辽宁省沈阳市2022届高三上学期一模二模数学试题

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辽宁省沈阳市2022届高三上学期一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合，，则（       ）A． B． C． D．2．已知为虚数单位，若复数，则（       ）A．1 B．2 C． D．3．关于双曲线与，下列说法中错误的是（       ）A．它们的焦距相等 B．它们的顶点相同C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同4．夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（       ）A． B． C． D．5．已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则的前n项和（       ）A． B． C． D．6．如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（       ）A． B．6 C． D．47．已知，，，则（       ）A． B． C． D．8．若函数，则是在有两个不同零点的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题9．某团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示，年龄28293032364045人数1335431 有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（       ）A．众数是32 B．众数是5              C．极差是17              D．25%分位数是3010．已知函数，则（       ）A．的最小值为0B．的最小正周期为C．的图象关于点中心对称D．的图象关于直线轴对称11．已知圆，直线，为直线上一动点，过点作圆的两条切线为切点，则（       ）A．点到圆心的最小距离为 B．线段长度的最小值为C．的最小值为 D．存在点，使得的面积为12．若，，则下列不等关系正确的有（       ）A． B． C． D．三、填空题13．函数的最大值为______．14．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______．（用数字作答）15．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．16．已知三棱柱中，，，，，则四面体的体积为______．四、解答题17．从①，②这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．（填写①或②，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答．）(1)求B；(2)若，的面积为，求a．18．等差数列和等比数列满足，，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知：①；②，使．设S为数列中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S的值．19．现有一种需要两人参与的棋类游戏，规定在双方对局时，二人交替行棋．一部分该棋类游戏参与者认为，在对局中“先手”（即：先走第一步棋）具有优势，容易赢棋，而“后手”（即：对方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋）不具有优势，容易输棋．(1)对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，分数据如下表所示．请将表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关？ 先手局后手局合计赢棋45  输棋  45合计 25100 (2)现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制（即：比赛中任何一方赢得两局就获胜，同时比赛结束，比赛至多进行三局）．在甲先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为；在乙先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为．若比赛中“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设比赛共进行X局，求X的分布列和数学期望．附：，．0.100.050.01k2.7063.8416.635 20．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，．(1)求证：平面PAC；(2)求二面角的余弦值．21．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，点A是椭圆的左顶点，点E坐标为，经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l斜率存在且不为0．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AM，AN分别交直线于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG的斜率分别为k，，求证：为定值．22．已知．(1)求证：对于，恒成立；(2)若对于，有恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：1．C【解析】【分析】利用交集的定义直接求解【详解】因为，，所以，故选：C2．D【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简可得.由复数模的定义即可求得.【详解】复数，则由复数除法运算化简可得，所以由复数模的定义可得，故选:D.【点睛】本题考查了复数的化简与除法运算,复数模的定义及求法,属于基础题.3．B【解析】【分析】分别求出双曲线，的焦距、顶点坐标、离心率、渐近线，即可得到结果.【详解】由，可得，其焦距为，顶点坐标为，离心率为，渐近线方程为；由，可得，其焦距为，顶点坐标为，离心率为，渐近线方程为；所以双曲线与的顶点坐标不同.故选: B.4．C【解析】【分析】记事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨，根据条件概率的公式计算即可得出结果.【详解】记事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为.故选：C5．B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和等比中项的性质求出首项，根据等差数列求和公式即可求解.【详解】设等差数列公差d＝2，由，，成等比数列得，，即，解得，∴n×0＋＝.故选：B.6．B【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】解：如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，因为，，所以，所以，，所以，所以，所以当，即时，的最小值为.故选：B7．A【解析】【分析】利用对数函数的性质可知，，又，由此即可得到结果.【详解】因为，所以；因为，所以.故选:A.8．A【解析】【分析】将问题转化为，令，利用导数讨论的单调性，求出，由在有2个不同零点的充要条件为，从而作出判断.【详解】，令，则，令，，令，得，解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，所以，在有2个不同零点的充要条件为函数与图象在第一象限有2个交点，所以，即有2个零点的充要条件为，又是的充分不必要条件，所以“”是“有2个零点在”的充分而不必要条件，故选：A9．ACD【解析】【分析】根据人数最多确定众数；最大值减去最小值为极差；利用分位数的定义求解25%分位数.【详解】年龄为32的有5人，故众数是32，A正确，B错误；45-28=17，极差为17，C正确；因为，所以，故25%分位数是30，D正确.故选：ACD10．BD【解析】【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后逐个分析判断【详解】，对于A，当时，取得最小值，所以A错误，对于B，的最小正周期为，所以B正确，对于C，由，得，所以的图象的对称中心为，所以C错误，对于D，由，得，所以的图象的对称轴为直线，当时，，所以的图象关于直线轴对称，所以D正确，故选：BD11．ACD【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系，可知当与直线垂直时，点到圆心的距离最小，根据点到直线的距离即可判断A是否正确；在直角三角形中，，在结合选项A，即可判断B是否正确；设，在直角三角形中，求出，根据二倍角公式可得，再根据数量积公式可得，结合对勾函数的性质，即可求出的最小值，进而判断C是否正确；根据题意可求当且仅当与直线垂直时弦长度的最小值，此时的面积最小，最小值为，由此即可判断D是否正确.【详解】要使得点到圆心的最小距离，即与直线垂直时，即到直线的距离，即，故A正确；由图可知，在直角三角形中，，要使得线段长度的最小，则取最小值，由选项A可知，长度的最小值为，故B错误；设，又，又在直角三角形中，，所以，所以令又，所以，又函数，在区间上单调递增，所以，即的最小值为，故C正确；圆的圆心，半径，又点到直线的距离，即；由切线长定理知，直线垂直平分线段，得，当且仅当与直线垂直时取“”，即弦长度的最小值为，此时，设的中点为，则，所以，所以的面积的最小值为：，又，所以存在点P，使得的面积为，故D正确.故选：ACD.12．ABD【解析】【分析】由，，得，则，然后逐个分析判断即可【详解】由，，得，所以，对于A，，所以A正确对于B，因为，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以C错误，对于D，因为，所以，由于，且，因为，所以等号不成立，所以，所以，所以，所以D正确，故选：ABD13．##1.5【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式可得，再令，可知函数等价于，利用二次函数的性质即可求出结果.【详解】因为，所以，令，所以函数等价于，又，当时，，即函数的最大值为.故答案为：.14．-192【解析】【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和可得，解出n，结合通项公式计算即可求出的系数.【详解】由题意知，二项式系数之和，所以所以，所求的系数为.故答案为：-19215．##0.5【解析】【分析】用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，由题可知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式即得.【详解】如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.故答案为：16．##【解析】【分析】利用题干条件证明出全等，作出辅助线，证明出线面垂直，即高线，利用余弦定理和勾股定理求出高线，进而利用体积公式求出答案.【详解】取BC中点D，连接AD，，过点作⊥AD于点E，因为，，，所以，，故，所以，因为，所以BC⊥平面，因为平面，所以BC⊥，因为，所以⊥平面ABC，由余弦定理得：，所以，因为，由勾股定理逆定理可得：，由勾股定理得：，所以，所以，因为，所以，所以，故，所以点B到底面的距离为，，则四面体的体积为.故答案为：17．(1)选①②，结果一致，均有；(2)选①②，结果一致，均有.【解析】【分析】（1）选①：利用正弦定理得到，求出，选②：利用余弦定理得：，求出；（2）选①②过程相同，先由面积公式得到，再使用余弦定理求出，从而求出.(1)选①：，由正弦定理得：，因为，所以，故，因为，所以；选②：，由余弦定理得：，因为，所以；(2)选①：，由面积公式得：，解得：，由余弦定理得：，解得：，解得：，选②：由面积公式得：，解得：，由余弦定理得：，解得：，解得：18．(1)(2)【解析】【分析】（1）根据题意列出相应的方程组，求出的公差d和的公比q，可得答案；（2）确定，再根据条件得到，根据，可判断出的取值，进而求得答案.(1)由等差数列和等比数列满足，，，且，设的公差为d，的公比为q,可得 ,将代入，解得 ，由，则取，故；(2)由，，令 ，由于 ，故 ，即，，使，故令 ，则 ，由于 ，故可以看出当 时，成立，故 .19．(1)有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关.(2)X的分布列见解析，.【解析】(1)完善后的列联表如下表所示： 先手局后手局合计赢棋451055输棋301545合计7525100 故，故有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关.(2)可取值2,3.，， 的分布列如下表所示：23. 故.20．(1)证明见解析；(2) 【解析】【分析】（1）以A为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由，即可证明； （2）求平面的法向量和平面的法向量，利用数量积公式可得答案.(1)平面，平面，平面，，，又，、、两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，因为，，则，，，，，，，，因为，，所以，，即，，又因为，平面，平面，所以平面.(2)设平面的法向量为，平面的法向量，由，，，得，，令，得；令，解得，所以，，则，所以二面角的余弦值为.21．(1)(2)证明过程见解析.【解析】【分析】（1）根据离心率及求出椭圆C的方程；（2）设出直线l方程，联立椭圆方程，利用韦达定理求出两根之和，两根之积，表达出点P，Q的坐标，从而得到中点G的坐标，直线EG的斜率，，证明出结论.(1)由题意得：，，由，解得：，，故椭圆C的方程为：；(2)设直线l：，联立椭圆方程：得：，设，，则，，直线AM：，令得：，故，同理可求得：，则，则，故，证毕.22．(1)证明见解析；(2) 【解析】【分析】(1)求出函数的导数，令解得，进而得出函数的单调性，即可求出函数的最小值，即证；(2)将不等式转化为，令，有对恒成立，构造新函数，利用导数讨论函数的单调性，求出最小值即可.(1)由，得，令，得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即恒成立；(2)，则，即，令，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，即，所以即对恒成立，令，则，，若，，在上单调递增，所以，故，符合题意；若，令，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，不符合，综上，.即a的取值范围为.