初中数学冀教版八年级上册15.1 二次根式教案设计

15.1二次根式（1）

教学目标

【知识与能力】

1.了解二次根式的概念和二次根式的非负性.

2.理解和掌握二次根式的简单性质,并能利用它们进行化简和计算.

【过程与方法】

1.经历观察、比较、总结的过程,培养学生的归纳能力.

2.感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识和对数学的探究能力.

【情感态度价值观】

1.通过探究学习,培养学生应用数学的热情.

2.培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.

教学重难点

【教学重点】

二次根式的概念和简单性质.

【教学难点】  

二次根式的简单性质.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

1.回顾:什么叫平方根?什么叫算术平方根?

2.【课件1】　填空.

(1)的平方根是　　　　; 

(2)一个圆的面积为S,这个圆的半径是　　　　; 

(3)若正方形的面积为a-4,则边长为　　　　. 

学生思考并回答.

3.提问:你能发现它们有什么共同的特征吗?

学生观察,总结共同特征并表述意见.

[设计意图]　唤起学生对于平方根和算术平方根的记忆,使学生认识到学习根式的必要性.通过观察、归纳,为后面学习二次根式的概念及其基本性质做好铺垫.

导入二:

1.已知一个正方形的面积为a,则正方形的边长是　　　　. 

2.提问:你认为所得的代数式有什么特点?(教师鼓励学生用自己的语言总结出特征,鼓励学生大胆表述意见,然后作适当点评,板书本课课题)

[设计意图]　让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子,一方面复习了旧知识,另一方面为接下来学习新课做准备.通过问题引入,调动了学生的积极性.

导入三:

在第十四章,我们学习了平方根及算术平方根,知道当a≥0时,表示非负数a的算术平方根,±表示非负数a的平方根;,±都表示非负数a的开平方,中“”表示一种运算,因此,(a≥0)还有一个名字,你知道吗?

[设计意图]　通过复习平方根和算术平方根的表示方法和意义,引出的另一个名称,引起学生思考,激发学生的学习热情.

二、新知构建：

活动一:二次根式的概念

　　[过渡语]　我们已经学习了数的开平方,并用(a≥0)表示非负数a的算术平方根.现在,我们首先来学习二次根式的定义.

思路一

【课件2】　(教材第90页一起探究)

1.(1)2,18,,的算术平方根是怎样表示的?

(2)非负数m,p+q,t2-1的算术平方根又是怎样表示的?

2.学校要修建一个占地面积为Sm2的圆形喷水池,它的半径应为多少米?如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为am2的环形绿化带,那么所成大圆的半径应为多少米?

引导学生分析得出:

1.解:(1),,,.　(2),,.

2. 解:,.

引导学生概括二次根式的定义:在上面的问题中,我们得到了,,,,,,,,等式子,它们分别表示某个非负数的算术平方根.一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.

[知识拓展]　(1)二次根式的被开方数a可能为整式,也可能为分式,因此要分清a所代表的式子类型.

(2)本身作分母时,要注意只能大于0,不能等于0.

(3)要注意,等,这时无论a取何值都有意义.

[设计意图]　让学生通过自己思考,得出表示这些数的一般形式,体会概念是由具体到抽象、由特殊到一般的过程形成的,进而给出二次根式的概念.

【课件3】　判断下列各式是二次根式吗?

;　②6;　;　(m≤0);　(x,y异号);　;　+1;　.

学生快速回答,共同分析.

[设计意图]　通过小练习及时检验学生对二次根式概念的理解和把握,二次根式根号内被开方数的取值范围一定要大于或等于0.

思路二

活动:

(引导学生概括二次根式的定义:像,这样表示一个非负数的算术平方根的式子叫做二次根式)

概念深化:

提问:+1是不是二次根式?呢?

议一议:二次根式表示什么意义?

此算术平方根的被开方数是什么?被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义?

其中字母a要满足什么条件?为什么?

【展示点评】

经学生讨论后,让学生回答,并让其他的学生点评.

最后教师归纳:一个非负数的算术平方根才是二次根式,如果无法判断被开方数是非负数,那么这个式子就不能说是二次根式.+1中的a可能为正,也可能为负,所以不能说这个式子是二次根式,中的a+1也可能为正,也可能为负,所以也不能说这个式子是二次根式.

【反思小结】

教师总结:从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件:

(1)必须有二次根号;

(2)被开方数不能小于0.

[设计意图]　通过探究促使学生独立思考、合作探讨,并最终获得结论,有利于帮助学生从被动地接受知识到主动地探索新知,满足学生的多样化学习需求,通过学生自己归纳总结,让学生经历二次根式概念的形成过程,符合学生的认知规律,避免了概念教学的机械记忆,同时提高学生的概括总结能力,培养了学生思维的严谨性.

活动二:二次根式的简单性质

　　[过渡语]　了解了二次根式的概念,实际上(a≥0)表示的就是我们以前学过的非负数a的算术平方根,下面我们来研究一下它有哪些简单性质.

思路一

【课件4】　(教材第90页大家谈谈)小亮和小颖对二次根式“(a≥0)”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明.

小亮的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根的意义,有≥0.

小颖的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根和被开方数的意义,有()2=a.

学生讨论举例后得出小亮和小颖的观点都正确.

教师总结:(1)(a≥0)是一个非负数,即具有双重非负性,一是被开方数是非负数,二是它的结果是非负数;(2)()2=a(a≥0),即非负数a的算术平方根的平方等于a.

【课件5】　做一做:

=　　　　;=　　　　;=　　　　;=　　　　;=　　　　.

教师点评:根据算术平方根的意义,我们可以得到:=2;=0.01;;;=0.

想一想:根据上面的计算,你能得到什么结论?

学生讨论得出,一般地,=a(a≥0).

【课件6】　(教材第91页做一做)化简.

(1)()2;　(2);　(3);　(4).

教师指名回答,公布答案.

解:(1)()2=3.　(2).　(3)=5.　(4).

思路二

我们知道非负数有算术平方根,所以根据算术平方根的意义,我们不难得到非负数的算术平方根还是非负数,即≥0(a≥0).

1.性质1:()2=a(a≥0).

(1)观察:22=4,即()2=4;32=9,即()2=9……

(2)提问:观察上述等式的两边,你得到什么启示?

(3)板书:当a≥0时,=a.

[设计意图]　通过观察、思考、解答,培养学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力,使学生真正成为知识的主动建构者.

2.性质2:=a(a≥0).

(1)提问:等于什么?

(2)举例:=2;=2;=3;=3……

(3)发现:当a≥0时,=a;当a<0时,=-a.

(4)归纳:

3.比较()2和的区别.

学生讨论,回答.

说明:关键抓住被开方数的非负性和(a≥0)的非负性.

[知识拓展]　理解()2和时应注意以下几点:

(1)从a的取值范围理解:中的a为全体实数,而()2中的a为非负数.

(2)从所得的结果理解:,而()2=a,也就是说当a≥0时,=()2.

[设计意图]　通过比较、讨论、试做的教学方式,加深学生对两个性质的认识,同时,也关注了学生学习方式的个性化,做到既着眼于共同发展,又关注于个性差异.

活动三:例题讲解

【课件7】

　化简.

(1);　(2).

〔解析〕　0.04=0.22,,可以利用=a(a≥0)化简.

解:(1)=0.2.　(2)=12=1.

[设计意图]　尽管问题相对简单,但规范的解答还是非常有必要的,要养成学生学习一个新概念时稳扎稳打的态度,这样对于概念才会认识得更深更透.

三、课堂小结：

1.二次根式的定义

一般地,把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.

判断一个式子是不是二次根式,一定要紧扣定义,看所给的式子是否同时具备如下两个特征:

(1)带有二次根号“”,即根指数是2;

(2)被开方数不小于零.

只有同时满足上述两个特征,才是二次根式,如果不满足其中任何一个特征,就不是二次根式.

2.二次根式的基本性质

(1)当a≥0时,()2=a;(2)当a≥0时,=a.

们服务.