2021-2022学年福建省福州外国语学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

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2021-2022学年福建省福州外国语学校七年级（下）期中数学试卷 一．选择题（本题共10小题，共40分）下列说法：
两点之间的所有连线中，线段最短；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有A. 个 B. 个 C. 个 D. 个如图，下列结论正确的是A. 和是同旁内角
B. 和是对顶角
C. 和是内错角
D. 和是同位角
 如图，正方形的边长为，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标为A.
B.
C.
D. 如图，在一次活动中，位于处的班准备前往相距的处与班会合，那么用方向和距离描述班相对于班的位置是A. 南偏西，
B. 南偏西，
C. 北偏东，
D. 北偏东，
 如图，在数轴上点和点之间的整数是
 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和已知一个正数的两个平方根分别是与，那么这个数是A.  B.  C.  D. 已知点在轴上，点在轴上，则点在A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果，则的度数是
 A.  B.  C.  D. 小明要用元钱买、两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，元钱全部用尽，型每个元，型口罩每个元，则小明的购买方案有种．A. 种 B. 种 C. 种 D. 种如图，正方形、、、，每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为，，，，，，，，，，，，的中心均在坐标原点，各边均与轴或轴平行，若它们的边长依次是，，，，则顶点的坐标为
 B.  C.  D. 二．填空题（本题共6小题，共24分）的平方根等于______ ．如图，将一张长方形的纸片沿折痕翻折，使点、分别落在点、的位置，且，则的度数为______．
  已知，都是实数，且，则的值为______ ．已知是的整数部分，是的小数部分，则______．已知轴，点的坐标为，并且，则点的坐标为______．已知方程组的解是，则方程组的解是______．三．解答题（本题共9小题，共80分）计算：；
解方程组：．如图，，分别是，上的点，已知，，求的度数．
已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值．已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根．在平面直角坐标系中，有点，．
当点在第二象限的角平分线上时，求的值；
当点到轴的距离是它到轴的距离倍时，求点坐标及所在的象限位置．如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到线段在的下方．
画出线段；
直接写出四边形的面积．
如图，，．
求证：；
若是的角平分线，，求的度数．

  图是由个边长为的小正方形组成的纸片，可以用下面的方法把它剪拼成一个正方形．

图拼成的正方形的面积是______，边长是______；
模仿图将图的十个小正方形剪拼成一个大正方形，请画出示意图；
在图的正方形中，沿着边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为：？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，且、满足，现同时将点，分别向下平移个单位，再向左平移个单位，分别得到点，的对应点，连接，，，．
求点，的坐标及三角形面积；
若点在轴负半轴上，连接、，如图，请判断、，的数量关系？并说明理由；
在轴正半轴或轴正半轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，诸求出点的坐标：若不存在，试说明理由．

答案和解析 1.【答案】【解析】解：两点之间的所有连线中，线段最短，说法正确；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，说法正确；
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，说法错误．
故选：．
根据线段、点到直线的距离，垂线的概念或性质逐项分析即可．
本题主要考查了线段、点到直线的距离，垂线的概念及性质，理解概念是解答此题的关键．
 2.【答案】【解析】解：、和是邻补角，不是同旁内角，故本选项错误．
B、和是对顶角，故本选项错误．
C、和是内错角，故本选项正确．
D、和是同位角，故本选项错误．
故选：．
根据同旁内角，对顶角，内错角以及同位角的定义解答．
考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
 3.【答案】【解析】解：正方形的边长为，点的坐标为，平行于轴，
点的横坐标为：，纵坐标为：．
点的坐标为．
点的横坐标为：，纵坐标为：．
点的坐标为．
故选项A错误，选项B错误，选项C正确，选项D错误．
故选：．
根据正方形的边长为，点的坐标为，平行于轴，可以得到点的坐标，根据点的坐标可以得到点的坐标．
本题考查坐标与图形性质，解题的关键是明确正方形的各条边相等，能根据图形找出它们之间的关系．
 4.【答案】【解析】解：班在班的南偏西方向，距离点千米的处；
故选：．
根据用方向角和距离描述位置的方法，可得答案．
本题考查了用方向角和距离描述位置的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．
 5.【答案】【解析】解：，，
，，
在数轴上点和点之间的整数为，．
故选：．
根据算术平方根的定义得到，，则点和点之间是大于小于的数，所以满足条件的整数为和．
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
 6.【答案】【解析】解：一个正数的两个平方根分别是和，
，
解得：，
，
则这个正数为．
故选：．
根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出，求出，即可得出答案．
本题考查了平方根的应用，能根据题意得出关于的方程是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
 7.【答案】【解析】解：点在轴上，点在轴上，
，，
解得：，，
则点在第二象限．
故选：．
直接利用轴以及轴上点的坐标得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确得出，的值是解题关键．
 8.【答案】【解析】解：延长交直尺的另一边于点，
直尺的两边互相平行，
，
．
故选：．
延长交直尺的另一边于点，由于直尺的两边互相平行，所以，再由直角三角形的性质求出即的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 9.【答案】【解析】解：设购买型口罩个，型口罩个，
可得：，
因为，取正整数，
解得：，，，
所以小明的购买方案有三种，
故选：．
根据题意得出方程，进而得出方程的整数解即可．
此题考查二元一次方程的应用，关键是根据二元一次方程的解解答．
 10.【答案】【解析】【分析】
本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了注意探究图形的变化规律，同时要注意象限符号随图形位置变化而变化，分析正方形各顶点的位置变化规律以及各正方形边长的变化规律，据此即可解答．
【解答】 解：由已知，正方形顶点从第三象限开始，每四次循环一次， 除 商 余 则 是第 个正方形在第三象限的顶点．由边长变化发现，随着变化，正方形个数是边长的一半，则第 个正方形的边长为 ，点 到两个坐标轴的距离为 ，结合象限符号得点 坐标为
故选： ．  11.【答案】【解析】解：，
的平方根等于，
的平方根等于．
故答案为：．
首先计算的值，然后再根据平方根的概念解答即可．
此题考查的是算术平方根，掌握其概念是解决此题的关键．
 12.【答案】【解析】解：由折叠得，
，
，
，
，
解得：，
，
四边形是长方形，
，
，
．
故答案为：．
由折叠的性质可得，结合平角的定义可求得的度数，从而可求，再利用平行线的性质即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
 13.【答案】【解析】解：根据题意得，且，
解得且，
，
，
．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式求出的值，再求出的值，然后相乘即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 14.【答案】【解析】解：，
，
，，
．
故答案为：．
估算无理数的大小得到，的值，代入代数式求值即可．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 15.【答案】或【解析】解：如图：

轴，点的坐标为，
点的纵坐标为

点的横坐标为或
则点的坐标为或
故答案为：或
根据和图形确定的坐标：纵坐标相等，横坐标向左或右加个单位．
本题考查了坐标与图形性质，比较简单，注意利用数形结合的思想，不要丢解．
 16.【答案】【解析】解：由可得：
，
令，，则：
，
的解为，
，，
即，，
解得：，，
方程组的解是，
故答案为：．
将所求方程组化为已知方程组的形式，利用方程组的同解求解即可．
本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是将所求方程组化为已知方程组的形式，利用同解进行求解．
 17.【答案】解：

；
原方程组可化简为：
，
得：
，
得：
，
解得：，
把代入中可得：
，
解得：，
原方程组的解为：．【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先将原方程组进行化简整理，然后再利用加减消元法进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 18.【答案】解：，
；
．【解析】根据平行线的判定定理即可得，再根据平行线的性质解答即可．
本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
 19.【答案】解：，
得：，即，
由题意得：，即，
解得：．【解析】方程组两方程相加表示出，根据与互为相反数得到，求出的值即可．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
 20.【答案】解：由题意可知：，，
，，
，
的平方根为．
即的平方根为．【解析】本题考查平方根与立方根的定义，属于基础题型．
根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
 21.【答案】解：由题意，得，
解得；

由题意，得，
解得或，
当时，点在第三象限，
当时，点在第四象限．【解析】根据第二象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数列方程求解即可；
根据题意列出绝对值方程，求出的值，再求出点的坐标，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了点的坐标，主要利用了第二象限角平分线上点的坐标特征以及点到坐标轴的距离的表示．
 22.【答案】解：如图，线段即为所求；
四边形的面积．
 【解析】利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可；
利用割补法求出四边形面积即可．
本题考查作图平移变换，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 23.【答案】解：证明：，
，
，
，
；
，
，
是的角平分线，
，
，
．【解析】根据平行线的性质定理以及判定定理即可解答；
根据角平分线的定义以及平行线的性质定理即可求解．
本题考查了平行线的性质定理和判定定理，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
 24.【答案】 【解析】解：图拼成的正方形的面积是，边长是．
故答案为：，；
图形如图所示：

假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为：，设长为，则宽为，则有：
，
解得，，
为长方形的长，
，
，
则长为，
，
假设错误，沿着正方形的方向不能裁出一块长宽之比为：，且面积为的长方形纸片．
求出正方形的面积，可得边长的长；
利用数形结合的思想作出图形即可；
假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为：，设长为，则宽为，推出矛盾即可判断．
本题主要考查的是正方形的性质，正方形的面积公式，开平方运算，熟练掌握方程思想是解题的关键．
 25.【答案】解：，
，，
，，
将点，分别向下平移个单位，再向左平移个单位，分别得到点，的对应点，．
，，，
；
，
理由如下：如图，设与交于点，

，
，
，
；
三角形的面积是三角形面积的，
的面积，
当点在轴正半轴上时，设点，
，
，
，且点，
点或点不合题意舍去，
当点在轴正半轴上时，设点，
如图，点在线段上时，


，
不合题意舍去，
如图，点在线段的延长线上，


，
，
点，
综上所述：当点或时，使三角形的面积是三角形面积的．【解析】由非负性可求，的值，可得点，点坐标，由平移的性质可得，，由三角形面积公式可求解；
由平行线的性质和外角的性质可得；
分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．
本题是三角形综合题，考查了非负性，平移的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．