湘教版初中数学九年级上册期末测试卷（困难）（含答案解析）

这是一份湘教版初中数学九年级上册期末测试卷（困难）（含答案解析），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湘教版初中数学九年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温将至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是(    )

A. 水温从20℃加热到100℃，需要7min
B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400x
C. 上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D. 水温不低于30℃的时间为773min
2. 如图，A、B是函数y=12x上两点，P为一动点，作PB//y轴，PA//x轴，下列说法正确的是(    )
①△AOP≌△BOP；②S△AOP=S△BOP；③若OA=OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP=4，则S△ABP=16


A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
3. 如图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图”，四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，若HM：EM=8：9，HD=2，则AB的长为(    )
A. 114
B. 2910
C. 3
D. 22
4. 在平面直角坐标系中，函数y=2022x与y=2x+6的图象交于点(x1,y1)、(x2,y2)，则代数式(x1+y2)(x2+y1)=(    )
A. −1011 B. 1011 C. 2022 D. −2022
5. 如图，菱形ABCD的边长为8，E、F分别是AB、AD上的点，连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BE=AF=2，∠BAD=120°，则FG的长为(    )

A. 132 B. 3 C. 2 D. 32
6. 如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且GCBG=12，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE=3，则DF的长为(    )
A. 22
B. 453
C. 92
D. 352
7. 如图，在反比例函数y=3x的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=kx的图象上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为(    )

A. −6 B. −12 C. −18 D. −24
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，CE平分∠ACB，与对角线BD相交于点N，F是线段CE的中点，则下列结论中正确的有个．(    )
①OF=56；②ON=2526；③S△CON=1513；④sin∠ACE=513．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB=9，AD=6，BE=3，则DF的长是(    )
A. 72 B. 4 C. 924 D. 3
10. 关于七年级(1)与(6)班在运动会中的比赛成绩，甲同学说：(1)班与(6)班得分比为6:5;乙同学说：(1)班得分是(6)班得分的2倍少40分.设(1)班得x分，(6)班得y分，则(    )
A. 6x=5yx=2y−40 B. 6x=5yx=2y+40 C. 5x=6yx=2y−40 D. 5x=6yx=2y+40
11. 某短跑队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，教练记录了他们10次训练成绩，然后对他们的成绩平均数(秒)及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙、丁的成绩分析如表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数
10.9
10.9
11.0
10
方差
3.29
1.49
1.8
1.8
根据上表信息，参赛选手应选(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
12. 为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续4天的最高气温，结果如下(单位：℃)：−1，−3，−1，5.下列结论错误的是(    )
A. 平均数是0 B. 中位数是−1 C. 众数是−1 D. 方差是6
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，点P为双曲线y=−85x(x<0)上一动点，连接OP并延长到点A，使PA=PO，过点A作x轴的垂线，垂足为B，交双曲线于点C.当AC=AP时，连接PC，将△APC沿直线PC进行翻折，则翻折后的△A′PC与四边形BOPC的重叠部分(图中阴影部分)的面积是______．


14. 如图，在边长为22的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为______．


15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC=1，点P为边BC上一点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°交AB于点Q，则BQ长度的最大值为______．


16. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=5，sinB=45，点E是腰CD上的一点且CD=4DE，当△ABE是直角三角形时，则边AD的长为______．




三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 如图，直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=mx(m≠0)相交于A(1,2)，B(n,−1)两点．
(1)求双曲线的解析式；
(2)若A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，A3(x3,y3)为双曲线上的三点，且x1<0 (3)观察图象，请直接写出不等式kx+b
18. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=6x(x>0)的图象交于A(m,6)，B(3,n)两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使kx+b<6x成立的x的取值范围；
(3)求△ABO的面积．

19. 党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．

根据以上信息回答下列问题：
(1)长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是______年；
(2)长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是______；
(3)与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了______件，专利授权量年增长率提高了______个百分点；(注：1%为1个百分点)
(4)根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．
①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量就最小．______
②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上升．这是因为专利授权量年增长率=当年专利授权量−上一年专利授权量上一年专利授权量×100%，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加．______
③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量．______
20. 定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根为x1，x2x1 (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)求衍生点M的轨迹的解析式；
(3)若无论kk≠0为何值，关于x的方程ax2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=kx−2k−2的图象上，求b与c满足的关系．
21. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=a，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB、DC．
(1)如图1，当α=60°时，请直接写出线段PA与线段CD的数量关系是______ ，∠DCP为______ 度；
(2)如图2，当α=120°时，写出线段PA和线段DC的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，在(2)的条件下，当AB=23时，求BP+13PC的最小值．


22. 已知一次函数y=3x+b的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(m,3)，与x轴交于点B，△AOB的面积为3．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)根据图象直接回答，在第一象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
(3)点C为x轴上一点，若△COA与△AOB相似，求AC的长．
23. 如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群。在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向。已知以小岛C为中心，周围10海里内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？

24. 如图，在7×7的正方形网格中，A，B，C均为小正方形的顶点，E是AC与网格线的交点．用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹．
(1)在图1中，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AM；在AC上画点N，使tan∠ABN=12；
(2)在图2中，在BC上画点F(不与点C重合)，使EF=EC；并找出F关于AB的对称点G．


25. 某地区为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费.为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：
(1)此次调查抽取了多少用户的用水量数据？
(2)补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；
(3)如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区20万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？



答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：100−2010=8min，
故A选项不合题意；
由题可得，(8,100)在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y=kx，
代入点(8,100)可得，k=800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=800x，
故B选项不合题意；
令y=20，则800x=20，
∴x=40，
即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到100分钟，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，
令x=10，则y=80010=80℃>40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：30−2010=1min，
令y=30，则800 x=30，
∴x=803，
∴水温不低于30℃的时间为803−1=773min，
故选：D．
因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为100−2010=8min，故A不合题意，利用点(8,100)，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y=20，则x=40，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10分钟，令x=10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于30℃时的时间．
本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：∵点P是动点，
∴BP与AP不一定相等，
∴△BOP与△AOP不一定全等，故①不正确；
设P(m,n)，
∴BP//y轴，
∴B(m,12m)，
∴BP=|12m−n|，
∴S△BOP=12|12m−n|×m=12|12−mn|
∵PA//x轴，
∴A(12n,n)，
∴AP=|12n−m|，
∴S△AOP=12|12n−m|×n=12|12−mn|，
∴S△AOP=S△BOP，故②正确；
如图，过点P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，

∴S△AOP=12OA×PF，S△BOP=12OB×PE，
∵S△AOP=S△BOP，
∴OB×PE=OA×PF，
∵OA=OB，
∴PE=PF，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴OP是∠AOB的平分线，故③正确；
如图1，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，

∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，
∴四边形OMPN是矩形，
∵点A，B在双曲线y=12x上，
∴S△AMO=S△BNO=6，
∵S△BOP=4，
∴S△PMO=S△PNO=2，
∴S矩形OMPN=4，
∴mn=4，
∴m=4n，
∴BP=|12m−n|=|3n−n|=2|n|，AP=|12n−m|=8|n|，
∴S△APB=12AP×BP=12×2|n|×8|n|=8，故④错误；
∴正确的有②③，
故选：B．
由点P是动点，进而判断出①错误，设出点P的坐标，进而得出AP，BP，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确，利用角平分线定理的逆定理判断出③正确，先求出矩形OMPN=4，进而得出mn=4，最后用三角形的面积公式即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，三角形面积公式，角平分线定理逆定理，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：∵HM：EM=8：9，
∴设HM=8x，EM=9x，
∵四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，
∴HD=NQ=2，BG=BE，BC=AD=AB，
由题意得，AH=EM=9x，AE=HM=8x，
∴AB=BC=AD=9x+2，
∴BG=BE=AB−AE=9x+2−8x=x+2，
∵BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，
∴BG2+NQ2=BC2，
∴(x+2)2+22=(9x+2)2，
解得：x=110(负值舍去)，
∴AB=9×110+2=2910，
故选：B．
设HM=8x，EM=9x，根据正方形的性质得到HD=NQ=2，BG=BE，BC=AD=AB，由题意得，AH=EM=9x，AE=HM=8x，求出BC=9x+2，BG=x+2，根据勾股定理列方程即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数和一次函数图像的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，整体代入法．
先根据反比例函数和一次函数图像上点的坐标特征得x1y1=x2y2=2022，y1y2=2022x1×2022x2=20222x1x2，再根据反比例函数和一次函数图像的交点为(x1,y1)、(x2,y2)得x1x2=−1011，最后化简整式，整体代入计算即可解答．
【解答】
解：∵函数y=2022x与y=2x+6的图象交于点(x1,y1)、(x2,y2)，
∴2022x=2x+6，x1y1=x2y2=2022，y1y2=2022x1×2022x2=20222x1x2
∴2x2+6x−2022=0，
∴x2+3x−1011=0，
∴x1x2=−1011，
∴(x1+y2)(x2+y1)=x1x2+x1y1+x2y2+y1y2
=−1011+2022+2022+2022×2022−1011
=−1011+2022+2022−2×2022
=−1011．  
5.【答案】A 
【解析】解：方法一：过点E作EM//BC交AC于M，EN⊥BC于N，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为8，∠BAD=120°，BE=AF=2，
∴AB=BC=8，∠BAC=∠FAC=12∠BAD=60°，AD//BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，BC=AC，
∵EM//BC，
∴EM//AD，∠AEM=∠B=60°=∠BAC，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM=AE=AB−BE=8−2=6，
∵EM//AD，
∴△AGF∽△MGE，
∴FGEG=AFEM=26=13，
∴FG=14EF，
在△BCE和△ACF中，
BC=AC∠B=∠FACBE=AF，
∴△BCE≌△ACF(SAS)，
∴CE=CF，∠BCE=∠ACF，
∴∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE，
∵EN⊥BC，∠B=60°，
∴∠BEN=30°，
∴BN=12BE=1，
∴EN=3BN=3，CN=BC−BN=8−1=7，
∴EF=CE=EN2+CN2=(3)2+72=213，
∴FG=14EF=132，
方法二：∵△AGF∽△DFC，
∴AFDC=AGDF，
∴28=AG6，
∴AG=1.5，
过点G作GM⊥AD于点M，

可得GM=334，MF=54，
∴GF=(334)2+(54)2=132．
方法三：∵△EFC是等边三角形，∠B=60°，
∴∠AEG=∠BCE，
∴△BCE∽△AEG，
∴BEAG=BCAE，
∵BE=2，BC=8，
∴AE=6，
∴AG=1.5，
∴BEAG=BCAE=43，
∴CEEG=43，
设CE=4x，则EG=3x，
∴FG=EF−EG=x，
∵∠GAF=∠GEC=60°，∠AGF=∠EGC，
∴△AGF∽△EGC，
∴AGEG=GFGC，
∴1.53x=x6.5，
∴x=132．
∴FG=132．
故选：A．
方法一：过点E作EM//BC交AC于M，EN⊥BC于N，证△AEM是等边三角形，得AM=AE=3，再证△AGF∽△MGE，得FGEG=AFEM=26=13，则FG=14EF，然后证△BCE≌△ACF(SAS)，得CE=CF，∠BCE=∠ACF，则△CEF是等边三角形，得EF=CE，最后由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得CE=213，即可求解．方法二：证明△AGF∽△DFC，可得AFDC=AGDF，所以AG=1.5，过点G作GM⊥AD于点M，再利用勾股定理即可解决问题．方法三：证明△BCE∽△AEG，可得CEEG=43，设CE=4x，则EG=3x，FG=EF−EG=x，然后证明△AGF∽△EGC，进而可以解决问题．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．

6.【答案】D 
【解析】解：过点E作EH⊥AD，交DA延长线于H，
∴∠H=90°，

在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠H=∠BCD，
∵DE⊥DG，
∴∠EDG=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
∴△DEH∽△DGC，
∴EHGC=DHDC，
∵GCBG=12，
∴设GC=x，则BG=2x，DC=BC=3x，
∴EHGC=DH3x，
∴DH=3EH，
∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠DAC=45°，
∵∠EAH=∠DAC=45°，
∴∠HEA=45°，
∴EH=HA，
∴EH2+HA2=9，
∴EH=HA=322，
∴DH=922，
∴AD=32，
∴GC=2，
∴DG=CD2+CG2=25，
∵在正方形ABCD中，AD//BC，
∴CGAD=GFDF=13，
∴DF=3GF，
∴DF=352；
故选：D．
过点E作EH⊥AD，交延长线于H，再根据正方形的性质，推出∠H=∠BCD，根据同角的余角相等，推出∠1=∠3，证明△DEH∽△DGC，推出EHGC=DHDC，AC是正方形ABCD对角线，推出∠EAH=∠DAC=45°，求出EH=HA=322，进而求出DF=352．
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定与性质、正方形的性质的综合应用，其中辅助线的做法、相似的证明、勾股定理的应用是解题关键．

7.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.也考查了反比例函数的性质和相似三角形的判定与性质，连接OC，作CM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，如图，利用反比例函数的性质得OA=OB，根据等腰三角形的性质得OC⊥AB，利用正切的定义得到CO AO=2，再证明Rt△OCM∽Rt△AON，利用相似的性质得 S△COM S△OAN=4，然后根据k的几何意义求k的值．
【解答】
解：连接OC，作CM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，如图，

∵A、B两点为反比例函数与正比例函数的两交点，
∴点A、点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵CA=CB，
∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，tan∠CAO=CO AO=2，
∵∠COM+∠AON=90°，∠AON+∠OAN=90°，
∴∠COM=∠OAN，
∴Rt△OCM∽Rt△AON，
∴ S△COM S△OAN=4，
而S△OAN=12×3=32，
∴S△CMO=6，
∵12k=6，
∴k=12
而k<0，
∴k=−12．
故选B．  
8.【答案】C 
【解析】解：①如图，过点E作EH⊥AC于H，

∵AB=3，AD=4，
∴AC=AB2+BC2=9+16=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=DO=BO=52，
∵CE平分∠ACB，EH⊥AC，∠ABC=90°，
∴BE=EH，
∵S△ABC=S△AEC+S△BCE，
∴12×AB×BC=12×AC×EH+12×BC×BE，
∴3×4=5×EH+4×EH，
∴EH=43=BE，
∴AE=AB−BE=53，
∵F是线段CE的中点，AO=CO，
∴OF=12AE=56，
故①正确；
②∵OF//AB，
∴OFBE=ONBN=5643=58，
∴ON=58BN，
∵ON+BN=BO=52，
∴BN=2013，NO=2526，
故②正确；
③∵S△BOC=14S矩形ABCD，
∴S△BOC=14×3×4=3，
∵ON=58BN，
∴S△CON=513×3=1513，
故③正确；
④∵BE=43，BC=4，
∴EC=BE2+BC2=169+16=4103，
∴sin∠ACE=EHEC=434103=1010，
故④错误，
故选：C．
利用面积法可求BE的长，由三角形的中位线定理可求OF的长，可判断①；由平行线分线段成比例可求ON的长，可判断②；由面积关系可求△ONC，可判断③；由勾股定理可求EC的长，由锐角三角函数可求sin∠ACE的值，可判断④，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

9.【答案】D 
【解析】解：如图，延长EH交CF于点P，过点P作MN⊥CD于N，

∵将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，
∴AD=BC=CH=6，∠DCF=∠GCF，BE=EH=3，∠B=∠CHE=90°，
在△CPH和△CPN中，
∠CHP=∠CNP=90°∠GCF=∠DCFCP=CP，
∴△CPH≌△CPN(AAS)，
∴NP=PH，CH=CN=6，
∵∠B=∠BCD=90°，MN⊥CD，
∴四边形BCNM是矩形，
又∵CN=CB=6，
∴四边形BCNM是正方形，
∴MN=BM=6，
∴EM=3，
∵EP2=EM2+PM2，
∴(3+NP)2=9+(6−NP)2，
∴NP=2，
∵tan∠DCF=NPCN=DFCD，AB=CD=9，
∴26=DF9，
∴DF=3，
故选：D．
由折叠的性质可得BC=CH=6，∠DCF=∠GCF，BE=EH=3，∠B=∠CHE=90°，由“AAS”可证△CPH≌△CPN，可得NP=PH，CH=CN=6，通过证明四边形BCNM是正方形，可得MN=BM=6，在Rt△EPM中，利用勾股定理可求NP的长，由锐角三角函数可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题主要考查了二元一次方程组的应用．
设(1)班得x分，(2)班得y分，根据：(1)班与(2)班得分比为6：5；(1)班得分比(2)班得分的2倍少40分即可列出方程组．
【解答】
解：设(1)班得x分，(2)班得y分，
根据题意可得：5x=6yx=2y−40，
故选C．  
11.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查方差的意义．
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；
反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定;
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】
解：∵S甲2>S丙2=S丁2>S乙2，
平均数丙>甲=乙>丁，
因为所用时间越短越好，而丁的时间用的最短，即成绩最好，且成绩较为稳定，
所以选择丁参赛
故选D．  
12.【答案】D 
【解析】
【分析】
此题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题关键．
根据平均数的计算公式、中位数、众数的定义以及方差公式分别对每一项进行分析即可．
【解答】
解：平均数=(−1−3−1+5)÷4=0，
把这些数从小到大排列为：−3，−1，−1，5，
则中位数是−1；
∵数据−1出现两次最多，
∴众数为−1，
方差=14[(5−0)2+2(−1−0)2+(−3−0)2]=9．
故选：D．  
13.【答案】55 
【解析】解：连接OC，BP，则S△OBE=12OB⋅BC=12|−85|，

∴OB⋅BC=85，
∵AP=AC，将△APC沿直线PC进行翻折得△A′PC，
∴AP=AC=A′C=A′P，
∴四边形ACA′P为菱形，
∴PA′//AB，A′C//OA，
∵AB⊥x轴，
∴PA′⊥x轴，
∴S△OPD=12OD⋅PD=12|−85|=45，
∴OD⋅PD=85，
∴OB⋅BC=OD⋅PD，
∵AP=OP，PD//AB，
∴OD=BD，
∴PD=12AB，OD=12OB，
∵CE//OA，
∴∠CEB=∠POD，
∵∠CBE=∠PDO=90°，
∴△BCE∽△DPO，
∴S△BCES△DPO=(BCDE)2，
∵OB⋅BC=OD⋅PD，OD=12OB，
∴BC=12PD=14AB，
∴BCDP=12，S△APC=34S△ABP，
∴S△BCES△DPO=14，
∴S△BCE=14S△DPO=5，
∵DP//AB，
∴△OPD∽△OAB，
∴S△OPDS△OAB=(OPOA)2=14，
∴S△OAB=4S△OPD=165，
∵OP=AP，
∴S△ABP=12S△OAB=85，
∴S△ACP=34S△ABP=65，
∴S阴影=S△OAB−S△OPD−S△BCE−S△ACP=55．
连接OC，BP，根据折叠性质得四边形ACA′P为菱形，进而得A′C//AO，A′P//AB，由反比例函数的比例系数的几何意义和相似三角形的性质求出△OPD，△OAB，△BCE的面积，进而结合边的比例关系求出△ACP的面积，最后便可求得阴影部分面积．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，折叠性质，菱形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，中位线定理，三角形的面积，涉及的知识点多，难度较大，关键是由△OPD与其他三角形的关系，求出其他三角形的面积．

14.【答案】1 
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B=∠DCF=90°，BC=CD=AB，根据线段中点的定义得到BE=CF，根据全等三角形的性质得到CE=DF，∠BCE=∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE=DF=(22)2+(2)2=10，点G，H分别是EC，FD的中点，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可得到结论．
【解答】
解：设DF，CE交于O，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠DCF=90°，BC=CD=AB，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴BE=CF，
∴△CBE≌△DCF(SAS)，
∴CE=DF，∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD=90°，
∴∠BCE+∠CFD=90°，
∴∠COF=90°，
∴DF⊥CE，
∴CE=DF=(22)2+(2)2=10，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴CG=FH=102，
∵∠DCF=90°，CO⊥DF，∠BCE=∠CDF，
∴△COF∽△DCF，
∴CF2=OF⋅DF，
∴OF=CF2DF=(2)210=105，
∴OH=31010，OD=4105，
∵CO⊥DF，∠BCE=∠CDF，
∴△COF∽△DOC，
∴OC2=OF⋅OD，
∴OC=105×4105=2105，
∴OG=CG−OC=102−2105=1010，
∴HG=OG2+OH2=110+910=1，
故答案为：1．  
15.【答案】32−4 
【解析】解：过点Q作QT⊥BC于T，设BQ=y，CP=c，则BT=TQ=22y，

∵将线段PA绕点P逆时针旋转90°交AB于点Q，
∴∠APA′=90°，
∵∠APC+∠TOQ=∠APC+∠PAC=90°，
∴∠TPQ=∠PAC，
∵∠C=∠PTQ=90°，
∴△PTQ∽△ACP，
∴PTAC=TQPC，
∴1−x−22y1=22yx，
∴x2+(22y−1)x+22y=0，
∵△≥0，
∴(22y−1)2−4×22y≥0，
解得y≤32−4或y≥32+4(舍去)，
∴BQ≤32−4，
∴BQ的最大值为32−4．
过点Q作QT⊥BC于T，设BQ=y，CP=c，则BT=TQ=22y，证明△PTQ∽△ACP，推出PTAC=TQPC，推出1−x−22y1=22yx，可得x2+(22y−1)x+22y=0，由△≥0，可得(22y−1)2−4×22y≥0，解得y≤32−4或y≥32+4(舍去)，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题．

16.【答案】712 
【解析】解：如图，过点A作AO⊥BC交BC于点O，以O为坐标原点，OC，OA分别为x，y轴建立平面直角坐标系，

∵AB=CD=5，sinB=45，
∴OA=4，OB=3，
∴B(−3,0)，A(0,4)，
设AD=m，
如图，过点D，E作DM⊥BC，EN⊥BC于点M，N，
∴EN//DM，四边形ADMO是矩形，
∴△CNE∽△CMD，
∵CD=4DE，
∴ENDM=CECD=CNCM=34，
∵CM=OB=3，
∴MN=14CM=34，
∵四边形ADMO是矩形，
∴DM=OA=4，
∴EN=34DM=3，
∴E(m+34,3)，
∴AE=(m+34)2+1，BE=(m+34+3)2+32，
∵△ABE是直角三角形，
∴BA2+AE2=BE2，
∴52+(m+34)2+1=(m+34+3)2+32，
解得m=712，
则边AD的长为712．
故答案为：712．
过点A作AO⊥BC交BC于点O，以O为坐标原点，OC，OA分别为x，y轴建立平面直角坐标系，根据AB=CD=5，sinB=45，可得OA=4，OB=3，所以B(−3,0)，A(0,4)，设AD=m，过点D，E作DM⊥BC，EN⊥BC于点M，N，可得EN//DM，四边形ADMO是矩形，然后可得△CNE∽△CMD，可得ENDM=CECD=CNCM=34，再根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△CNE∽△CMD．

17.【答案】解(1)∵双曲线y=mx经过点A(1,2)，
∴m=2，
∴双曲线的解析式为y=2x；

(2)根据反比例函数的图象在一、三象限y随x的增大而减小可知：若x1<0y3>y1；

(3)∵点B(n,−1)在双曲线y=2x上，
∴n=−2，
∴B点坐标为(−2,−1)
A(1,2)、B(−2,−1)在直线y=kx+b上，
∴k+b=2−2k+b=−1，
解得k=1b=1．
∴直线的解析式为y=x+1．
根据图象得当x<−2或0 即不等式kx+b 【解析】(1)根据待定系数法即可求得；
(2)根据反比例函数的性质即可判断；
(3)根据图象的交点坐标即可得到不等式kx+b 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法和反比例函数的性质．

18.【答案】解：(1)∵点A(m,6)，B(3,n)两点在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，
∴6m=3n=6，
∴m=1，n=2，
∴A(1,6)，B(3,2)．
又∵点A(m,6)，B(3,n)两点在一次函数y=kx+b的图象上，
∴6=k+b2=3k+b．
解得k=−2b=8，
则该一次函数的解析式为：y=−2x+8；

(2)根据图象可知使kx+b<6x成立的x的取值范围是03；

(3)如图，分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．
令−2x+8=0，得x=4，即D(4,0)．
∵A(1,6)，B(3,2)，
∴AE=6，BC=2，
∴S△AOB=S△AOD−S△BOD=12×4×6−12×4×2=8． 
【解析】(1)先把A、B点坐标代入y=6x求出m、n的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
(2)根据该不等式的解集即为直线在双曲线下方时x的范围即可写出答案；
(3)分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．S△AOB=S△AOD−S△BOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果．
本题主要考查双曲线与直线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式和数形结合思想的运用是解题的关键．

19.【答案】2020  18.1%  5479  30.2  ×  √  √ 
【解析】解：(1)根据题意得：从2016年到2020年，专利授权量最多的是2020年，
故答案为：2020；
(2)把专利授权量年增长率从小到大排列为：15.8%，16.0%，18.1%，25.4%，46.0%，
位于正中间的是18.1%，
∴专利授权量年增长率的中位数是18.1%，
故答案为：18.1%；
(3)与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了17373−11894=5479件；
专利授权量年增长率提高了46.0%−15.8%=30.2%，
专利授权量年增长率提高了30.2个百分点，
故答案为：5479，30.2；
(4)①因为2017年的专利授权量的增长量为8190−7062=1128件，
2019年的专利授权量的增长量11894−10268=1626件，
所以2019年的专利授权量的增长量高于2017年的专利授权量的增长量，故①错误，
故答案为：×；
②因为专利授权量年增长率=当年专利授权量−上一年专利授权量上一年专利授权量×100%，
所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加，故②正确，
故答案为：√；
根据题意得：从2016年到2020年，每年的专利授权量都有所增加，
所以长春市区域科技创新力呈上升趋势，故③正确，
故答案为：√．
(1)观察统计图可得专利授权量最多的是2020年，即可求解；
(2)先把专利授权量年增长率从小到大排列，即可求解；
(3)分别用2020年长春市专利授权量减去2019年长春市专利授权量，2020年专利授权量年增长率减去2019年专利授权量年增长率，即可求解；
(4)①根据题意可得2017年的的专利授权量的增长量低于2019年的，可得①错误；②根据专利授权量年增长率当年专利授权量−上一年专利授权量x100%，可得②正确；③观察统计图可得从2016年到2020年，每年的专利授权量上一年专利授权量都有所增加，可得③正确，即可求解．
本题主要考查了折线统计图和条形统计图，理解统计图中数据之间的关系是正确解答的关键．

20.【答案】解：(1)x2−2(m−1)x+m2−2m=0，
∵△=[−2(m−1)]2−4(m2−2m)=4>0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)x2−2(m−1)x+m2−2m=0，
解得：x1=m−2，x2=m，
方程x2−2(m−1)x+m2−2m=0的衍生点为M(m−2,m)，
则衍生点M的轨迹的解析式为：y=x+2；
(3)存在．
直线y=kx−2(k−2)=k(x−2)+4，过定点M(2,4)，
∴方程x2+bx+c=0的两个根为x1=2，x2=4，
∴y=a(x−2)(x−4)=a(x2−6x+8)=ax2−6ax+8a，
∴b=−6a，c=8a，
∴bc=−6a8a=−34，
∴4b+3c=0． 
【解析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，新定义型问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
(1)由△=[−2(m−1)]2−4(m2−2m)=4>0，可得方程总有两个不相等的实数根；
(2)解方程得x1=m−2，x2=m，可得衍生点M的坐标，继而求得轨迹的解析式；
(3)首先求出定点M的坐标，得方程x2+bx+c=0的两个根，整理得b=−6a，c=8a，计算即可．

21.【答案】解：(1)PA=CD，60；
(2)结论：CD=3PA．
理由：如图2中，

∵AB=AC，PB=PD，∠BAC=∠BPD=120°，
∴BC=2⋅AB⋅cos30°=3BA，BD═2BP⋅cos30°=3BP，
∴BCBA=BDBP=3，
∵∠ABC=∠PBD=30°，
∴∠ABP=∠CBD，
∴△CBD∽△ABP，
∴CDPA=BCAB=3，
∴CD=3PA．
(3)如图3，过B点作BM⊥AC，过P作PH⊥CH，使PC=3PH
∴BP+13PC=BP+PH
当B、P、H三点共线时，BP+13PC取最小值

∵AB=23，
∴AC=23，AM=3，BM=3
∵∠M=∠H，∠MPB=∠HPC
∴△BPM∽△CPH
设MP=x，则PB=3x
在Rt△BPM中，MP2+BM2=BP2，即x2+32=9x2，解得x=342
∴AP=AM−MP=3−342，BP=942
∴PC=PA+AC=33−342，PH=13PC=3−142
所以此时BP+13PC=BP+PH=3+22
故BP+13PC最小值为3+22． 
【解析】解：(1)如图1中，

∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，
∴PB=PD，
∵AB=AC，PB=PD，∠BAC=∠BPD=60°，
∴△ABC，△PBD是等边三角形，
∴∠ABC=∠PBD=60°，
∴∠PBA=∠DBC，
∵BP=BD，BA=BC，
∴△PBA≌△DBC(SAS)，
∴PA=DC．
设BD交PC于点O．
∵△PBA≌△DBC，
∴∠BPA=∠BDC，
∵∠BOP=∠COD，
∴∠OBP=∠OCD=60°，即∠DCP=60°．
故答案为：PA=DC；60；

(1)证明△PBA≌△DBC(SAS)，进而利用全等三角形的性质解决问题即可．
(2)证明△CBD∽△ABP，可得CDPA=BCAB=3解决问题．
(3)先构造13PC，然后利用垂线段最短求得最小值．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题注意一题多解．

22.【答案】解：(1)对于直线y=3x+b，
当y=0时，则3x+b=0，
∴x=−b3，
∴B(−b3,0)，
∵S△AOB=3，
∴S△AOB=12OB⋅|yA|=12×|b3|×3=3，
∴b=6或−6，
当b=6时，一次函数的解析式为y=3x+6，
∴A(−1,3)，不符合题意，
∴一次函数的解析式为y=3x−6，
∴A(3,3)，
∵点A在反比例函数y=kx上，
∴k=3×3=9，
∴反比例函数的解析式为y=9x;
(2)由(1)知，A(3,3)，
由图象知当x>3时，一次函数的值等于反比例函数的值;
(3)由(1)知，b=−6，
∴B(2,0)，
∴OB=2，
由(2)知，A(3,3)，
∴OA=32，AB=10，
当点C在x轴正半轴上时，
∵△COA与△AOB相似，且∠AOB=∠AOC，
∴ ①当△AOB∽△AOC时，OAOA=OBOC，
∴OB=OC，此时点B与点C重合，不符合题意，
 ②当△AOB∽△COA时，OAOC=OBOA，
∴32OC=232，
∴OC=9，
∴C(9,0)，
∴AC=(9−3)2+(0−3)2=35，
当点C在x轴负半轴上时，∠AOC>∠AOB>90∘，
综上，AC的长为35． 
【解析】本题考查的是低矮顶系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的综合，相似三角形的判定与性质有关知识．
(1)根据△AOB的面积为3.可得b的值，从而得出点A的坐标，代入函数解析式即可；
(2)根据图象直接可得答案；
(3)当点C在x轴正半轴上时，则∠AOB=∠AOC，只能是△AOB∽△COA，得OAOC=OBOA，当点C在x轴负半轴上时，由于∠AOC>∠AOB>90°，此种情况不存在．

23.【答案】解：作CD⊥AB于D，
根据题意，AB=30×23=20(海里)，∠CAD=30°，∠CBD=60°，
在Rt△ACD中，AD=CDtan30∘=3CD，
在Rt△BCD中，BD=CDtan60∘=33CD，
∵AB=AD−BD，
∴3CD−33CD=20(海里)，
解得：CD=103>10，
∴无触礁危险． 
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，“化斜为直”是解三角形的常规思路，常需作垂线(高)，构造直角三角形．原则上不破坏特殊角(30°、45°、60°)．
根据题意可知，实质是比较C点到AB的距离与10的大小．因此作CD⊥AB于D点，求CD的长．

24.【答案】解：(1)如图1中，线段AM，点N就是求作的点；


(2)如图2中，点F，点G即为所求．
 
【解析】(1)将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AM，取格点F，G，连接FG交AC于点N，连接BN，线段AM，点N即为所求；
(2)取格点T，连接AT交BC于点H，取AC的中点Q，连接HQ，取AB的中点P，连接PQ交AH于点J，连接CJ交HQ于点K，连接AK，延长AK交BC于点F，作点D关于AB的对称点C′，连接BC′，C′F，C′F交AB于点R，连接CR，延长CR交BC′于点G，点F，点G即为所求．
本题考查作图−旋转变换，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

25.【答案】解：(1)此次调查抽取的用户户数为：10÷10%=100(户)；

(2)用水量在15−20吨之间的用户数量：100−(10+36+25+9)=100−80=20，
补全频数分布直方图如下：

扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数：20100×360°=72°；

(3)∵少于25吨的有10+20+38=68(户)
∴少于25吨的户数是：10+20+38100×20=13.6，
答：于是可估计该地区20万用户中约有13.6万用户的用水全部享受基本价格． 
【解析】(1)根据统计图可知“10吨～15吨”的用户10户占10%，从而可以求得此次调查抽取的户数；
(2)根据(1)中求得的用户数与条形统计图可以得到“15吨～20吨”的用户数，进而求得扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；
(3)根据前面统计图的信息可以得到该地区20万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．