2021重庆綦江中学高三下学期5月考前模拟考试数学试题含答案

这是一份2021重庆綦江中学高三下学期5月考前模拟考试数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市綦江中学高2021届5月考前模拟数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则        =（    ）A． B． C． D．2．已知是虚数单位，则复数的虚部是（    ）A． B． C． D．3．已知正项等比数列的前和为，若，则（    ）A．8 B． C．1 D．8或4．的展开式中的一次项系数为（    ）A． B． C． D．5．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为､､，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ）A． B．3 C． D．6．“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，                                             垃圾分类也成为时下热议的话题。某居民小区有右图六种垃圾桶：一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的 垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对两袋垃圾的概率为（    ）A． B． C． D．7．在中, ,是的内心,若,其中,动点的轨迹所覆盖的面积为(     )A． B． C． D．8．若满足，满足，函数，则关于的方程解的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．给出下列命题，其中正确命题为（    ）A．投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子（形状为正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）各一次，记硬币正面向上为事件A，骰子向上的点数是2为事件B，则事件A和事件B同时发生的概率为B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和C．随机变量服从正态分布，，则D．某选手射击三次，每次击中目标的概率均为，且每次射击都是相互独立的，则该选手至少击中2次的概率为10．已知函数f(x)=sin(3x+)()的图象关于直线对称，则（）A．函数为偶函数B．函数f(x)在上单调递增C．若|f()−f()|=2，则|−|的最小值为D．函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=−sin3x的图象11．已知正方体的棱长为2，是的中点，过点的平面满足平面，则（    ）A．平面截正方体所得截面的形状是平行四边形B．平面截正方体所得截面的面积等于C．点到平面的距离为D．若是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是12．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼， 太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义： 能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（    ）A．对于圆：的所有非常数函数的太极函 数中，一定不能为偶函数B．函数是圆：的一个太极函数C．存在圆，使得是圆的一个太极函数D．直线所对应的函数一定是圆：的太极函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范 围是_____．14．如图，四边形中，、分别是以为底的等腰三角形，其中，则_________．15．已知梯形中，，=4， ，若双曲线以、为焦点，且过、、三点，则双曲线的离心率为_______．16．已知三棱锥的外接球的半径为，底面为正三角形，若顶点到底面的距离为且三棱锥的体积为，则点的轨迹长度是 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在中，角所对的边分别为.且．（1）求的值；（2）若，求的面积． 18．（本小题满分12分）已知等差数列满足公差，前n项的和为，，且，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前100项的和． 19．（本小题满分12分）如图，在多面体中，两两垂直，四边形是边长为2的正方形，ACDGEF，且．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值． 20．（本小题满分12分）2021年，广东省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中“3”是指语文、数学、外语；“1”是指在物理和历史中必选一科（且只能选一科）；“2”是指在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.为积极推进新高考，某中学将选科分为两个环节，第一环节：学生在物理和历史两科中选择一科；第二环节：学生在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.若一个学生两个环节的选科都确定，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定.该学校为了解高一年级1000名学生选考科目的意向，随机选取50名学生进行了一次调查，这50人第一环节的选考科目都确定，有32人选物理，18人选历史；第二环节的选考科目已确定的有30人，待确定的有20人，具体调查结果如下表： 选考方案确定情况化学生物政治地理物理选考方案确定的有18人161154选考方案待确定的有14人5500历史选考方案确定的有12人35412选考方案待确定的有6人0032（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有多少人？（2）从选考方案确定的12名历史选考生中随机选出2名学生，设随机变量，求的分布列及数学期望．（3）在选考方案确定的18名物理选考生中，有11名学生选考方案为物理、化学、生物，试问剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数．（只需写出结果） 21．（本小题满分12分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”.过椭圆第一象限内一点P作x轴的垂线交其“辅圆”于点Q，当点Q在点P的上方时，称点Q为点P的“上辅点”.已知椭圆上的点的上辅点为．（1）求椭圆E的方程；（2）若的面积等于，求上辅点Q的坐标；（3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆E的位置关系，并证明你的结论． 22．（本小题满分12分）已知函数在处的切线方程为.（1）求的单调区间与最小值；（2）求证：．
 三诊试题（数学）参考答案与评分标准1．C2．A3．D4．B5．B6．D【详解】根据题意，六袋垃圾随机投入六个垃圾桶共有种方法，投对两袋时，其他个元素全错位，所以概率为.故选：D.7．A【详解】如图，根据题意知，P点在以BP，BD为邻边的平行四边形内部，∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△AOB；在△ABC中，cos，AC=6，BC=7；∴由余弦定理得，；解得：AB=5，或AB=（舍去）；又O为△ABC的内心；所以内切圆半径r=,所以∴==；∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为．故答案为：A．8．C【详解】∵满足，满足，∴，分别为函数与函数，图象交点的横坐标，由于与图象交点的横坐标为2，函数，的图象关于对称，∴，∴函数，当时，关于的方程，即，即，∴或，满足题意，当时，关于的方程，即，满足题意，∴关于的方程的解的个数是3，故选C.9．ABD【详解】对于A，事件A的概率为，事件B的概率为，则事件A和事件B同时发生的概率为，故A正确；对于B，因为，所以两边取对数得，令，可得，因为，所以，所以，故B正确；对于C， 随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于对称，则，故C错误；对于D，由题意得，该选手1次未击中， 2次击中的概率为，3次都击中的概率，则至少击中2次的概率为，故D正确.故选：ABD.10．CD【详解】因为的图象关于直线对称，所以，得，，因为，所以，所以，对于A：，所以为奇函数，故选项A错误；对于B：时，，函数在上不是单调函数；故选项B不正确；对于C：因为，，又因为，所以的最小值为半个周期，即，故选项C正确；对于D：函数的图象向右平移个单位长度得到，故选项D正确；故选：CD11．BCD【详解】如图（1），连接，，易得平面，所以,取的中点，的中点，连接，，，易知，故，，，四点共面,取的中点，连接，因为为正方体，所以易得在平面内的射影为，而，所以，又，所以平面，因此平面截正方体所得截面就是四边形，易知其是等腰梯形，故A错误.因为正方体的棱长为2，所以，，，所以梯形的高为，面积为，故B正确.连接，记与的交点为，与交于点，在矩形中，连接，与交于点，则即点到平面的距离,在中，，，，则，由得，故C正确.由于平面，所以直线与平面所成角的正弦值,等于直线与所成角的余弦值，由图（2）可知，当点与点重合时，直线与所成的角最小，其余弦值为；当点与点重合时，与所成的角最大，记与交于点，由于，，，可得，，所以由余弦定理可得,故直线与所成角的余弦值的取值范围为，故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故D正确.故选：BCD.图（1）                                          图（2）12．BCD【详解】对于A，如下图所示，若太极函数为偶函数，且，所以该函数平分圆的周长和面积，故A错误；对于B，也关于圆心对称，平分圆的周长和面积，所以函数是圆的一个太极函数；故B正确；对于C，，.，该函数为奇函数，图象关于原点对称.所以存在圆：使得是圆的一个太极函数，如下图所示，故C正确；对于D，对于直线的方程，变形为，令，得，直线经过圆的圆心，可以平分圆周长和面积，故D正确.故选：BCD.13．[3，+∞）14．【解析】∵、分别是以为底的等腰三角形，∴ 设，则在中，利用余弦定理可得：在中，利用余弦定理可得：∵∴，即∴，即在中，∴在中，∴故答案为15．【详解】，以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由于双曲线的焦点为、，可设、，由于双曲线过、两点，且，由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，则，将代入双曲线方程可得，可得，则，设点，由可得，即，可得，解得，所以，点，将点的坐标代入双曲线方程可得，即，可得，，解得.因此，该双曲线的离心率为.故答案为：. 16．【详解】设底面正三角形的边长为，顶点到底面的距离为且三棱锥的体积为，，，正三角形的外接圆半径为，球心到底面的距离为，又顶点到底面的距离为，顶点的轨迹是一个截面圆的圆周（球心在底面和截面圆之间）且球心到该截面圆的距离为，截面圆的半径为，∴顶点的轨迹长度是，故答案是：. 17．（1）；（2）.【详解】（1）因为，由正弦定理，得，∴；............................................................................................................5分（2）∵，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍去），所以...........................................................................10分18．（1）；（2）.【详解】（1）由及，，成等比数列得，即，解得（舍去），，所以；......................................................6分（2）， 所以...........................................................................12分19．（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：因为两两垂直，//，//，所以，所以平面，因为平面，所以，因为四边形为正方形，所以，因为，所以平面，因为所以四边形为平行四边形，所以，所以平面...........................................................................6分 （2）由（1）知互相垂直，故以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设为平面的法向量，则，令，则，所以.又因为平面，所以为平面的一个法向量，所以，由图可知二面角是钝角，所以二面角的余弦值为...........................................................................12分20．（1）180；（2）；（3）2人.【详解】（1）由数据可知，选考方案确定的18名物理选考生中确定选考政治的有5人，选考方案确定的12名历史选考生中确定选考政治的有4人所以，估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有人..........................................................................3分（2）由数据可知，选考方案确定的12名历史考生中有3人选考化学、地理；有5人选考生物、地理；有4人选考政治、地理.由已知得的所有取值为0，1，则所以的分布列为01  所以数学期望...........................................................................9分（3）剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数为2．...................................12分21．（1）；（2）；（3）直线PT与椭圆相切，证明见解析【详解】（1）椭圆上的点的上辅点为，辅圆的半径为，椭圆长半轴为，将点代入椭圆方程中，解得，椭圆的方程为；..........................................................................4分（2）设点，，则点，，将两点坐标分别代入辅圆方程和椭圆方程可得，，，故，即，又，则，将与联立可解得，则，点的坐标为；..........................................................................8分（3）直线与椭圆相切，证明如下：设点，，由（2）可知，，与辅圆相切于点的直线方程为，则点，直线的方程为：，整理得，将与椭圆联立并整理可得，，由一元二次方程的判别式，可知，上述方程只有一个解，故直线与椭圆相切．..........................................................................12分22．（1）（2）见解析【详解】（1），故，得，又，所以，得.则，，当时，单调递减；当时，单调递增，所以...........................................................................4分（2）令，，递增，所以，所以当时，，令，，递增，，所以当时，，要证，由，及得，，故原不等式成立，只需证，即证.由（1）可得，且，所以，则原不等式成立................................12分