性质，结合基本不等式判断AC；举反例判断BD即可

【详解】对A，因为，故，故，故A正确；

对B，取，则，但，故B错误；

对C，因为，故故，当且仅当取等号，因为，故，故C正确；

对D，取，则，故D错误；

故选：AC

11．设M、N是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】对A，根据是否互斥判断即可；

对B，举反例判断即可

对CD，根据条件概率的公式判断即可

【详解】对A，当不互斥时，不成立，故A错误；

对B，当为对立事件时，，则不成立，故B错误；

对C，当时，成立，当时，根据条件概率的公式可得成立，故C正确；

对D，根据条件概率的公式，结合C选项可得成立，故D正确；

故选：CD

12．定义在上的函数的导函数为，且.则对任意，其中，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】构造函数，求出导数，利用已知可得在上单调递增，根据单调性依次判断每个选项可得.

【详解】令，.则，

所以函数在上单调递增.

对于A：由于，所以，即，所以，故A不正确.

对于B：由于，所以，即，所以，故B正确.

对于C：由得：，即：，

同理：.

两式相加得：，故C不正确.

对于D：；.

两式相减得：

.

所以，

即：，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．，则___________.

【答案】80

【分析】由二项式定理可得．

【详解】由题意．

故答案为：80．

14．已知函数，则函数在点处的切线方程为______.

【答案】

【分析】求导，利用导数求切线斜率，再求切点纵坐标，然后由点斜式可得.

【详解】因为，所以切线斜率，

又，所以切线方程为，即.

故答案为：

15．甲、乙两同学玩掷骰子游戏，规则如下：

（1）甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，甲得到的点数为，乙得到的点数为；

（2）若的值能使二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，则甲胜，否则乙胜.

那么甲胜的概率为______.

【答案】

【分析】列举基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解.

【详解】甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，共有基本事件种基本事件；

要使二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，只需：

i. ，共有共6种情况；

ii.，共有共5种情况；

iii.，共有共4种情况；

一共15种情况.

所以甲胜的概率为.

故答案为：.

16．已知，，且满足，则的最小值为______.

【答案】

【分析】由已知得，令，从而，再根据得，由，再利用基本不等式可得答案.

【详解】因为，所以，即，

令，则，从而，

令，，当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以，即（当且仅当时取等号），

所以，即，

又，

当且仅当，取等号.

故答案为：.

四、解答题

17．已知展开式的二项式系数和为32，各项系数和为243.

(1)求n、a的值；

(2)若将展开式中的各项重新排列，求有理项互不相邻的概率.

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根据二项展开式的二项式系数和为，各项系数和为时二项式的值，即可列出方程组求解得出；

（2）由二项展开式的通项公式可判断展开式中有理项的个数，再根据古典概型的概率公式以及插空法即可解出．

【详解】(1)由题意可知：，解得：．

(2)由（1）可知二项式为，其展开式的通项公式为：

.

由此可知：当，3，5时，会得到二项式展开式的有理项，即二项式的展开式中有理项共3项，所以将展开式各项重新排列，求其中有理项互不相邻的概率为：.

18．2021年9月，山东省政府办公厅印发《山东省电动自行车管理办法》（以下简称《办法》），自2022年5月1日起施行.《办法》的第十九条第三款规定：驾乘电动自行车人员规范佩戴安全头盔.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的行为.某市为贯彻《办法》精神，加强对市民的安全教育，自2022年5月1日起，在该市某主干路口连续监控5周，每周抓拍到驾乘电动自行车人员未规范佩戴安全头盔的统计数据如下表：

(1)请利用所给数据求未规范佩戴头盔人数y与周数序号x之间的经验回归方程；

(2)利用（1）中建立的经验回归方程估算该路口第6周未规范佩戴头盔的人数.

参考数据：，

参考公式：，.

【答案】(1)

(2)475人

【分析】（1）根据表中的数据和参考数据结合公式可求出回归方程，

（2）将代入回归方程可求出的值可得答案

【详解】(1)由表中数据知，

所以

所以

故所求经验回归方程为.

(2)令，则人

预计该路口第6周未规范佩戴头盔的人数为475人.

19．孔子曰：温故而知新，可以为师矣.数学学科的学习也是如此，为了调查“数学成绩是否优秀”与“是否及时复习”之间的关系，某校志愿者从高二年级的所有学生中随机抽取60名学生进行问卷调查，得到如下样本数据：

(1)试根据小概率值的独立性检验，能否认为“数学成绩优秀”与“及时复习”有关系？

(2)在该样本中，用分层抽样的方法从数学成绩优秀的学生中抽取7人，再从这7人中随机抽取3人.设抽取3人中及时复习的人数为X，求X的分布列与数学期望.

临界值参考表：

（参考公式，其中）

【答案】(1)认为“数学成绩优秀”与“及时复习”有关系

(2)分布列见解析，

【分析】（1）计算卡方进行独立性检验即可；

（2）根据超几何分布的分布列，结合数学期望的公式求解即可

【详解】(1)零假设为：数学成绩优秀与及时复习没有关联.

根据数据计算

，

依据的独立性检验，可以推断不成立，即认为“数学成绩优秀”与“及时复习”有关系，该推断犯错误的概率不超过0.001.

(2)根据分层抽样方法得，选取的7人中，及时复习的有5人，不及时复习的有2人.

X的所有可能取值为：1，2，3.

，，，

所以X的分布列为：

所以X的数学期望

.

20．已知函数.

(1)如果函数为幂函数，试求实数a、b、c的值；

(2)如果、，且函数在区间上单调递减，试求ab的最大值.

【答案】(1)，，，或，，.

(2)18

【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程组，解得即可；

（2）分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质及基本不等式计算可得；

【详解】(1)解：由函数的定义域为R知，当为幂函数时，

应满足或

解得，、、的值分别为：，，，或，，.

(2)解：①当时，

由题意知，，所以.

②当时，函数图象的对称轴为，

以题意得：，即

所以，.

当且仅当，时取等号.

③当时，

以题意得：，即，即

又因为，

所以

综上可得，的最大值为18.

21．某工厂的某种产品成箱包装，每一箱100件.每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品是不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记10件产品中恰有1件不合格品的概率为，求的最大值点；

(2)现对一箱产品检验了10件，结果恰有1件不合格品，以（1）中确定的作为x的值.已知每件产品的检验费用为2.5元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付20元的赔偿费用.

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求；

②以检验费用与赔偿费用的和的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【答案】(1)

(2)①；②不应该

【分析】（1）依题意可得，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点.

（2）①令表示余下的件产品中的不合格品件数，则，，根据二项分布的期望公式及期望的性质计算可得；②由①的期望判断即可.

【详解】(1)解：因为10件产品中恰有1件不合格品的概率为

所以

令，解得.

当时，；当时，.

所以在上单调递增；在上单调递减.

所以的最大值点为.

(2)解：由（1）知，.

①令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知：，

所以，且，即.

所以.

②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为250元.

由于，故不应该对该箱余下的产品作检验.

22．已知函数.

(1)若，求m的取值范围；

(2)若方程有两个不相等的实数根，并设这两个不相等的实数根为a、b，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)参变分离，构造新函数，求导得单调性，求出最小值，写出范围.

(2)将 a，b代入并整理消去m得到a，b的关系式，构造新函数，求导证明即可.

【详解】(1)因为，所以，即.

所以.

令，所以

令，解得：.

当时，；当时，.

所以在（0，1）上单调递减；在上单调递增

所以，故.

(2)方法一：因为a，b是的两个不相等的实数根，不妨设；

所以①，②

由①②可得：③，④

由（1）知当时恒成立，方程不可能有两个不相等的实数根.

所以.由③④可得：

即⑤

要证，即证，⑥

由⑤⑥知，即证：，又，

所以即证：，

令，则，

令，，

所以在上单调递增，

，所以，从而得证.

方法二：因为a，b是的两个不相等的实数根，不妨设；

所以①，②

由①②可得：③，④

由③④可得：

即：

令，则，

所以，

解得：；

所以

要证：，只需证：

令，，

所以在上单调递增

，所以，从而得证.

方法三：

因为a，b是的两个不相等的实数根

所以①，②

由①②可得：③，④

由③④可得：

即：

所以、是方程的两个不同实数根.

令，则.

，

令，解得：

当时，；当时，.

所以在（0，1）上单调递减；在上单调递增

不妨设

要证：，即证：

只需证：，即证：，即证：

令，.

则

所以在（0，1）单调递减

所以，所以，

即，从而得证.