北师大版高中数学必修第一册第二章函数章末复习与总结练习含答案

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章末复习与总结一、数学运算数学运算是解决数学问题的基本手段，又是计算机解决问题的基础．本章中求函数的定义域、值域及解析式都体现了学科素养中的数学运算.函数的定义域[例1]　(1)f(x)＝(x－1)0＋的定义域是(　　)A．(－1，＋∞)　　　　　 B．(－∞，－1)C．R  D．(－1，1)∪(1，＋∞)(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)A.  B．C．(1，3]  D．[1，3][解析]　(1)要使函数f(x)有意义，需满足∴x>－1，且x≠1，所以定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．(2)由函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，得0≤2x－1≤2，解得≤x≤.再由x－1>0成立，解得x>1.综上，可得1<x≤.故选A.[答案]　(1)D　(2)A 函数的值域(值)[例2]　(1)已知函数f(x)＝，则f＝(　　)A．5  B．3C.  D.(2)函数f(x)＝x2＋2x(x∈[－2，1])的值域是(　　)A．[0，3]  B．[－1，3]C．[－1，0]  D．[－1，＋∞)(3)函数y＝的值域是________．[解析]　(1)由题意，函数f(x)＝，可得f＝＝.(2)∵函数f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，其图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，且x∈[－2，1]．如图，当x＝－1时，函数f(x)取得最小值为f(－1)＝－1；当x＝1时，函数f(x)取得最大值为f(1)＝3.因此，函数f(x)＝x2＋2x(x∈[－2，1])的值域为[－1，3]．(3)法一(判别式法)：∵y＝，∴y＋yx2＝1－x2，整理，得(y＋1)x2＋y－1＝0.当y＋1≠0时，Δ＝－4(y＋1)(y－1)≥0，解得－1<y≤1；当y＋1＝0时，－2＝0不成立，∴y≠－1.故函数的值域为(－1，1]．法二(分离常数法)：∵y＝＝＝－1＋，又∵x2≥0，∴1＋x2≥1，∴∈(0，2]，∴－1＋∈(－1，1]．故函数的值域为(－1，1]．[答案]　(1)D　(2)B　(3)(－1，1]函数的解析式[例3]　(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式是(　　)A．f(x)＝x2－1  B．f(x)＝x2－1(x≥1)C．f(x)＝x2－4x－1(x≥1)  D．f(x)＝x2＋1(2)已知对于任意的x，函数f(x)满足f(x)＋2f(2－x)＝x，则f(x)的解析式为________．[解析]　(1)法一：∵(＋1)2＝x＋2＋1，∴x＋2＝(＋1)2－1.∴f(＋1)＝(＋1)2－1，其中＋1≥1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：令＋1＝t，则t≥1，x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)∵f(x)＋2f(2－x)＝x， ①将原式中的x替换为2－x，得f(2－x)＋2f(x)＝2－x. ②②×2－①，得3f(x)＝4－2x－x，即f(x)＝－x＋.[答案]　(1)B　(2)f(x)＝－x＋[例4]　如图所示，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，由B→C→D→A的顺序沿梯形各边运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x)，如果AB＝8，BC＝4，CD＝5，DA＝5，求函数f(x)的解析式．[解]　分三种情况：(1)当点P在线段BC上，即0≤x≤4时，f(x)＝AB·BP＝×8·x＝4x.(2)当点P在线段CD上，即4<x≤9时，f(x)＝AB·BC＝×8×4＝16.(3)当点P在线段DA上，即9<x≤14时，过点D作DH⊥AB于点H，过点P作PE⊥AB于点E(图略)．可得△AEP∽△AHD，∴＝，即＝，∴PE＝.∴f(x)＝AB·PE＝×8×＝－x＋.综上所述，f(x)＝二、直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养，主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物．本章主要体现在利用函数的图象研究函数的性质.函数图象的识别及应用[例5]　已知a≠0，b>0，一次函数y＝ax＋b，二次函数y＝ax2，则下列图象中可以成立的是(　　)[解析]　因为b>0，所以一次函数y＝ax＋b的图象与y轴正半轴相交，故排除A、C.当a>0时，一次函数的函数值随x的增大而增大；二次函数图象开口向上，B符合．当a<0时，一次函数的函数值随x的增大而减小；二次函数图象开口向下，D不符合．故选B.[答案]　B[例6]　对于函数f(x)＝x2－2|x|.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．[解]　(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.则f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．(2)f(x)＝x2－2|x|＝画出图象如图所示，根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.单调递增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[0，1]．三、逻辑推理逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，本章中函数单调性、奇偶性的判断及应用体现了学科素养中的逻辑推理.函数单调性、奇偶性的应用[例7]　(1)若函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)A．f(1)<f<fB．f<f(1)<fC．f<f<f(1)D．f<f(1)<f(2)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x＋1)为偶函数，若f(3)＝1，则不等式f(2x＋1)<1的解集为(　　)A．(－1，1)　　　　　 B．(－1，＋∞)C．(－∞，1)  D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析]　(1)∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(2－x)＝f(2＋x)，故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3)．又f(x)在(0，2)上为增函数，∴f(x)在(2，4)上为减函数．又2<<3<<4，∴f>f(3)>f，即f<f(1)<f.(2)∵f(x＋1)是偶函数，∴f(1－x)＝f(1＋x)，故y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又∵f(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，1)上单调递减．∵f(3)＝1，∴f(－1)＝f(3)＝1，∴f(2x＋1)<1⇔－1<2x＋1<3，解得－1<x<1.故选A.[答案]　(1)B　(2)A[例8]　已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．[解]　(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)，知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．