第21-23章-一元二次方程、二次函数、旋转【人教版-中考真题】-九年级数学上学期期末复习培优练（四川自贡）

这是一份第21-23章-一元二次方程、二次函数、旋转【人教版-中考真题】-九年级数学上学期期末复习培优练（四川自贡），共26页。试卷主要包含了，下列结论等内容，欢迎下载使用。
第21-23章-一元二次方程、二次函数、旋转【人教版-中考真题】-九年级数学上学期期末复习培优练（四川自贡）
一．根的判别式（共3小题）
1．（2020•自贡）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（　　）
A． B．﹣ C．1 D．﹣1
2．（2019•自贡）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1
3．（2016•自贡）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
二．二次函数的性质（共1小题）
4．（2016•自贡）抛物线y＝﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．
（1）a＝时，求抛物线的解析式和BC的长；
（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值；
（3）是否存在实数a，使＝？若存在，求出a的值，如不存在，请说明理由．

三．抛物线与x轴的交点（共1小题）
5．（2018•自贡）若函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为　 　．
四．二次函数的应用（共1小题）
6．（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　）

A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
五．二次函数综合题（共7小题）
7．（2022•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
8．（2022•自贡）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；
（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．


9．（2021•自贡）如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；
（2）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为：4，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．

11．（2019•自贡）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．
（1）求抛物线C函数表达式；
（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；
（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（2018•自贡）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

13．（2017•自贡）抛物线y＝4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．
（1）设AB＝2，tan∠ABC＝4，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．
六．旋转的性质（共1小题）
14．（2018•自贡）如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（　　）

A． B． C． D．
七．中心对称图形（共3小题）
15．（2020•自贡）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
16．（2019•自贡）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
17．（2017•自贡）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．

第21-23章-一元二次方程、二次函数、旋转【人教版-中考真题】-九年级数学上学期期末复习培优练（四川自贡）
参考答案与试题解析
一．根的判别式（共3小题）
1．（2020•自贡）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（　　）
A． B．﹣ C．1 D．﹣1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，
∴，
∴a＝．
故选：A．
2．（2019•自贡）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＜0，
解得m＞1．
故选：D．
3．（2016•自贡）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]≥0，
解得m≥1，
故选：C．
二．二次函数的性质（共1小题）
4．（2016•自贡）抛物线y＝﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．
（1）a＝时，求抛物线的解析式和BC的长；
（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值；
（3）是否存在实数a，使＝？若存在，求出a的值，如不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+4ax+b（a＞0）经过原点O，
∴b＝0，
∵a＝，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x，
∵x＝2时，y＝8，
∴点B坐标（2，8），
∵对称轴x＝3，B、C关于对称轴对称，
∴点C坐标（4，8），
∴BC＝2．
（2）∵AP⊥PC，
∴∠APC＝90°，
∵∠CPB+∠APM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°，
∴∠CPB＝∠PAM，
∵∠PBC＝∠PMA＝90°，
∴△PCB∽△APM，
∴＝，
∴＝，
整理得a2﹣4a+2＝0，解得a＝2±，
∵a＞1，
∴a＝2+．

（3）当点P在等A的左侧时，∵△APM∽△ANO，
∴＝＝，
∵AM＝4a﹣2，OM＝2，
∴＝，
∴a＝．
当点P在D点A的右侧时，同法可得OA＝AM，
4a＝2﹣4a，
∴a＝，
综上所述，满足条件的a的值为或．

三．抛物线与x轴的交点（共1小题）
5．（2018•自贡）若函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为　﹣1　．
【解答】解：∵函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△＝22﹣4×1×（﹣m）＝0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
四．二次函数的应用（共1小题）
6．（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　）

A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
【解答】解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，

则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；
方案2：当∠BAC＝90°时，菜园最大面积＝×4×4＝8米2；

方案3：半圆的半径＝米，
∴此时菜园最大面积＝＝米2＞8米2；
故选：C．
五．二次函数综合题（共7小题）
7．（2022•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣）2﹣4×＝，
根据顶点坐标公式，＝﹣2，
∴＝﹣8，即＝8，
∴CD2＝×8＝，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴＝42＝16，
解得a＝，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．

8．（2022•自贡）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；
（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．


【解答】解：（1）由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4），
当y＝0时，则0＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣3，0）；
（2）如图，

当y＝3时，3＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝0，x2＝﹣2，
由图象可得：当﹣2≤x≤0时，y≥3；
（3）∵a+b+c＝0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，b＝﹣a﹣c，一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为x＝1，
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，
∴方程的另一个根为1+c﹣a，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为：直线x＝1+，
∴﹣＝1+，
∴a+c＝﹣a2+ac+2a，
∴（a﹣1）（a﹣c）＝0，
∵a＞c，
∴a＝1，P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2），
∴b＝﹣1﹣c，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣（1+c）x+c，
∴当x＝﹣c时，则y1＝（﹣c）2﹣（1+c）（﹣c）+c＝2c2+c﹣，
当x＝1+3c时，则y2＝（1+3c）2﹣（1+c）（1+3c）+c＝6c2+3c，
∴y2﹣y1＝（6c2+3c）﹣（2c2+c﹣）＝4（c+）2﹣，
∵b＞c，
∴﹣1﹣c＞c，
∴c＜﹣，
∴4（c+）2﹣＞0，
∴y2＞y1．
9．（2021•自贡）如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；
（2）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为：4，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+1）（x﹣a），令y＝0，可得x＝﹣1或a，
∴B（﹣1，0），A（a，0），
令x＝0，得到y＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
∴OA＝OC＝a，OB＝1，
∴AB＝1+a．
∵∠AOC＝90°，
∴∠OCA＝45°．

（2）∵△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
∵点D是△ABC的外心，
∴∠BDC＝2∠CAB＝90°，DB＝DC，
∴△BDC也是等腰直角三角形，
∴△DBC∽△OAC，
∴＝，
∴＝，
解得a＝2，
经检验，a＝2是方程的解，
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2．

（3）作点C关于抛物线的对称轴x＝的对称点C′，连接AC′．

∵C（0，﹣2），C′（1，﹣2），
∴C′C∥AB，
∵BC，AC′关于直线x＝对称，
∴CB＝AC′，
∴四边形ABCC′是等腰梯形，
∴∠CBA＝∠C′AB，
∵∠DBC＝∠OAC＝45°，
∴∠ABD＝∠CAC′，
∴当点P与点C′重合时满足条件，
∴P（1，﹣2）．
作点P关于直线AC的对称点E（0，﹣1），则∠EAC＝∠PAC＝∠ABD，作直线AE交抛物线于P′，点P′满足条件，
∵A（2，0），E（0，﹣1），
∴直线AE的解析式为y＝x﹣1，
由，解得（即点A）或，
∴P′（﹣，﹣），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣，﹣）．
10．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．

【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）由抛物线的表达式得，点M（﹣1，4），点N（0，3），
则tan∠MAC＝＝2，
则设直线AM的表达式为：y＝2x+b，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，
故直线AM的表达式为：y＝2x+6，
∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，
∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠DEF＝，
设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则点D（x，2x+6），
则FE＝EDcos∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）×＝（﹣x2﹣4x﹣3），
∵﹣＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D（﹣2，2）；
①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，

PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，
则BD＝＝；
②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，

DQ+OQ＝DQ+QK＝DK为最小值，
则直线OK的表达式为：y＝x，
∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y＝﹣x+b，
将点D的坐标代入上式并解得：b＝2﹣，
而直线DK的表达式为：y＝﹣x+2﹣，
故点Q（0，2﹣），
由直线KD的表达式知，QD与x轴负半轴的夹角（设为α）的正切值为，则cosα＝，
则DQ＝＝＝，而OQ＝（2﹣），
则DQ+OQ为最小值＝+（2﹣）＝．
11．（2019•自贡）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．
（1）求抛物线C函数表达式；
（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；
（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，
得，，
解得a＝﹣1，c＝3，
∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，
将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，
得，，
解得，k＝1，b＝1，
∴yAB＝x+1，
设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），
则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）
＝﹣（a﹣）2+，
根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，
∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK
＝MK•AH+MK•（xB﹣xH）
＝MK•（xB﹣xA）
＝××3
＝，
∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，
S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；

（3）存在点F，
∵y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），
如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，
若抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，设F（1，a），连接BF，CF，
则BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，
由题意可列：，
解得，a＝，
∴F（1，），
设抛物线上任一点P坐标为（x，﹣x2+2x+3），
则PF2＝（x﹣1）2+（﹣x2+2x+3﹣）2＝x4﹣4x3+x2﹣5x+，
设点P到直线y＝的距离为d，
则d2＝（﹣x2+2x+3﹣）2＝x4﹣4x3+x2﹣5x+，
∴PF2＝d2，
即PF＝d，
∴在抛物线C的对称轴上存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，
点F的坐标为（1，）．


12．（2018•自贡）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）把（1，0），（﹣3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3，解得y＝﹣3，
即D（﹣2，﹣3）．
设AD的解析式为y＝kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入，得
，
解得，
直线AD的解析式为y＝x﹣1；
（2）设P点坐标为（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3），
l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）
化简，得
l＝﹣m2﹣m+2
配方，得
l＝﹣（m+）2+，
当m＝﹣时，l最大＝；
（3）由（2）可知，0＜PQ≤．当PQ为边时，DR∥PQ且DR＝PQ．
∵R是整点，D（﹣2，﹣3），
∴PQ是正整数，
∴PQ＝1，或PQ＝2．当PQ＝1时，DR＝1，
此时点R的横坐标为﹣2，纵坐标为﹣3+1＝﹣2或﹣3﹣1＝﹣4，
∴R（﹣2，﹣2）或R（﹣2，﹣4）；
当PQ＝2时，DR＝2，
此时点R的横坐标为﹣2，纵坐标为﹣3+2＝﹣1或﹣3﹣2＝﹣5，
即R（﹣2，﹣1）或R（﹣2，﹣5）．
设点R的坐标为（n，n+m2+m﹣3），Q（m，m2+2m﹣3），
则QR2＝2（m﹣n）2．
又∵P（m，m﹣1）、D（﹣2，﹣3），
∴PD2＝2（m+2）2，
∴（m+2）2＝（m﹣n）2，
解得n＝﹣2（不合题意，舍去）或n＝2m+2．
∴点R的坐标为（2m+2，m2+3m﹣1）．
∵R是整点，﹣2＜m＜1，
∴当m＝﹣1时，点R的坐标为（0，﹣3）；
当m＝0时，点R的坐标为（2，﹣1）．
综上所述，存在满足R的点，它的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣2，﹣4）或（﹣2，﹣1）或（﹣2，﹣5）或（0，﹣3）或（2，﹣1）．
13．（2017•自贡）抛物线y＝4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．
（1）设AB＝2，tan∠ABC＝4，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．
【解答】解：（1）∵tan∠ABC＝4
∴可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝4（x﹣m）（x﹣m+2），
把C（0，4m）代入y＝4（x﹣m）（x﹣m+2），得m＝3，
∴抛物线的解析式为y＝4（x﹣3）（x﹣1），
∴y＝4x2﹣16x+12，

（2）如图，设D（m，4m2﹣16m+12）．作DH∥OC交BC于H．

∵B（3，0），C（0，12），
∴直线BC的解析式为y＝﹣4x+12，
∴H（m，﹣4m+12），
∴S△DBC＝S△DHC+S△DHB＝•（﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12）•3＝﹣6（m﹣）2+，
∵﹣6＜0，
∴m＝时，△DBC面积最大，
此时D（，﹣3）．

（3）不存在．
理由：假设存在．由题意可知，
且1＜﹣＜2，
∴4＜a＜8，
∵a是整数，
∴a＝5 或6或7，
当a＝5时，代入不等式组，不等式组无解．
当a＝6时，代入不等式组，不等式组无解．
当a＝7时，代入不等式组，不等式组无解．
综上所述，不存在整数a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立．
六．旋转的性质（共1小题）
14．（2018•自贡）如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，
则BG＝GC，AB∥MG∥CD，
∴AM＝MN，
∵MH⊥CD，∠D＝90°，
∴MH∥AD，
∴NH＝HD，
由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，
∴MC＝BC＝a，
由题意得，∠MCD＝30°，
∴MH＝MC＝a，CH＝a，
∴DH＝a﹣a，
∴CN＝CH﹣NH＝a﹣（a﹣a）＝（﹣1）a，
∴△MNC的面积＝××（﹣1）a＝a2，
故选：C．

七．中心对称图形（共3小题）
15．（2020•自贡）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
16．（2019•自贡）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
17．（2017•自贡）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意．
故选：A．