2022年广西桂林中考数学复习训练：第22讲 与圆有关的位置关系(含答案)

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A．1 B．2 C． eq \r(2) D． eq \r(3)
2．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为(B)
A．2 B． eq \r(3) C． eq \r(2) D． eq \f(1,2)
3．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是 eq \(DF,\s\up8(︵)) 上一点，则∠EPF的度数是(B)
A．65° B．60° C．58° D．50°
4．(2021·南宁青秀区期中)如图，AD，AE，BC都是⊙O的切线，AD＝10 cm，则△ABC的周长是__20__cm__．
5．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝ eq \r(5) ，则⊙O的半径等于__ eq \r(5) __．
6．(2021·温州中考)如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B.将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C.若∠A′＝25°，则∠OCB＝__85__度．
7．(2021·白银中考)如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC.过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan ∠OCB的值．
【解析】(1)∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA＋∠OCB＝90°，∴∠DCB＋∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
(2)∵OE∥AC，∴ eq \f(BD,OB) ＝ eq \f(CD,CE) ，
∵CD＝4，CE＝6，∴ eq \f(BD,OB) ＝ eq \f(4,6) ＝ eq \f(2,3) ，
设BD＝2x，则OB＝OC＝3x，OD＝OB＋BD＝5x，
∵OC⊥DC，∴△OCD是直角三角形，
在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝OD2，
∴(3x)2＋42＝(5x)2，解得x＝1，
∴OC＝3x＝3，即⊙O的半径为3，
∵BC∥OE，∴∠OCB＝∠EOC，
在Rt△OCE中，tan ∠EOC＝ eq \f(EC,OC) ＝ eq \f(6,3) ＝2，
∴tan ∠OCB＝tan ∠EOC＝2.
8．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB.则∠BAC等于(B)
A．20° B．25° C．30° D．50°
9．如图所示，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C为⊙O上一点，连接AC，BC，若∠P＝70°，则∠ACB的度数为(B)
A．50° B．55° C．60° D．65°
10．如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，则下列结论不一定成立的是(D)
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD
C．AB⊥PD D．AB平分PD
11．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C(－ eq \r(2) ， eq \r(7) )为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A(－1，0)，B(1，0)，连接PA，PB，则PA2＋PB2的最小值是(C)
A．6 B．8 C．10 D．12
12．已知△ABC的三边a，b，c满足b＋|c－3|＋a2－8a＝4 eq \r(b－1) －19，则△ABC的内切圆半径＝__1__．
13．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE.若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为__55°__．
14．(2021·广西模拟)如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，点C是半径OA上一点，点D是弧AB上一点．将扇形AOB沿CD对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB相切于点 E．若∠OCD＝45°，OC＝ eq \r(3) ＋1，则扇形AOB的半径长是__2＋ eq \r(3) __．
15．(2021·云南中考)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A，B的点，连接AC，BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若 eq \f(OA,OD) ＝ eq \f(2,3) ，BE＝3，求DA的长．
【解析】(1)连接OC，∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠ABC＝∠DCA，
∴∠OCB＝∠DCA，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴∠DCA＋∠ACO＝90°，
即∠DCO＝90°，∴DC⊥OC，
∵OC是半径，∴DC是⊙O的切线；
(2)∵ eq \f(OA,OD) ＝ eq \f(2,3) ，且OA＝OB，
∴设OA＝OB＝2x，OD＝3x，∴DB＝OD＋OB＝5x，
∴ eq \f(OD,DB) ＝ eq \f(3,5) ，又∵BE⊥DC，DC⊥OC，
∴OC∥BE，∴△DCO∽△DEB，∴ eq \f(OC,BE) ＝ eq \f(OD,DB) ＝ eq \f(3,5) ，
∵BE＝3，∴OC＝ eq \f(9,5) ，∴2x＝ eq \f(9,5) ，
∴x＝ eq \f(9,10) ，∴DA＝OD－OA＝x＝ eq \f(9,10) ，
即DA的长为 eq \f(9,10) .
16．(2021·苏州中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED.
(1)求证：BD＝ED；
(2)若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan ∠DCB的值．
【解析】(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝∠DCE，∵∠1＝∠2，∴ eq \(AD,\s\up8(︵)) ＝ eq \(DC,\s\up8(︵)) ，
∴AD＝DC，
在△ABD和△CED中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CE，,∠A＝∠DCE，,AD＝DC，))
∴△ABD≌△CED(SAS)，∴BD＝ED；
(2)过点D作DM⊥BE于点M，
∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，
∴BE＝BC＋EC＝10，
∵BD＝ED，DM⊥BE，
∴BM＝ME＝ eq \f(1,2) BE＝5，
∴CM＝BC－BM＝1，
∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，
∴DM＝BM·tan ∠2＝5× eq \f(\r(3),3) ＝ eq \f(5\r(3),3) ，
∴tan ∠DCB＝ eq \f(DM,CM) ＝ eq \f(5\r(3),3) .
【核心素养题】
如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点P是CD延长线上的一点，AP＝AC，且∠B＝2∠P.
(1)求证：∠B＝2∠ACP.
(2)求证：PA是⊙O的切线．
(3)若点B位于直径CD的下方，且CD平分∠ACB，试判断此时AE与BE的大小关系，并说明理由．
【解析】(1)∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP，
∵∠B＝2∠P，∴∠B＝2∠ACP.
(2)连接OA，AD，如图，
则∠B＝∠ADC，
∴∠ADC＝2∠P，
∵CD是直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC＋∠ACD＝2∠P＋∠P＝90°，
∴∠P＝30°，
∴∠ADC＝60°，∠ACD＝30°，
∴△ADO是等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
∵∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝90°，∴OA⊥PA，
∵OA是半径，∴PA是⊙O的切线．
(3)AE＝BE.理由：
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD＝30°，
∵∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠BEC＝90°，
∴AB⊥CD.∴AE＝BE.
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