江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-余弦函数的单调性、定义域、奇偶性、周期性、对称性

江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-余弦函数的单调性、定义域、奇偶性、周期性、对称性

一、单选题

1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知向量， 满足，，则的最小值为（       ）

A．1 B． C． D．2

2．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）函数在其定义域上的图象大致是（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

4．（2022·江苏连云港·模拟预测）如果函数满足，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）函数的一个对称中心是（       ）

A． B． C． D．

6．（2022·江苏常州·模拟预测）在中，满足，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

7．（2022·江苏泰州·一模）已知，均为锐角，且，则（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

8．（2022·江苏江苏·一模）下列函数中，最大值是1的函数有（       ）

A． B．

C． D．

9．（2022·江苏无锡·模拟预测）关于函数的下列结论正确的是（       ）

A．函数是偶函数 B．函数的周期是

C．函数的最大值为 D．函数在上有无数个零点

10．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知函数，则（       ）

A．是周期函数 B．是偶函数

C．是上的增函数 D．的最小值为

11．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知函数=sin[cosx]+cos[sinx]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，下列结论中不正确的是（       ）

A．的一个周期是2π B．是偶函数

C．在单调递减 D．的最大值不大于

12．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）已知函数，则（       ）

A．对任意正奇数n，f(x)为奇函数

B．当n=3时，f(x)在[0，]上的最小值为

C．当n=4时，f(x)的单调递增区间是

D．对任意正整数n，f(x)的图象都关于直线对称

13．（2022·江苏·模拟预测）设函数（，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（       ）

A．的最小正周期为π

B．的单调递减区间为，

C．图像的对称轴为直线，

D．的图像可由的图像向左平移个单位长度得到

14．（2022·江苏连云港·二模）已知函数，则（       ）

A．函数的最小正周期为

B．点是函数图象的一个对称中心

C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称

D．函数在区间上单调递减

15．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知，则（       ）

A．    B．    C．    D．   

16．（2022·江苏南通·模拟预测）已知定义在R上的函数的图象连续不间断，当时，，且当时，，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．在上单调递减

C．若，则

D．若是的两个零点，且，则

三、填空题

17．（2022·江苏无锡·模拟预测）写出一个最小正周期为1的偶函数______．

四、解答题

18．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知，函数．

(1)讨论的导函数零点的个数；

(2)若，求的取值范围．

参考答案：

1．D

【分析】利用向量的数量积公式和余弦函数的有界性即可求解.

【详解】∵，∴，

其中为向量，的夹角，

即，当时，有最小值，

故选:．

2．C

【分析】利用函数的奇偶性，以及特殊点的函数值符号即可由排除法选出正确图象.

【详解】，

所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项，

因为当时，，，

又因为时，，所以，

，，所以，故在区间与轴有三个交点，故排除.

故选：C.

3．C

【解析】首先排除函数的奇偶性，再判断时的函数值的正负.

【详解】，函数是奇函数，故排除AB，

当时，，，所以，故排除D.

故选：C

4．B

【分析】根据余弦函数的对称轴可得结果.

【详解】因为函数满足，所以的图象关于对称，

所以，，

所以，，

所以的最小值为.

故选：B

5．C

【分析】根据两角和正弦余弦公式及二倍角的余弦公式，再结合余弦函数的性质即可求解.

【详解】

.

由，得，此时.

所以的对称中心为.

当时，的一个对称中心为.

故选：C.

6．A

【分析】推导出，利用余弦函数的单调性可判断A选项；利用特殊值法可判断BCD选项.

【详解】对于A选项，因为，所以，，则，

因为，所以，，A对；

对于B选项，取，，则，B错；

对于C选项，取，，则，C错；

对于D选项，取，，则，D错.

故选：A.

7．D

【分析】由已知条件可得，构造函数，，利用导数可得在上为增函数，从而可得，再由正余弦函数的单调性可得结论

【详解】，，

令，，，

所以在上为增函数，

∴，

∵，均为锐角，

∴，

∴，

故选：D.

8．BC

【分析】化简变形各个选项中的函数解析式，再求其最大值即可判断作答.

【详解】对于A，，当且仅当，即时取“=”，

即当时，，A不正确；

对于B，，当且仅当，即时取“=”，

即当时，，B正确；

对于C，，当且仅当，即时取“=”，

即当时，，C正确；

对于D，依题意，由，都有意义，且得：，且，且，，

，显然最大值为1，

此时，，而使函数无意义，即不能取到1，D不正确.

故选：BC

9．ACD

【解析】利用偶函数的定义可判断A；根据周期函数定义可判断B；利用

可判断C；令，得可判断D.

【详解】因为，，

所以函数是偶函数，A正确；

，

所以的周期不是，B错误；

由于，所以

，

当时，，所以函数的最大值为，C正确；

令，得，

当时，，

所以函数在上有无数个零点，D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查余弦函数的性质，解题关键点是理解绝对值的意义和余弦函数的性质，需要根据奇偶性、周期、单调性和最值逐个去判断，考查运算能力、推理能力.

10．BC

【分析】令，则，再分析的奇偶性、周期性与单调性，即可判断；

【详解】解：因为，令，则，

对于A，因为是周期为的周期函数，关于轴对称，不是周期函数，

所以不是周期函数，则也不是周期函数，故A错误；

对于B，的定义域为，

且，

所以为偶函数，则，故为偶函数，故B正确；

对于C，当时，，

，所以单调递减，则单调递增，故C正确；

对于D，当时，，则

故的最小值不为，故D错误．

故选：BC．

11．BCD

【分析】A.利用周期函数的定义判断；B.利用的关系判断；C.由时判断；D.由判断.

【详解】A.，

，故正确；

B.，

，故错误；

C.当时，，则，在无单调性，故错误；

D.，故错误；

故选：BCD

12．BD

【分析】通过判断的值，判断A的正误；利用函数的导数判断函数的单调性，求解最大值，判断B的正误；求出函数的单调增区间判断C的正误；判断，判断D的正误．

【详解】解：对于A，取，则，从而，此时不是奇函数，则A错误；

对于B，当时，，

当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为，故B正确；

对于C，当时，，

令，则，

所以的递增区间为，则C错误；

对于D，因为，所以的图象关于直线对称，则D正确；

故选：BD.

13．ABD

【分析】由单调性和函数值分析周期，得出相邻的对称轴和对称中心，求得周期后得，然后得值，最后利用余弦函数性质确定减区间，对称轴，并利用图象变换判断各选项．

【详解】由在区间上具有单调性可知，的最小正周期T满足，所以.

又因为，所以，在同一个周期内且，

故图像的一条对称轴为直线.

又由，知图像的一个对称中心为，且所求得的对称轴与对称中心是相邻的，

所以，得，即，故A正确；

又因为图像的一个对称中心为，

所以，所以，，

由知，，则，

由，，解得，，故B正确；

令，，得，，故C错误；

的图像向左平移个单位长度得的图像，故D正确.

故选：ABD.

14．BCD

【分析】先将化简为，再结合余弦函数的性质判断4个选项即可.

【详解】，故最小正周期为，A错误；

，点是一个对称中心，B正确；

向左平移个单位长度得到，关于轴对称，C正确；

，单调递减，D正确.

故选：BCD.

15．ABC

【分析】将变为结合指数函数的性质，判断A;构造函数，求导，利用其单调性结合图象判断x,y的范围，利用余弦函数单调性，判断B;利用正弦函数的单调性判断C，结合余弦函数的单调性，判断D.

【详解】由题意，，得 ，

，，∴，∴，A对；

，令，即有，

令，

在上递减，在上递增，

因为 ，∴，

作出函数以及 大致图象如图：

则，∴，结合图象则，

∴，∴，B对；

结合以上分析以及图象可得，∴，

且 ，

∴，C对；

由C的分析可知，，

在区间 上，函数 不是单调函数，即不成立，即不成立，故D错误；

故选：ABC．

【点睛】本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答.

16．ACD

【分析】对于A，在中令，即可判断A；

对于B，对两边求导，结合，即可得出在上单调递增，即可判断B.

对于C，分别讨论和 ，再结合在上单调递增，上单调递减，即可判断C.

对于D，先证明，则，再令，而由，所以，所以，即可判断D.

【详解】对于A，在中令，则，所以，故A正确；

对于B，当时，，对两边求导，则，

所以时，，

所以，令，，，

所以在上单调递增，所以B错；

对于C，由B知，在上单调递增，上单调递减，由知不可能均大于等于1，否则，则，这与条件矛盾，舍去.

①若，则，满足条件，此时，；’

②若，则，而，则

，

所以，而，所以

，C正确；

对于D，由在上单调递增，上单调递减，知，

注意到，，，

所以，

若，则，则，

所以

()，这与矛盾，舍去.

所以，在时，中，令，而由，所以，所以，故D正确.

故选：ACD.

17．

【分析】常见的周期函数是三角函数，可以利用余弦型函数周期公式进行构造.

【详解】因为函数的周期为，所以函数的周期为1.

故答案为：.（答案不唯一）

18．(1)当时， 的零点个数为0；当时， 的零点个数为1；

(2).

【分析】（1）求导再对分三种情况讨论得解；

（2）先证明满足题意；再讨论时，，综合即得解.

(1)

解：令．

若，则，所以的零点个数为0；

若，所以在上单调递增，

又，所以的零点个数为1；

若，所以在上单调递增，

又，所以的零点个数为1．

综上得，当时， 的零点个数为0；当时， 的零点个数为1.

(2)

解：由（1）知：

若，故在上单调递增，

所以，所以满足题意；

若，存在唯，使得，

且当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以，

化简得，又，

所以，

设，

所以在上单调递减，所以，

解得．

综上所述，的取值范围为．