人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式导学案

第1课时　一元二次不等式的解法

课程标准

(1)掌握一元二次不等式的解法．(2)能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　一元二次不等式的概念

一般地，我们把只含有____未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式，称为一元二次不等式❶.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.

要点二　二次函数的零点

一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的________叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点❷.

要点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

助 学 批 注

批注❶　(1)“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如a，b，c等．

(2)“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2，并且最高次系数不为0.

批注❷　零点不是点，是交点的横坐标，是数．

批注❸　对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．

基 础 自 测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)mx2＋5x＜0是一元二次不等式．(　　)

(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则必有a＞0.(　　)

(3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　)

(4)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　)

2．不等式(x＋1)(x－3)<0的解集是(　　)

A．{x|－1<x<3}

B.  {x|－3<x<1}

C.  {x|x<－1或x>3}

D.  {x|x<－3或x>1}

3．不等式x2－4>0的解集是(　　)

A.{x|－2<x<2}    B．{x|x<－2}

C.{x|x>2}        D．{x|x<－2或x>2}

4．不等式2x2－x≤0的解集为________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1　不含参数的一元二次不等式的解法

例1　解下列不等式：

(1)2x2＋7x＋3>0；

(2)－4x2＋18x－≥0；

(3)－2x2＋3x－2<0.

方法归纳

解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

巩固训练1　(1)不等式x2＋2x－3>0的解集是(　　)

A．{x|x<－3或x>1}    B．{x|x<－1或x>3}

C．{x|－1<x<3}        D．{x|－3<x<1}

(2)不等式x(1－x)>0的解集是________．

题型 2　三个“二次”之间的关系

例2　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．

方法归纳

已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式解集的一般步骤

巩固训练2　(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的是(　　)

A．a＞0

B．不等式bx＋c＞0的解集为{x|x＜－12}

C．a＋b＋c＞0

D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x<－或x>}

题型 3　解含参数的一元二次不等式

角度1　对判别式“Δ”进行讨论

例3　解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.

角度2　对根的大小进行讨论

例4　解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)．

角度3　对二次项系数进行讨论

例5　设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.

方法归纳

解含参数的一元二次不等式的步骤

巩固训练3　[2022·河北唐山高一期末]已知关于x的不等式：ax2－(3a＋1)x＋3<0.

(1)当a＝－2时，解此不等式；

(2)当a>0时，解此不等式．

第1课时　一元二次不等式的解法

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

一个　2　

要点二

实数x　

要点三

{x|x<x1或x>x2}　{x|x≠－}　R　{x|x1<x<x2}　∅　∅

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．解析：由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，即原不等式的解集为{x|－1<x<3}．

答案：A

3．解析：x2－4＝(x＋2)(x－2)>0，

解得x<－2或x>2，

所以不等式的解集为{x|x<－2或x>2}．

答案：D

4．解析：由2x2－x≤0得x(2x－1)≤0，解得0≤x≤，故不等式2x2－x≤0的解集为.

答案：

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为.

(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.

巩固训练1　解析：(1)由x2＋2x－3>0，得(x－1)(x＋3)>0，解得x<－3或x>1.

所以原不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．

(2)∵不等式x(1－x)>0可化为x(x－1)<0，

解得：0<x<1，

∴该不等式的解集是{x|0<x<1}．

答案：(1)A　(2){x|0<x<1}

例2　解析：方法一　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6.由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.

方法二　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a<0，

故原不等式的解集为.

巩固训练2　解析：由题意知，－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＞0，即选项A正确；由韦达定理知，，即，

所以不等式bx＋c＞0可化为－ax－12a＞0，即x＋12＜0，解得x＜－12，即选项B正确；不等式cx2－bx＋a＜0可化为－12ax2＋ax＋a＜0，即12x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞，即选项D正确；因为1∉{x|x≤－3或x≥4}，所以当x＝1时，有a＋b＋c＜0，即选项C错误．

答案：ABD

例3　解析：Δ＝a2－16，下面分情况讨论：

(1)当Δ＜0，即－4＜a＜4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R.

(2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2＞0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2＞0，故x≠－1；

(3)当Δ＞0，即a＞4或a＜－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．

此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)＞0，

∴x＜x1或x＞x2.

综上，当－4＜a＜4时，原不等式的解集为R；当a＝－4时原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；

当a＞4或a＜－4时，原不等式的解集为；当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．

例4　解析：原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.

(1)当－1－a＜－1＋a，

即a＞0时，－1－a≤x≤－1＋a；

(2)当－1－a＝－1＋a，

即a＝0时，不等式即(x＋1)2≤0，

∴x＝－1；

(3)当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，－1＋a≤x≤－1－a.

综上，当a＞0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；

当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；

当a＜0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}．

例5　解析：(1)当a＝0时，不等式可化为x－2＞0，解得x＞2，即原不等式的解集为{x|x＞2}．

(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.

①当a＜－时，解不等式得－＜x＜2，

即原不等式的解集为；

②当a＝－时，不等式无解，

即原不等式的解集为∅；

③当－＜a＜0时，

解不等式得2＜x＜－，

即原不等式的解集为；

④当a＞0时，解不等式得x＜－或x＞2，

即原不等式的解集为.

巩固训练3　解析：(1)当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0

整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－或x＞3，

当a＝－2时，原不等式解集为{x|x＜－或x＞3}．

(2)当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0，

整理得：(x－3)(x－)＜0，

当a＝时，＝3，此时不等式无解；

当0＜a＜时，＞3，解得3＜x＜；

当a＞时，＜3，解得＜x＜3；

综上：当a＝时，解集为∅；

当0＜a＜时，解集为；

当a＞时，解集为.