2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考数学（文）试题含解析

这是一份2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考数学（文）试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合或，，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出A的补集，然后再利用并集的运算规则求解.【详解】解：由题意得：.故选：D.2．已知命题：的虚部为；命题：在复平面内，复数对应的点位于第二象限.则下列命题为真命题的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由复数的除法和乘法运算化简复数，再由复数的概念和几何意义可判断命题 的真假，再对各个选项进行判断，即可得出答案.【详解】，其虚部为，命题正确.，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，命题错误.故命题为真命题.故选:C.3．某高中为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，把高三年级的1000名学生编号：1到1000，再用系统抽样的方法随机抽取50位同学了解他们的学习状况，若编号为253的同学被抽到，则下列几个编号中，可能被抽到的是 （       ）A．83 B．343 C．103 D．213【答案】D【分析】根据题意，求得组距为，设第1组中抽取的号码为，根据，求得，结合选项，即可求解.【详解】由题意，把高三年级的1000名学生编号：1到1000，用系统抽样的方法随机抽取50位同学，可得组距为，因为编号为253的同学被抽到，则编号为253的号码位于第13组，设第1组中抽取的号码为，可得，解得，令，解得，不符合题意；令，解得，不符合题意；令，解得，不符合题意；令，解得，符合题意.故选：D.4．已知的终边与单位圆交于点，则（       ）A． B． C． D．－1【答案】A【分析】根据余弦值的定义可得，再根据二倍角的余弦公式求解即可【详解】由题得，所以.故选：A5．已知抛物线：，若上一点到准线的距离为3，则该点到原点的距离为（       ）A． B． C． D．4【答案】C【分析】由抛物线的定义结合两点间的距离即可求出答案.【详解】由题得的准线方程为，设该点坐标为，则，解得，所以，所以该点到原点的距离为.故选:C.6．设等差数列的前项和为，，则（       ）A．56 B．63 C．67 D．72【答案】B【分析】结合等差数列通项公式化简等式，可求得，再结合求值即可；【详解】设的公差为，则，所以，所以.故选：B7．已知向量，满足，，，则（       ）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数【详解】设，，所以，且，解得，，即，.所以，则，解得，故.故选：B8．执行如图所示的程序框图，则最后输出的一组结果为（       ）A．0，25，75 B．4，18，78 C．12，4，84 D．16，0，84【答案】C【分析】模拟执行程序即可判断.【详解】解：第一次输出0，25，75，之后；第二次输出4，18，78，之后；第三次输出8，11，81，之后；第四次输出12，4，84，之后，，结束程序.故选：C.9．已知圆锥的底面半径为，当圆锥的侧面积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆锥的侧面积公式可得，即可得母线与底面所成角的余弦值为，进而可得正切值.【详解】设圆锥的母线长为，由题意可得圆锥的侧面积，解得，所以母线与底面所成角的余弦值，由同角三角函数关系可得，，因此母线与底面所成角的正切值.故选:A10．已知等比数列的前项和为，且，则“数列递增”是“数列递增”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】从“数列递增”和“数列递增”两方面作为条件分别证明结论是否成立即可.【详解】因为，且数列递增，所以，因此，所以数列递增，所以“数列递增”是“数列递增”的充分条件；若数列递增，则，所以，又，所以对成立，即，则，但是的符号不确定，所以数列不一定递增，所以“数列递增”是“数列递增”的不必要条件；因此“数列递增”是“数列递增”的充分不必要条件.故选：A11．若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（       ）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】根据垂直性质可得，再求导根据导数的几何意义可得切线的方程为，再设函数与直线切于点，列式求解即可【详解】由题知，，令，又，解得，因为，所以切线的方程为.，设函数与直线切于点，所以，故，即，，解得或.故选：D12．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先设，，为第一象限的焦点，根据题意得到，从而得到，利用余弦定理得到，再根据即可得到.【详解】设，，为第一象限的焦点，则.在中，，所以，化简得：，即，因为双曲线为等轴双曲线，所以，所以，解得.故选：D二、填空题13．圆与圆的公共弦所在直线方程______．【答案】【分析】将圆的方程作差即可求得公共弦所在直线方程.【详解】圆，即，圆，即，作差得：，即公共弦所在直线方程为，故答案为：.14．已知函数满足以下三个条件：①的导函数为奇函数；②；③在区间上单调递增，则的一个解析式为_________.【答案】（答案不唯一）【分析】由题，可以从常见的奇函数（如正比例函数）作为入手，即可设出，再进一步通过满足其它条件，确定参数的范围，即可写出其中一个符合的解析式【详解】因为的导函数为奇函数，所以可设，因为，所以，又在区间上单调递增，所以，因此或等均可.故答案为： （答案不唯一）15．鲁洛克斯三角形是指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形，如图①.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触.由于这个性质，机械加工中把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出圆角正方形（视为正方形）的孔来.图②是鲁洛克斯三角形钻头（阴影部分）与它钻出的圆角正方形孔洞的横截面，现有一个质点飞向圆角正方形孔洞，则其恰好被钻头遮挡住，没有穿过孔洞的概率为_________.【答案】【分析】设正方形的边长为，求出鲁洛克斯三角形面积，再利用几何概型求解.【详解】解：设正方形的边长为，鲁洛克斯三角形由三个弓形与正三角形组成，其面积为，故所求概率.故答案为：三、双空题16．若实数，满足约束条件，则该约束条件表示的平面区域面积为_________，的最大值为_________.【答案】     6     6【分析】先根据约束条件画出可行域，用面积公式求出阴影部分面积；再用的几何意义，表示点与平面区域中的点连线斜率的相反数，只需将点代入即可得的最大值.【详解】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示：则该约束条件所表示的平面区域面积，目标函数，表示点与平面区域中的点连线斜率的相反数，故，即，的最大值为6.故答案为：6，6.四、解答题17．在中，内角，，所对的边分别为，，，.(1)求；(2)若，面积为，求的周长．【答案】(1)(2)3【分析】（1）根据三角形内角的关系可化为，再利用倍角公式及诱导公式可求得；（2）利用正弦定理化角为边可得，即，再根据三角形的面积可得，再利用余弦定理可求得，从而可得出答案.【详解】(1)解：因为，所以，因为，所以，所以，又，所以，因为，所以，故；(2)解：因为，所以，所以，又，所以，由余弦定理得，所以，解得， 所以，则a+b+c=3，故△ABC的周长为3．18．如图所示，圆柱中，是母线，为圆柱底面圆的圆周上一点（异于点，且，，三点不共线），为线段的中点.(1)证明：平面平面；(2)若，，求三棱锥的体积的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1） 由题意可证得平面，再由面面垂直的判定定理即可得出答案.（2）由等体积法表示出三棱锥的体积为，再由三角函数的值域即可得出棱锥的体积的最大值.【详解】(1)证明：由题知，             又平面，且平面，所以，       又，平面，所以平面，       又平面，所以平面平面.(2)解：由题得三棱锥的体积，             当且仅当时，三棱锥的体积取得最大值2.19．某公司为了解宣传投入对产品销售量的影响，对某款主打产品的宣传投入费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据进行了统计，得到如下统计数据：宣传投入费用（万元）1020253040销售量（万件）23.340.956.071.789.1 (1)已知变量，具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；(2)若宣传投入费用定为50万元，试预测该产品销售量能否超过100万件.参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】(1)(2)预测该产品销售量能超过100万件.【分析】（1）根据最小二乘法即可求解线性回归方程，（2）将代入第一问的回归方程中即可预测.【详解】(1)由题意得，，，代入得，，所以.(2)当时，代入，得，所以预测该产品销售量能超过100万件.20．已知函数，其中.(1)若的极小值为－16，求；(2)讨论的零点个数.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】(1)求出导函数，进而求得极小值点，再代入求解即可.(2)画出函数的大致图像，结合图像分类讨论即可求得结论.【详解】(1)由题得，其中，当时，，单调递增，无极值；当时，令，解得或；令，解得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，，所以当时，取得极小值，所以，解得.(2)由（1）知当时，的极小值为，的极大值为， 当，即时，有三个零点，如图①曲线 ；当，即时，有两个零点，如图②曲线；当，即时，有一个零点，如图③曲线；当时，，易知有一个零点.       综上，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点.21．已知椭圆：的左、右顶点分别，，上顶点为，的面积为3，的短轴长为2.(1)求的方程；(2)斜率不为0的直线交于，两点（异于点），为的中点，且，证明：直线恒过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标与基本量的关系求解即可；（2）由题意设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，结合可得，再代入韦达定理化简求解即可【详解】(1)由题意得，解得，，故的方程为.(2)证明：由题意设直线的方程为，，，联立，得，       所以，即，，，因为，所以，所以，       即，则，整理得，       所以，即整理得，解得或，       当时，直线的方程为，恒过点，舍去；当时，直线的方程为，恒过点，符合题意，即直线恒过定点.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；(2)点，分别在曲线和直线上，求的最小值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）通过消参求得曲线C的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得直线l的直角坐标方程.（2）设，利用点到直线的距离公式及三角函数，的最小值.【详解】(1)由消去参数，得为曲线的普通方程，令，，得为直线的直角坐标方程.(2)设，             由题可知的最小值即点到直线的距离的最小值，而点到直线的距离，其中，当时，，             所以的最小值为.23．已知正实数，满足.证明：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）化简可得，再根据基本不等式求解即可；（2）根据结合基本不等式求解即可【详解】(1)由，得，又，所以，当且仅当时等号成立.(2)，当且仅当时等号成立.故.