2023年高考数学(文数)一轮复习课时05《函数的单调性与最值》达标练习（2份，答案版+教师版）

2023年高考数学(文数)一轮复习课时05

《函数的单调性与最值》达标练习

一 、选择题

1.已知f(x)=不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是(　 　)

A.(－∞，－2)    B.(－∞，0)       C.(0,2)      D.(－2,0)

【答案解析】答案为：A；

解析：二次函数y=x2－4x＋3图象的对称轴是直线x=2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y=－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x2－2x＋3＜3，∴f(x)在R上单调递减，∴由f(x＋a)＞f(2a－x)得到x＋a＜2a－x，

即2x＜a，∴2x＜a在[a，a＋1]上恒成立，∴2(a＋1)＜a，∴a＜－2，

∴实数a的取值范围是(－∞，－2)，故选A.

2.已知函数f(x)=log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)

A.f(x1)<0，f(x2)<0          B.f(x1)<0，f(x2)>0

C.f(x1)>0，f(x2)<0         D.f(x1)>0，f(x2)>0

【答案解析】答案为：B

解析：∵函数f(x)=log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)=0，

∴当x1∈(1,2)时， f(x1)<f(2)=0；当x2∈(2，＋∞)时，

f(x2)>f(2)=0，即f(x1)<0, f(x2)>0.

3.已知y=f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是(　　)

A.(-∞,)    B.(0，＋∞)    C.(0,)      D.(－∞，0)∪(,+∞)

【答案解析】答案为：C

解析：∵f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，

∴解得0<a<.故选C.

4.已知函数f(x)=a+log2(x2+a)(a>0)的最小值为8,则              (　　)

A.a∈(5,6)                 B.a∈(7,8)     C.a∈(8,9)                 D.a∈(9,10)

【答案解析】答案为：A；

解析：因为f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,

所以f(x)min=f(0)=a+log2a=8.令g(x)=x+log2x-8,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,

又g(5)=5+log25-8<0,g(6)=6+log26-8>0,所以g(x)的零点a∈(5,6).故选A.

5.设函数f(x)=若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，1]        B.(－∞，2]     C.[2,6]        D.[2，＋∞)

【答案解析】答案为：B.

解析：易知f(x)=是定义域R上是增加的.

∵f(a＋1)≥f(2a－1)，∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.

故实数a的取值范围是(－∞，2]，故选B.]

6.函数y=，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是(　　)

A.(1,2)　　　   B.(－1,2)      C.[1,2)        D.[－1,2)

【答案解析】答案为：D.

解析：函数y===－1，在x∈(－1，＋∞)时，函数y是减函数，在x=2时，

y=0；根据题意x∈(m，n]时，y的最小值为0，∴m的取值范围是－1≤m＜2.故选D.]

7.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)

A.y＝           B.y＝e－x         C.y＝－x2＋1           D.y＝lg|x|

【答案解析】答案为：C

解析：A中y＝是奇函数，A不正确；B中y＝e－x＝是非奇非偶函数，B不正确；

C中y＝－x2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C正确；

D中y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，D不正确.故选C.

8.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，

则(　　)

A.f(－1)<f(3) 　   B.f(0)>f(3)     C.f(－1)=f(3)      D.f(0)=f(3)

【答案解析】答案为：A

解析：依题意得f(3)=f(1)，且－1<1<2.又函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，

则f(－1)<f(1)=f(3).

9.下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A.f(x)＝3－x       B.f(x)＝x2－3x    C.f(x)＝－      D.f(x)＝－|x|

【答案解析】答案为：C

解析：当x＞0时，f(x)＝3－x为减函数；

当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，

当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；

当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；

当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数.故选C.

10.设函数f(x)=ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)

A.(,1)      B.(-∞,)∪(1，＋∞)   C.(- ,)      D.(-∞,- )∪(,+∞)

【答案解析】答案为：A.

解法一：选A.易知y=ln(1＋|x|)，y=－是偶函数，所以f(x)是偶函数.

当x＞0时，y=ln(1＋|x|)单调递增，y=－单调递增，

所以f(x)=ln(1＋|x|)－在x∈(0，＋∞)上单调递增.

求使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围等价于解绝对值不等式|x|＞|2x－1|，

即x2＞(2x－1)2，化简为(3x－1)(x－1)＜0，解得＜x＜1.因此选A.

解法二：(特殊值法)

当x=0时，f(x)=－1，f(2x－1)=f(－1)=ln 2－，－1＜ln 2－，排除选项B和C.

当x=1时，f(x)=f(2x－1)，排除选项D.因此选A.

11.若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：

(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)=0；

(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.

①f(x)=sinx；②f(x)=－2x3；③f(x)=1－x；④f(x)=ln(＋x).

以上四个函数中，“优美函数”的个数是(　 　)

A.0        B.1        C.2        D.3

【答案解析】答案为：B.

解析：由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调减函数.

对于①，f(x)=sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；

对于②，f(x)=－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；

对于③，f(x)=1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；

对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”.故选B.

12.已知a>0，设函数f(x)=(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，

那么M＋N=(　 　)

A.2 017        B.2 019     C.4 032        D.4 036

【答案解析】答案为：D.

解析：由题意得f(x)==2 019－.

∵y=2 019x＋1在[－a，a]上是单调递增的，

∴f(x)=2 019－在[－a，a]上是单调递增的，∴M=f(a)，N=f(－a)，

∴M＋N=f(a)＋f(－a)=4 038－－=4 036.

二 、填空题

13.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是              .

【答案解析】答案为：f(x)=sinx(答案不唯一).

解析：这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，且函数f(x)在[0,2]上不是增函数即可.如f(x)=sinx，答案不唯一.

14.若函数f(x)=ln(ax2＋x)在区间(0,1)上单调递增，则实数a的取值范围为       .

【答案解析】答案为：a≥－.

解析：若函数f(x)=ln(ax2＋x)在区间(0,1)上单调递增，则函数g(x)=ax2＋x在(0,1)上单调递增且g(x)>0恒成立.当a=0时，g(x)=x在(0,1)上单调递增且g(x)>0，符合题意；

当a>0时，g(x)图象的对称轴为x=－<0，且有g(x)>0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，

符合题意；当a<0时，需满足g(x)图象的对称轴x=－≥1，且有g(x)>0，

解得a≥－，则－≤a<0.综上，a≥－.

15.已知函数f(x)=若f(x)在区间(a,a+,)上既有最大值又有最小值,则实数a的取值范围是　　　　.

【答案解析】答案为：（- ，0）；

解析：f(x)的图像如图所示.∵f(x)在上既有最大值又有最小值,

∴解得-<a<0,故a的取值范围为.

16.已知函数f(x)=则f(x)的最小值是________.

【答案解析】答案为：2－3

解析：当x≥1时，x＋－3≥2 －3=2　－3，当且仅当x=，即x=时等号成立，此时f(x)min=2－3＜0；当x＜1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)=0，此时f(x)min=0.

所以f(x)的最小值为2－3.