山东省烟台市2022届高三三模数学试题

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山东省烟台市2022届高三三模数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．若集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．复数的共轭复数为

A． B． C． D．

3．若和分别为空间中的直线和平面，则“”是“垂直内无数条直线”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作者，其主要作品有《离骚》、《九歌》、《九章》、《天问》等.某校于2022年6月第一周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为（       ）

A． B． C． D．

5．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（       ）

A． B．2 C． D．

6．若，则的值为（       ）

A． B． C． D．

7．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ）

A． B．2 C． D．1

8．已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

9．若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数据，可以认为该地区没有发生大规模群体感染的是（       ）

A．平均数为2，中位数为3 B．平均数为1，方差大于0.5

C．平均数为2，众数为2 D．平均数为2，方差为3

10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．满足的的取值范围为（）

C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象的一条对称轴

D．函数与的图象关于直线对称

11．二进制是计算中广泛采用的一种数制，由18世纪德国数理哲学家莱布尼兹发现，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.现采用类似于二进制数的方法构造数列：正整数，其中（），记.如，，则下列结论正确的有（       ）

A． B． C． D．

12．某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限（），劳累程度（），劳动动机（）相关，并建立了数学模型.已知甲､乙为该公司的员工，则下列说法正确的有（       ）

A．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强

B．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱

C．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高

D．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．若为奇函数，则的表达式可以为___________.

14．若展开式中第6项的系数为1792，则实数的值为___________.

15．已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为___________.

16．某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________.

17．在中，角，，的对边分别为，，，且.

(1)求角；

(2)若，求的取值范围.

18．当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：

计算得到一些统计量的值为：，其中，.

(1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程；

(2)制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分”的分布列和数学期望.

参考公式：对于一组数据（），其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

19．已知数列的前项和为，，当时，.

(1)求；

(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.

20．如图，在平面五边形中，为正三角形，，且.将沿翻折成如图所示的四棱锥，使得.，分别为，的中点.

(1)求证：平面；

(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.

21．已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.

22．已知函数（）.

(1)证明：当时，函数存在唯一的极值点；

(2)若不等式恒成立，求的取值范围.

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得；

【详解】

解：由，即，解得，

所以，

又，所以，

所以；

故选：B

2．B

【解析】

【详解】

试题分析：，故共轭复数为

考点：复数运算

3．A

【解析】

【分析】

利用充分条件、必要条件的定义结合线面垂直的意义判断作答.

【详解】

若，则垂直内所有直线，因此，命题“若，则垂直内无数条直线”正确，

垂直内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线可以在平面内，即不能推出，

所以“”是“垂直内无数条直线”的充分不必要条件.

故选：A

4．C

【解析】

【分析】

利用古典概型去求周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率

【详解】

该校周一至周四诵读屈原的四部作品方法总数为

周一不读《天问》，周三不读《离骚》的方法总数为

则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为

故选：C

5．D

【解析】

【分析】

先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率

【详解】

不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令

由，整理得

则，

则，由，可得

则有，即，则双曲线的离心率

故选：D

6．D

【解析】

【分析】

利用两角差的余弦公式和二倍角的正弦公式化简题给条件，得到三角函数齐次式，进而求得的值

【详解】

由，可得

又，则

故选：D

7．A

【解析】

【分析】

等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.

【详解】

作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，

设，则，

∵BC//EF，∴设，则

∴，

∴

∴

故选：A.

8．B

【解析】

【分析】

作出函数的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．

【详解】

解：作出函数的图象如图：

依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点，

因为必过，且，

若时，方程不可能有三个实数解，则必有，

当直线与在时相切时，

设切点坐标为，则，即，

则切线方程为，

即，

切线方程为，

且，则，所以，

即当时与在上有且仅有一个交点，

要使方程有且仅有三个的实数解，

则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即，

所以，

故选：B

9．AD

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用平均数、中位数、方差的意义计算推理判断A，D；举例说明判断B，C作答.

【详解】

对于A，因10个数的平均数为2，中位数为3，将10个数从小到大排列，设后面4个数从小到大依次为a，b，c，d，

显然有，而，则d的最大值为5，A符合条件；

对于B，平均数为1，方差大于0.5，可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，

其平均数为1，方差大于0.5，B不符合；

对于C，平均数为2，众数为2，可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，

其平均数为2，众数为2，C不符合；

对于D，设连续10天的数据为，因平均数为2，方差为3，

则有，于是得，而，因此，D符合条件.

故选：AD

10．ABD

【解析】

【分析】

根据图象求出的解析式，然后运用三角函数的知识逐一判断即可.

【详解】

由图可得，，

所以，因为，所以，

所以，因为，所以

，故A正确；

由可得，

所以，解得，，故B正确；

将函数的图象向右平移个单位长度，得到的是函数的图象，直线不是其对称轴，故C错误；

因为，

所以函数与的图象关于直线对称，故D正确；

故选：ABD

11．BD

【解析】

【分析】

求得否定选项A；求得并与比较判断选项B；求得并与比较判断选项C；分别求得、并进行比较判断选项D.

【详解】

选项A：，则.判断错误；

选项B：，

则，

则.判断正确；

选项C：，

则，

.判断错误；

选项D：，

则

则

，则.判断正确.

故选：BD

12．BCD

【解析】

【分析】

利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得.

【详解】

设甲与乙的工人工作效率，工作年限，劳累程度，劳动动机，

对于A，，，，，

∴，，

，

所以，即甲比乙劳累程度弱，故A错误；

对于B，，，，

∴，，

∴，

所以，即甲比乙劳累程度弱，故B正确.

对于C，，，，

∴，，

则，

∴，即甲比乙工作效率高，故C正确；

对于D，，，，，

∴，，

则，

∴，即甲比乙工作效率高，故D 正确；

故选：BCD.

13．，，，，等（答案不唯一）

【解析】

【分析】

利用为奇函数，可以得到为奇函数，进而求得的表达式.

【详解】

由为奇函数，则有

即恒成立

则，则为奇函数

则的表达式可以为或或等

故答案为：，，，，等

14．

【解析】

【分析】

由二项式展开公式直接计算即可.

【详解】

解：因为＝＝＝ ，

所以有：＝-56=1792,

所以=-32, 解得a=-2,

故答案为：-2.

15．或1##1或

【解析】

【分析】

先求得点的轨迹的方程，再利用的面积为2列出关于实数的方程，进而求得实数的值

【详解】

设，则有

整理得，即点的轨迹为以为圆心以2为半径的圆

点到直线的距离

直线交于，两点，则

则的面积

解之得或

故答案为：或1

16．         

【解析】

【分析】

过侧棱的中点作正三棱柱的截面，即可得到球心为的中心，在正中求出内切圆的半径即内切球的半径，从而求出球的表面积，再求出三棱柱的顶点到球心的距离，即可求出球面上的点到顶点的距离的最小值；

【详解】

解：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为的中心，

因为，所以内切圆的半径，

即内切球的半径，所以内切球的表面积，

又正三棱柱的高，

所以，所以，

所以到球面上的点的距离最小值为；

故答案为：；

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；

（2）利用正弦定理将边化角，再利用三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得；

(1)

解：因为，

由正弦定理得，

即，

即，

因为，所以，

所以.

因为，所以，

所以，因为，所以.

(2)

解：由正弦定理得，

所以

，

所以.

因为，所以，

所以，所以.

18．(1)

(2)分布列答案见解析，数学期望：

【解析】

【分析】

（1）对两边取对数可得，即，再根据最小二乘法求出，，即可得解；

（2）依题意的所有可能取值为5，7，9，12，求出所对应的概率，即可得到分布列，从而求出数学期望；

(1)

解：因为两边取对数可得，即，

令，所以，由，

，.

所以，

又，即，

所以，所以.

所以关于的经验回归方程为.

(2)

解：由题知，甲获得的积分的所有可能取值为5，7，9，12，

所以，，

，，

所以的分布列为

所以

19．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）将代入化简可得为等差数列，进而可得结果；

（2）利用错位相减法求出，再利用分离参数的思想即可得结果.

(1)

当时，，

所以，，

整理得：，即.

所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.

所以，即.

(2)

由（1）知，，

所以，①

所以，②

①-②得，，

所以，，

所以，，

所以，即，即，

因为，当且仅当时，等号成立，

所以.

20．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

(1) 取的中点，连接，.可得面面，从而可证平面；

(2) 取的中点，连接，， 以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系,用向量法求解即可.

(1)

解：（1）证明：取的中点，连接，.

则，.

因为面，面，

所以，面，面，

因为，

所以，面面，

因为面，所以面.

(2)

（2）取的中点，连接，，

因为为正三角形，，所以且，

在直角梯形中，，，，

所以，且，

又因为，

所以在中，，即，

所以，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

.

因为，即，，

所以，，

所以，.

设为平面的一个法向量，

则，即，取.

又平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，

.

21．(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）依题意可得，即可求出、、，即可得解；

（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由直线、的方程，得到、的坐标，即可得到以为直径的圆的方程，再令，得到，即可得解；

(1)

解：因为椭圆的离心率为，所以.

又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.

又，所以，.

所以椭圆的标准方程为.

(2)

解：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，设，，

将直线代入椭圆的方程得：，

由韦达定理得：，，

直线的方程为，直线的方程为，

所以，，

所以以为直径的圆为，

整理得：.①

因为，

令①中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.

22．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）求得函数的导函数，依据函数极值点定义去证明当时，函数存在唯一的极值点；

（2）先令求得的取值范围，再去证明当时不等式恒成立，即可求得a的取值范围.

(1)

函数的定义域为，

.

令，，则，

因为，所以，，

当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，

由.又当时，，

所以，存在唯一的，使得，

当时，，即，所以函数在上单调递减，

当时，，即，所以函数在上单调递增.

所以函数存在唯一的极值点.

(2)

不等式恒成立，

即在上恒成立.

令，，所以，

所以在上单调递增，

又，则时有.

所以，当时，恒成立，

即，则有.

令，则

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

则在时取得最小值

则（当且仅当时取等号）.

令，则

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

则在时取得最小值

则（当且仅当时取等号）.

因为，

当时，，

（当且仅当时取等号）.

令，

当时，，所以即在上单调递增，

且，，

所以，使，即，即，

所以，当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，

.

所以，的取值范围为.

【点睛】

(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．

(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．