2021【KS5U解析】乐山高一下学期期末考试数学试卷含解析

这是一份2021【KS5U解析】乐山高一下学期期末考试数学试卷含解析，共14页。试卷主要包含了 设，，则有， ，下列命题正确的是， 在等差数列中，若，则等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年四川省乐山市高一（下）期末教学质量检测
数学试卷
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共60分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. ，的等差中项是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 如图，、、分别是等边各边的中点，则下列结论成立的是（ ）

A. B.
C. D.
4. 设，，则有（ ）
A. B. C. D.
5. 设是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是（ ）
A. 与的方向相同 B. 与的方向相反
C. D.
6. ，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7. 在等差数列中，若，则（ ）
A. 18 B. 30 C. 36 D. 72
8. 在中，，分别是角，的对边，若成立，那么的形状是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰或直角三角形 D. 无法判断
9. 在中，角、、所对的边分别是，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知数列中，，若，且、、三点共线（该直线不过点），则数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，四边形是等腰梯形，、分别是腰、的中点，点是的一个三分点，，若，则（ ）

A. B.
C. D.
12. 已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 不存在
第二部分（非选择题 90分）
注意事项：
1. 考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.
2. 本部分共10小题，共90分.
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共 20分.
13. 不等式的解集为__________.
14. 已知，，，如果，则__________.
15. 某市出租车的计价标准为1.2元，起步价为6元，即最初（不含）计费6元.若某人乘坐该市的出租车去往处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么他需要支付的车费为___________.
16. 如图，在矩形中，，，为的中点，若是该矩形内（含边界）任意一点，则的取值范围为__________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
17. 如图，河流上有一座桥，其长度，在桥的两端，处测得空中一气球的仰角分别为，，试求气球的高度.

18. 已知，，，，且.
（1）求的值；
（2）求向量与向量夹角的余弦.
19. 已知数列为等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最大值.
20. 某地要修建一条大型输油管道通过宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的费用为400元，铺设距离为的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元.设余下工程的总费用为（万元）.
（1）试将表示为的函数；
（2）需要修建多少个增压站才能使最小，其最小值为多少？
21. 如图，在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，且，将角的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆于点，过作轴于点.

（1）若点的纵坐标为，求点的横坐标；
（2）求的面积的最大值.
22. 已知单调等比数列中，首项，其前项和为，且，，成等差数列，数列满足条件.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为.
①求；
②求正整数，使得对任意，均有.


参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）
1．两数与的等差中项是（　　）
A． B． C．1 D．2
解：设m为两数与的等差中项，
则，
所以m＝．
故选：B．
2．sin72°•sin48°﹣sin18°•sin42°＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵由诱导公式可得sin48°＝cos42°，sin18°＝cos72°，
∴sin72°•sin48°﹣sin18°•sin42°＝sin72°•cos42°﹣cos72°sin42°＝sin（72°﹣42°）＝sin30°＝．
故选：B．
3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边的中点，则下列结论成立的是（　　）

A． B． C． D．
解：由已知可得DE＝DF＝EF，且EF∥BC，EF＝BC，DE，
所以由图可得：选项A，C，D错误，B正确，
故选：B．
4．设P＝（a+1）（a﹣5），Q＝2a（a﹣3），则有（　　）
A．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D．P≤Q
解：根据题意，P＝（a+1）（a﹣5），Q＝2a（a﹣3），
则P﹣Q＝（a2﹣4a﹣5）﹣（2a2﹣6a）＝﹣a2+2a﹣5＝﹣（a﹣1）2﹣4＜0，
则p＜Q，
故选：C．
5．设是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是（　　）
A．与的方向相同 B．与的方向相反
C． D．
解：是非零向量，λ是非零实数，
对于A，当λ＜0时，与的方向相反，故A错误；
对于B，当λ＜0时，与﹣的方向相同，故B错误；
对于C，|﹣|＝|﹣λ|•||，故C错误；
对于D，|﹣|＝|﹣λ|•||，故D正确．
故选：D．
6．a，b∈R，下列命题正确的是（　　）
A．若a≠|b|，则a2≠b2 B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若|a|＞b，则a2＞b2
解：对于A选项，当 a＝﹣1，b＝1时，满足a≠|b|，但a2＝b2，故A选项错误，
对于B选项，当a＝1，b＝﹣3时，a2＜b2，故B选项错误，
对于C选项，若a＞|b|，则有|a|＞|b|，则a2＞b2，故C选项正确，
对于D选项，当a＝1，b＝﹣3时，a2＜b2，故D选项错误．
故选：C．
7．在等差数列{an}中，若a4+a5+a6+a7+a8＝90，则a3+a9＝（　　）
A．18 B．30 C．36 D．72
解：由{an}是等差数列，得a4+a5+a6+a7+a8＝5a6＝90，解得a6＝18，
所以a3+a9＝2a6＝2×18＝36．
故选：C．
8．在△ABC中，a，b分别是角A，B的对边，若成立，那么△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．无法判断
解：因为，可得acosA＝bcosB，
所以由余弦定理可得a•＝b•，整理可得c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），
所以a2﹣b2＝0，或c2＝a2+b2，
所以a＝b，或C为直角，
故△ABC的形状是等腰或直角三角形．
故选：C．
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且2acosC＝2b﹣c，则A＝（　　）
A． B． C． D．
解：因为2acosC＝2b﹣c，
所以由余弦定理可得2a•＝2b﹣c，整理可得b2+c2﹣a2＝bc，
可得cosA＝＝＝，
因为A∈（0，π），
所以A＝．
故选：B．
10．已知数列{an}中，a1＝1，若，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则数列{an}的通项公式为（　　）
A． B．
C． D．
解：由，可得＝+，
∵A，B，C三点共线，
∴，∴an﹣an﹣1＝n （n≥2），
∴a2﹣a1＝2，
a3﹣a2＝3，
a4﹣a3＝4，
.........．
an﹣an﹣1＝n，
∴an﹣a1＝2+3+...+n，
∴an＝1+2+3+...+n＝，
故选：A．
11．如图，四边形ABCD是等腰梯形，E、F分别是腰AD、BC的中点，点P是EF的一个三分点，AB＝2CD，若，则λ+μ＝（　　）

A． B． C． D．
解：由已知可得EF＝，则＝，
则＝＝
＝＝，
又，所以，
所以，
故选：D．
12．已知正项等比数列{an}满足a7＝a6+2a5，若存在两项am，an，使得，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．不存在
解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，∵a7＝a6+2a5，∴，化为q2﹣q﹣2＝0，q＞0，解得q＝2．
∵存在两项am，an，使得，∴＝4a1，化为：m+n＝6．
则m＝1，n＝5；m＝2，n＝4；m＝3，n＝3；m＝4，n＝2；m＝5，n＝1．
则当m＝2，n＝4时，的最小值为．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.
13．不等式＜0的解集是　（﹣2，1）　．
解：∵＜0，
∴（x﹣1）（x+2）＜0，
解得：﹣2＜x＜1，
故不等式的解集是（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）．
14．已知A（﹣1，1），B（1，3），C（m，2），如果AB⊥BC，则m＝　2　．
解：根据题意，A（﹣1，1），B（1，3），C（m，2），
则＝（2，2），＝（m﹣1，﹣1），
若AB⊥BC，则⊥，则有•＝2（m﹣1）﹣2＝0，
解可得m＝2．
故答案为：2．
15．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为6元，即最初3km（不含3km）计费6元．若某人乘坐该市的出租车去往13km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么他需要支付的车费为 　19.2　．
解：根据题意，设乘车距离为x，车费为y，
则有y＝，
若某人乘坐该市的出租车去往13km处的目的地，付费分两部分：前3km付费6（元），3km到13km付费（13﹣2）×1.2＝13.2（元），
需要一共付费6+13.2＝19.2元，
故答案为：19.2．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F是该矩形内（含边界）任意一点，则的取值范围为 　　．

解：建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0），E（2，），D（0，1），设F（x，y），其中0≤x≤2，0≤y≤1，
则＝（2，）•（x，y﹣1）＝2x+y﹣，
设z＝2x+y﹣，则y＝﹣4x+（2z+1）；
∴2z+1是直线y＝﹣4x+（2z+1）在y轴上的截距，
则截距最小时，z最小；截距最大时，z最大；
可看出直线y＝﹣4x+（2z+1）过点C（2，1）时z最大，此时1＝﹣8+2z+1，z＝4；
过点C（2，0）时z最大，此时0＝0+2z+1，z＝﹣；
故的取值范围是[﹣，4]，
故答案为：[﹣，4]．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
17．如图，河流上有一座桥，其长度BC＝100m，在桥的两端B，C处测得空中一气球的仰角分别为α＝30°，β＝45°，试求气球的高度h．

解：由题可知，∠ABO＝β＝45°，∠ACO＝α＝30°，
∴OB＝OA＝h，
∴OC＝OB+BC＝h+100，
在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，
∴，
即．
答：气球的高度为．
18．已知，，，，且．
（1）求λ的值；
（2）求向量与向量夹角的余弦．
解：（1）根据题意，，，，，
则＝（2，λ），，
若∥，则有，
解可得：λ＝﹣2，
（2）由（1）知，，
设与的夹角为θ，
则＝＝．
19．已知数列{an}为等差数列，且a3＝7，a5＝3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn的最大值．
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得a5﹣a3＝2d＝﹣4，解得d＝﹣2，
故an＝a3﹣（n﹣3）×d＝7﹣（n﹣3）×（﹣2）＝13﹣2n，即{an}的通项公式为an＝13﹣2n．
（2）由（1）知，a1＝11，故＝﹣（n﹣6）2+36（n∈N+），
结合二次函数性质可知：当n＝6，Sn有最大值且Sn的最大值为S6＝36．
20．某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）．经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x2+x万元．设余下工程的总费用为y万元．
（1）试将y表示成关于x的函数；
（2）需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少万元？
解：（1）设需要修建k个增压站，则（k+1）x＝240，即．所以．
因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤240．
故y与x的函数关系是．
（2）．
当且仅当即x＝20时取等号．此时，．
故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9440万元．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈[，），将角α的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆与点B，过B作BC⊥y轴于点C．
（1）若点A的纵坐标为，求点B的横坐标；
（2）求△AOC的面积S的最大值．

解：（1）由定义得，A（cosα，sinα），B（cos（α+），sin（α+）），
依题意知sinα＝，α∈[，]，所以α＝，
所以点B的横坐标为cos（α+）＝cos＝﹣，
（2）∵|OA|＝1，|OC|＝sin（α+），∠AOC＝﹣α，
∴S＝|OA|•|OC|sin∠AOC
＝sin（α+）sin（﹣α）
＝（sinα+cosα）cosα
＝（sinαcosα+cos2α）
＝（sin2α+cos2α）+
＝sin（2α+）+，
∵α∈[，]，
∴（2α+）∈[，），
∴当2α+）＝，即α＝时，sin（2α+）取最大值，
∴S的最大值为．
22．已知单调等比数列{an}中，首项为 ，其前n项和是Sn，且+S3，S5，a4+S4成等差数列，数列{bn}满足条件
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn＝an，记数列{cn}的前n项和Tn．
①求Tn；
②求正整数k，使得对任意n∈N*，均有Tk≥Tn．
解：（Ⅰ） 设．由已知得 即，
进而有．所以，即，则，
由已知数列{an}是单调等比数列，且．所以取，
数列{an}的通项公式为；
∵，
∴．则bn＝n（n+1）．
数列{bn}的通项公式为bn＝n（n+1）；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，
①设pn＝an，{pn}的前n项和为Pn．则．
又设，{qn}的前n项和为Qn．
则．
所以Tn＝Pn﹣Qn＝，
②令＝．
由于2n+1比（n+1）（n+2）变化快，所以令Tn+1﹣Tn＞0得n＜4．
即T1，T2，T3，T4递增，而T4，T5，T6…Tn递减．所以，T4最大．
即当k＝4时，Tk≥Tn．