05解答题（中档题）-四川省凉山州五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编（共20题）

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05解答题-四川省凉山州五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编
一、 全等三角形的判定与性质（共1小题）
1. （2021•凉山州）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，过点D作DE⊥AB于E，若DE＝BE．
（1）求证：DA＝DC；
（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的长．

二、 三角形综合题（共1小题）
2. （2020•凉山州）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

三、 菱形的判定与性质（共1小题）
3. （2022•凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．

四、 正方形的性质（共1小题）
4. （2019•凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．

五、 三角形的外接圆与外心（共1小题）
5. （2020•凉山州）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．
（1）求证：＝＝＝2R；
（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．

六、 切线的判定与性质（共4小题）
6. （2021•凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．

7. （2020•凉山州）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．
（1）求证：DH是半圆的切线；
（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．

8. （2019•凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．

9. （2018•凉山州）已知：△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作EG⊥AB于H，交BC于F，延长GE交直线MC于D，且∠MCA＝∠B，求证：
（1）MC是⊙O的切线；
（2）△DCF是等腰三角形．

七、 圆的综合题（共1小题）
10. （2022•凉山州）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝6．
（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）求AB的长；
（3）连接BM并延长交⊙M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．

八、 翻折变换（折叠问题）（共1小题）
11. （2018•凉山州）在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，将平行四边形ABCD沿EF所在直线翻折，使点B与点D重合，且点A落在点A′处．
（1）求证：△A′ED≌△CFD；
（2）连接BE，若∠EBF＝60°，EF＝3，求四边形BFDE的面积．

九、 相似三角形的判定与性质（共1小题）
12. （2019•凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．

十、 相似三角形的应用（共1小题）
13. （2020•凉山州）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

十一、 解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
14. （2022•凉山州）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．

十二、 解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
15. （2021•凉山州）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．

十三、 折线统计图（共1小题）
16. （2018•凉山州）西昌市教科知局从2013年起每年对全市所有中学生进行“我最喜欢的阳光大课间活动”抽样调查（被调查学生每人只能选一项），并将抽样调查的数据绘制成图1、图2两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）　 　年抽取的调查人数最少；　 　年抽取的调查人数中男生、女生人数相等；
（2）求图2中“短跑”在扇形图中所占的圆心角α的度数；
（3）2017年抽取的学生中，喜欢羽毛球和短跑的学生共有多少人？
（4）如果2017年全市共有3.4万名中学生，请你估计我市2017年喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的大约有多少人？

十四、 列表法与树状图法（共4小题）
17. （2022•凉山州）为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：

（1）该班的总人数为 　 　人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；
（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．
18. （2021•凉山州）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）获奖总人数为　 　人，m＝　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
19. （2020•凉山州）某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．
（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品　 　件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．

20. （2019•凉山州）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：

（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有　 　人；
（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为　 　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．

参考答案与试题解析
一、 全等三角形的判定与性质（共1小题）
1． （2021•凉山州）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，过点D作DE⊥AB于E，若DE＝BE．
（1）求证：DA＝DC；
（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的长．

【解答】（1）证明：作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，如右图所示，
∵DE⊥AB，∠B＝90°，DG⊥BC，
∴∠DEB＝∠B＝∠BGD＝90°，
∴四边形DEBG是矩形，
又∵DE＝BE，
∴四边形DEBG是正方形，
∴DG＝BE，∠EDG＝90°，
∴DG＝DE，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠EDC+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴DA＝DC；
（2）∵∠ADE＝30°，AD＝6，∠DEA＝90°，
∴AE＝3，DE＝＝＝3，
由（1）知，△ADE≌△CDG，四边形DEBG是正方形，
∴DG＝DE＝3，AE＝CG＝3，BE＝DG＝BG＝3，
∴BC＝BG﹣CG＝3﹣3，AB＝AE+BE＝3+3，
∵FE⊥AB，BC⊥AB，
∴FE∥CB，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得EF＝6﹣3，
∴DF＝DE﹣EF＝3﹣（6﹣3）＝3﹣6+3＝6﹣6，
即DF的长是6﹣6．

二、 三角形综合题（共1小题）
2． （2020•凉山州）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

【解答】解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；

（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的外角，
∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC
∵∠BAC＝60°，
∴∠QMC＝60°；

（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变
理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△APM的外角，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，
即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．

三、 菱形的判定与性质（共1小题）
3． （2022•凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．

【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴AF＝CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，
∴AB•AC＝40，
∴×8•AC＝40，
∴AC＝10，
∴AC的长为10．
四、 正方形的性质（共1小题）
4． （2019•凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA＝∠AFO．
∴△BOE≌△AOF（AAS）．
∴OE＝OF．
五、 三角形的外接圆与外心（共1小题）
5． （2020•凉山州）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．
（1）求证：＝＝＝2R；
（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．

【解答】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：
则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，
∴sin∠A＝sin∠E＝＝，
∴＝2R，
同理：＝2R，＝2R，
∴＝＝＝2R；
（2）解：由（1）得：＝，
即＝＝2R，
∴AB＝＝4，2R＝＝8，
过B作BH⊥AC于H，
∵∠AHB＝∠BHC＝90°，
∴AH＝AB•cos60°＝4×＝2，CH＝BC＝2，
∴AC＝AH+CH＝2（），
∴sin∠B＝＝＝．

六、 切线的判定与性质（共4小题）
6． （2021•凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．

【解答】解：（1）连接OE，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠AEC＝90°,
又∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEC+∠OEA＝90°，
即OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）过点E作EM⊥AB，垂足为M，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AED＝90°，
∴△ACE∽△AED，
∴＝，
即＝，
∴AE＝4，
由勾股定理得，
CE＝＝4＝EM，
DE＝＝2，
∵∠DEB＝∠1，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BEA，
∴＝＝，
设BD＝x，则BE＝2x，
在Rt△BOE中，由勾股定理得，
OE2+BE2＝OB2，
即52+（2x）2＝（5+x）2，
解得x＝，
∴S△BDE＝BD•EM
＝××4
＝．

7． （2020•凉山州）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．
（1）求证：DH是半圆的切线；
（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．

【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AH∥OD，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH是半圆的切线；
（2）解：连接BC交OD于E，
∵AB是半圆AOB的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∴∠H＝∠HCE＝∠DEC＝90°，
∴四边形CEDH是矩形，
∴CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC＝2CE＝4，
∵sin∠BAC＝＝，
∴AB＝12，
方法二：（1）连接OD，作OM⊥AB于M，

∵AD平分∠BAC，OA＝OD，
∴∠HAD＝∠DAO＝∠ODA，
∵DH⊥AC，
∴∠H＝90°，∠HAD+∠HDA＝90°，
∴∠ODA+∠HDA＝∠ODH＝90°，
∴HD是半圆是切线；
（2）作DM⊥AB，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AC，
∴DM＝DH＝2，
∵∠OAD＝∠ODA＝∠HAD，
∴OD∥AH，
∴∠DOH＝∠HAB，
∴sin∠BAC＝，
∴sin∠DOM＝＝，
∴OD＝6，AB＝12，
∴半圆的直径为12．
即半圆的直径为12．

8． （2019•凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．

【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝2，
∴DE＝BE＝2，
∴DF＝6，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝6．

9． （2018•凉山州）已知：△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作EG⊥AB于H，交BC于F，延长GE交直线MC于D，且∠MCA＝∠B，求证：
（1）MC是⊙O的切线；
（2）△DCF是等腰三角形．

【解答】证明：（1）连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠2+∠3＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠3，
而∠1＝∠B，
∴∠1＝∠3，
∴∠1+∠2＝90°，
即∠OCM＝90°，
∴OC⊥CM，
∴MC是⊙O的切线；
（2）∵EG⊥AB，
∴∠B+∠BFH＝90°，
而∠BFH＝∠4，
∴∠4+∠B＝90°，
∵MD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠5+∠3＝90°，
而∠3＝∠B，
∴∠4＝∠5，
∴△DCF是等腰三角形．

七、 圆的综合题（共1小题）
10． （2022•凉山州）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝6．
（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）求AB的长；
（3）连接BM并延长交⊙M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．

【解答】解：（1）猜测⊙M与x轴相切，理由如下：
如图，连接OM，
∵AC平分∠OAM，
∴∠OAC＝∠CAM，
又∵MC＝AM，
∴∠CAM＝∠ACM，
∴∠OAC＝∠ACM，
∴OA∥MC，
∵OA⊥x轴，
∴MC⊥x轴，
∵CM是半径，
∴⊙M与x轴相切．
（2）如图，过点M作MN⊥y轴于点N，
∴AN＝BN＝AB，
∵∠MCO＝∠AOC＝∠MNA＝90°，
∴四边形MNOC是矩形，
∴NM＝OC，MC＝ON＝5，
设AO＝m，则OC＝6﹣m，
∴AN＝5﹣m，
在Rt△ANM中，由勾股定理可知，AM2＝AN2+MN2，
∴52＝（5﹣m）2+（6﹣m）2，
解得m＝2或m＝9（舍去），
∴AN＝3，
∴AB＝6．
（3）如图，连接AD与CM交于点E，
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°，
∴AD∥x轴，
∴AD⊥MC，
由勾股定理可得AD＝8，
∴D（8，﹣2）．
由（2）可得C（4，0），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，
∴，解得．
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+2．

八、 翻折变换（折叠问题）（共1小题）
11． （2018•凉山州）在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，将平行四边形ABCD沿EF所在直线翻折，使点B与点D重合，且点A落在点A′处．
（1）求证：△A′ED≌△CFD；
（2）连接BE，若∠EBF＝60°，EF＝3，求四边形BFDE的面积．

【解答】（1）证明：由翻折可知：
AB＝A′D，∠ABC＝∠A′DF，∠EFB＝∠EFD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，∠ABC＝∠ADC
∴∠ADC＝∠A′DF
∴∠FDC＝∠A′DE
∵AB＝A′D，AB＝CD
∴A′D＝CD
∵AD∥BC
∴∠DEF＝∠EFB
∵∠EFB＝∠EFD
∴∠DEF＝∠EFD
∴ED＝DF
∴△A′ED≌△CFD
（2）解：∵AD∥BC，A′B∥DF
∴四边形EBFD为平行四边形
由（1）DE＝DF
∴四边形EBFD为菱形
∵∠EBF＝60°
∴△BEF为等边三角形，
∵EF＝3
∴BE＝BF＝3
过点E作EH⊥BC于点H

∴四边形BFDE的面积为：sin60°BE•BF＝
九、 相似三角形的判定与性质（共1小题）
12． （2019•凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．

【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD
∴
∴BD2＝AD•CD
（2）∵BM∥CD
∴∠MBD＝∠BDC
∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°
∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA
∴BM＝MD＝AM＝4
∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝48，
∴BC2＝BD2﹣CD2＝12
∴MC2＝MB2+BC2＝28
∴MC＝2
∵BM∥CD
∴△MNB∽△CND
∴，且MC＝2
∴MN＝

十、 相似三角形的应用（共1小题）
13． （2020•凉山州）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

【解答】解：∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝xmm，AK＝（80﹣x）mm，
∵AD⊥BC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝48．
答：正方形零件的边长为48mm．

十一、 解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
14． （2022•凉山州）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．

【解答】解：由已知可得，
BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，
∴∠E＝∠DBA＝30°，
∴AD＝8米，
∴BD＝＝＝8（米），
∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，
∴∠C＝∠CBD＝45°，
∴CD＝BD＝8米，
∴BC＝＝＝8（米），
∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+8+8）米，
答：压折前该输电铁塔的高度是（8+8+8）米．

十二、 解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
15． （2021•凉山州）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．

【解答】解：（1）过点D作DH⊥CE于点H，

由题意知CD＝2米，
∵斜坡CF的坡比为i＝1：3，
∴，
设DH＝x米，CH＝3x米，
∵DH2+CH2＝DC2，
∴，
∴x＝2，
∴DH＝2（米），CH＝6（米），
答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
（2）过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米，
∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，
∴四边形DHBG为矩形，
∴DH＝BG＝2米，DG＝BH＝（a+6）米，
∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝a（米），
∴AG＝（a﹣2）米，
∵∠ADG＝30°，
∴，
∴，
∴a＝6+4，
∴AB＝（6+4）（米）．
答：大树AB的高度是（6+4）米．
十三、 折线统计图（共1小题）
16． （2018•凉山州）西昌市教科知局从2013年起每年对全市所有中学生进行“我最喜欢的阳光大课间活动”抽样调查（被调查学生每人只能选一项），并将抽样调查的数据绘制成图1、图2两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）　2013　年抽取的调查人数最少；　2016　年抽取的调查人数中男生、女生人数相等；
（2）求图2中“短跑”在扇形图中所占的圆心角α的度数；
（3）2017年抽取的学生中，喜欢羽毛球和短跑的学生共有多少人？
（4）如果2017年全市共有3.4万名中学生，请你估计我市2017年喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的大约有多少人？

【解答】解：（1）由图可得，2013年抽取的调查人数最少；2016年抽取的调查人数中男生、女生人数相等；
故答案为：2013，2016；
（2）1﹣35%﹣10%﹣15%﹣25%＝15%，
∴α＝360°×15%＝54°；
（3）2017年抽取的学生中，喜欢羽毛球和短跑的学生共有（600+550）×（25%+15%）＝460（人）；
（4）我市2017年喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的大约有34000×（25%+35%）＝20400（人）．
十四、 列表法与树状图法（共4小题）
17． （2022•凉山州）为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：

（1）该班的总人数为 　50　人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；
（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．
【解答】解：（1）该班总人数为12÷24%＝50（人），
则选择“演讲”人数为50×16%＝8（人），
补全图形如下：

故答案为：50；
（2）设美术社团为A，演讲社团为B，声乐社团为C．画树状图为：

由树状图知，共有12种等可能的结果数，其中选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的有4种结果，
所以选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率为＝．
18． （2021•凉山州）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）获奖总人数为　40　人，m＝　30　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）获奖总人数为8÷20%＝40（人），
m%＝×100%＝30%，
即m＝30；
故答案为40；30；
（2）“三等奖”人数为40﹣4﹣8﹣16＝12（人），
条形统计图补充为：

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6，
所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率＝＝。
19． （2020•凉山州）某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．
（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品　24　件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为　150°　；
（2）补全条形统计图；
（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．

【解答】解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%＝24（件），
则C班级作品数为24﹣（4+6+4）＝10（件），
∴在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为360°×＝150°，
故答案为：24、150°；
（2）补全图形如下：

（3）列表如下：

A
B
B
C
C
D
A

BA
BA
CA
CA
DA
B
AB

BB
CB
CB
DB
B
AB
BB

CB
CB
DB
C
AC
BC
BC

CC
DC
C
AC
BC
BC
CC

DC
D
AD
BD
BD
CD
CD

由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果，
∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为＝．
20． （2019•凉山州）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：

（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有　40　人；
（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为　90°　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．
【解答】解：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有18÷45%＝40（人），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中获三等奖的圆心角为360°×＝90°，
故答案为：90°．
（3）获二等奖的人数＝40×20%＝8，一等奖的人数为40﹣8﹣10﹣18＝4（人），
条形统计图为：

（4）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，
画树状图为：（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）

共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率为＝．