广东省广州市五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案）

这是一份广东省广州市五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案），共48页。试卷主要包含了已知A＝•，已知T＝+，解方程组等内容，欢迎下载使用。
广东省广州市五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编

一．分式的化简求值（共2小题）
1．已知A＝（﹣）•．
（1）化简A；
（2）若m+n﹣2＝0，求A的值．
2．（2018•广州）已知T＝+．
（1）化简T；
（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．
二．一元一次方程的应用（共1小题）
3．（2020•广州）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
三．解二元一次方程组（共3小题）
4．解方程组．
5．（2019•广州）解方程组：．
6．（2017•广州）解方程组．
四．一元二次方程的应用（共1小题）
7．（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
五．分式方程的应用（共1小题）
8．（2017•广州）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程倍，甲队比乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．
六．一元一次不等式的应用（共2小题）
9．（2021•广州）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元
10．（2018•广州）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售，每台按售价销售；若超过5台
（1）当x＝8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
七．解一元一次不等式组（共2小题）
11．（2020•广州）解不等式组：．
12．（2018•广州）解不等式组：．
八．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
13．（2019•广州）已知P＝﹣（a≠±b）
（1）化简P；
（2）若点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上
九．反比例函数的性质（共1小题）
14．（2020•广州）已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，化简：﹣+．
一十．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
15．（2020•广州）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，OB交于点M，函数y＝（x＞0）（3，4）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求▱OABC的周长．

16．（2018•广州）设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为y1．
（1）求y1关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象；
（2）若反比例函数y2＝的图象与函数y1的图象相交于点A，且点A的纵坐标为2．
①求k的值；
②结合图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．
一十一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
17．（2017•广州）将直线y＝3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y＝3x+m，若反比例函数y＝，且点A的纵坐标是3．
（1）求m和k的值；
（2）结合图象求不等式3x+m＞的解集．
一十二．反比例函数综合题（共1小题）
18．（2019•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．

一十三．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
19．（2017•广州）已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
（1）求y1的解析式；
（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．
一十四．二次函数综合题（共4小题）
20．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点
21．（2020•广州）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S1，△OCE的面积为S2，S1＝S2+．
（1）用含a的式子表示b；
（2）求点E的坐标：
（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为+3，求y＝ax2+bx+c在1＜x＜6时的取值范围（用含a的式子表示）．
22．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，求点P的纵坐标的取值范围．
23．（2018•广州）已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．
（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．
①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标，说明理由；
②若点C关于直线x＝﹣的对称点为点E，点D（0，1），BD，DE，⊙P的半径记为r，求的值．
一十五．全等三角形的判定（共2小题）
24．（2019•广州）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．

25．（2017•广州）如图，点E，F在AB上，∠A＝∠B，AE＝BF．求证：△ADF≌△BCE．

一十六．全等三角形的判定与性质（共3小题）
26．（2021•广州）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，BE＝CF，证明：AE＝DF．

27．（2020•广州）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°

28．（2018•广州）如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE

一十七．三角形综合题（共1小题）
29．（2019•广州）如图，等边△ABC中，AB＝6，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合）
（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；
（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在；
（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．

一十八．四边形综合题（共3小题）
30．（2021•广州）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，且CF、DE相交于点G．

（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．
31．（2018•广州）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC．
（1）求∠A+∠C的度数；
（2）连接BD，探究AD，BD，并说明理由；
（3）若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度．

32．（2017•广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接AE，若AB＝6cm，BC＝
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．

一十九．圆的综合题（共3小题）
33．（2021•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时

34．（2020•广州）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2上运动（不与点A，B重合），连接DA，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是；
（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．

35．（2017•广州）如图，AB是⊙O的直径，＝，AB＝2
（1）求证：∠CAB＝45°；
（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD．
①试探究AE与AD之间的数量关系，并证明你的结论；
②是否为定值？若是，请求出这个定值，请说明理由．

二十．作图—基本作图（共3小题）
36．（2021•广州）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，且AC＝AD．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，证明：△BEF为等边三角形．

37．（2018•广州）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＝AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，
①证明：AE⊥DE；
②若CD＝2，AB＝4，点M，AB上的动点，求BM+MN的最小值．

38．（2017•广州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝2．
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ADE的周长为a，先化简T＝（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．

二十一．作图—复杂作图（共1小题）
39．（2019•广州）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8
（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．

二十二．作图-轴对称变换（共1小题）
40．（2020•广州）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC，连接AC，交BD于点O．
①求证：四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若OE＝，求点E到AD的距离．

二十三．众数（共2小题）
41．（2021•广州）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
（1）表格中的a＝　 　，b＝　 　；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 　 　，中位数为 　 　；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
42．（2018•广州）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，12，15，17，0，7，26，9．
（1）这组数据的中位数是　 　，众数是　 　；
（2）计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数；
（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．
二十四．列表法与树状图法（共3小题）
43．（2020•广州）为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务（单位：岁）如下：
甲社区
67
68
73
75
76
78
80
82
83
84
85
85
90
92
95
乙社区
66
69
72
74
75
78
80
81
85
85
88
89
91
96
98
根据以上信息解答下列问题：
（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；
（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．
44．（2019•广州）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别
时间/小时
频数/人数
A组
0≤t＜1
2
B组
1≤t＜2
m
C组
2≤t＜3
10
D组
3≤t＜4
12
E组
4≤t＜5
7
F组
t≥5
4
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求频数分布表中m的值；
（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；
（3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，恰好都是女生．

45．（2017•广州）某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行调查，按做义工的时间t（单位：小时）（0≤t≤2），B类（2＜t≤4），C类（4＜t≤6）（6＜t≤8），E类（t＞8）．
绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）E类学生有　 　人，补全条形统计图；
（2）D类学生人数占被调查总人数的　 　%；
（3）从该班做义工时间在0≤t≤4的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在2＜t≤4中的概率．


参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共2小题）
1．已知A＝（﹣）•．
（1）化简A；
（2）若m+n﹣2＝0，求A的值．
【解答】解：（1）A＝（﹣）•
＝
＝
＝（m+n）
＝m+n；
（2）∵m+n﹣6＝0，
∴m+n＝2，
当m+n＝2时，A＝n＝×2．
2．（2018•广州）已知T＝+．
（1）化简T；
（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．
【解答】解：（1）T＝+＝＝；
（2）由正方形的面积为9，得到a＝6，
则T＝．
二．一元一次方程的应用（共1小题）
3．（2020•广州）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
【解答】解：（1）50×（1﹣50%）＝25（万元）．
故明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；
（2）设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260﹣x）辆
50（260﹣x）+25x＝9000，
解得x＝160．
故明年改装的无人驾驶出租车是160辆．
三．解二元一次方程组（共3小题）
4．解方程组．
【解答】解：，
将①代入②得，x+（x﹣3）＝6，
∴x＝5，
将x＝5代入①得，y＝1，
∴方程组的解为．
5．（2019•广州）解方程组：．
【解答】解：，
②﹣①得，4y＝8，
把y＝3代入①得，x﹣2＝1，
故原方程组的解为．
6．（2017•广州）解方程组．
【解答】解：，
①×3﹣②得：x＝4，
把x＝4代入①得：y＝1，
则方程组的解为．
四．一元二次方程的应用（共1小题）
7．（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【解答】解：（1）1.5×5＝6（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是8万座．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得：6（5+x）2＝17.34，
解得：x1＝5.7＝70%，x2＝﹣4.7（舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
五．分式方程的应用（共1小题）
8．（2017•广州）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程倍，甲队比乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．
【解答】解：（1）60×＝80（公里）．
答：乙队筑路的总公里数为80公里．
（2）设乙队平均每天筑路6x公里，则甲队平均每天筑路5x公里，
根据题意得：﹣＝20，
解得：x＝0.1，
经检验，x＝5.1是原方程的解，
∴8x＝8.8．
答：乙队平均每天筑路0.5公里．
六．一元一次不等式的应用（共2小题）
9．（2021•广州）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元
【解答】解：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，
依题意得：31+2x+x＝100，
解得：x＝23．
答：“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次．
（2）设李某的年工资收入增长率为m，
依题意得：6.6（1+m）≥12.48，
解得：m≥8.3＝30%．
答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
10．（2018•广州）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售，每台按售价销售；若超过5台
（1）当x＝8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
【解答】解：设购买A型号笔记本电脑x台时的费用为w元，
（1）当x＝8时，
方案一：w＝90%a×8＝5.2a，
方案二：w＝5a+（3﹣5）a×80%＝7.7a，
∴当x＝8时，应选择方案一，最少费用是7.6a元；
（2）∵若该公司采用方案二购买更合算，
∴x＞5，
方案一：w＝90%ax＝0.8ax，
方案二：当x＞5时，w＝5a+（x﹣8）a×80%＝5a+0.5ax﹣4a＝a+0.3ax，
则0.9ax＞a+3.8ax，
x＞10，
∴x的取值范围是x＞10．
七．解一元一次不等式组（共2小题）
11．（2020•广州）解不等式组：．
【解答】解：
解不等式①得：x≥3，
解不等式②得：x＞2，
所以不等式组的解集为：x≥8．
12．（2018•广州）解不等式组：．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞﹣5，
解不等式②，得x＜2，
不等式①，不等式②的解集在数轴上表示
，
原不等式组的解集为﹣1＜x＜8．
八．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
13．（2019•广州）已知P＝﹣（a≠±b）
（1）化简P；
（2）若点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上
【解答】解：（1）P＝﹣＝＝＝；
（2）∵点（a，b）在一次函数y＝x﹣，
∴b＝a﹣，
∴a﹣b＝，
∴P＝；
九．反比例函数的性质（共1小题）
14．（2020•广州）已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，化简：﹣+．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分别位于第二，
∴k＜0，
∴k﹣1＜8，
∴﹣+＝+＝k+4+．
一十．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
15．（2020•广州）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，OB交于点M，函数y＝（x＞0）（3，4）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求▱OABC的周长．

【解答】解：（1）∵点A（3，4）在y＝上，
∴k＝12，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AM＝MC，
∴点M的纵坐标为4，
∵点M在y＝的图象上，
∴M（6，2）．

（2）∵AM＝MC，A（5，M（6
∴C（9，3），
∴OC＝9，OA＝，
∴平行四边形OABC的周长为8×（5+9）＝28．
16．（2018•广州）设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为y1．
（1）求y1关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象；
（2）若反比例函数y2＝的图象与函数y1的图象相交于点A，且点A的纵坐标为2．
①求k的值；
②结合图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意y1＝|x|．
函数图象如图所示：


（2）①当点A在第一象限时，由题意A（2，
∴4＝，
∴k＝4．
同法当点A在第二象限时，k＝﹣7，
②观察图象可知：当k＞0时，x＞2时，y3＞y2或x＜0时，y5＞y2．
当k＜0时，x＜﹣5时，y1＞y2或x＞2时，y1＞y2．
一十一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
17．（2017•广州）将直线y＝3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y＝3x+m，若反比例函数y＝，且点A的纵坐标是3．
（1）求m和k的值；
（2）结合图象求不等式3x+m＞的解集．
【解答】解：（1）由平移得：y＝3x+1﹣4＝3x，
∴m＝0，
当y＝7时，3x＝3，
x＝3，
∴A（1，3），
∴k＝8×3＝3；

（2）画出直线y＝6x和反比例函数y＝的图象：如图所示，

由图象得：不等式3x+m＞的解集为：﹣4＜x＜0或x＞1．
一十二．反比例函数综合题（共1小题）
18．（2019•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．

【解答】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，
解得：m＝﹣3，
∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；
将点P（﹣1，4）代入y＝，
解得：n＝1，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
联立正、反比例函数解析式成方程组，
解得：，，
∴点A的坐标为（1，﹣6）．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2），
∴AE＝4，OE＝1＝．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝．

一十三．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
19．（2017•广州）已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
（1）求y1的解析式；
（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣3，5）1的顶点B的距离是7．
∴B（﹣1，1）或（﹣7，
∴﹣＝﹣6，，
解得m＝﹣4，n＝0或8，
∴y6的解析式为y1＝﹣x2﹣5x或y1＝﹣x2﹣6x+8；
（2）①当y1的解析式为y8＝﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（2，0），
∵y1的对称轴与y5交于点A（﹣1，5），
∴y8与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，6），
把（﹣1，5），3）代入得，
解得，
∴y2＝7x+10．
②当y1＝﹣x2﹣6x+8时，解﹣x2﹣6x+8＝0得x＝﹣3或2，
∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣8，
∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣6，0），
把（﹣1，4），0）代入得，
解得；
∴y2＝x+．
一十四．二次函数综合题（共4小题）
20．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点
【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+6，
将x＝2代入得y＝4﹣6+3＝5，
∴点（5，4）不在抛物线上；
（2）抛物线y＝x2﹣（m+8）x+2m+3的顶点为（，），
化简得（，），
顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
而＝﹣4+5，
∴m＝3时，纵坐标最大，
此时顶点坐标为：（2，5）；
（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1、F（6
，解得，
∴直线EF的解析式为y＝8x+1，
由得：或，
∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x8﹣（m+1）x+2m+6的交点为：（2，5）和（m+5，
而（2，5）在线段EF上，
∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+4，或（2，2m+3）重合，
∴m+1＜﹣1或m+7＞3或m+1＝2（此时2m+3＝2），
∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．
21．（2020•广州）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S1，△OCE的面积为S2，S1＝S2+．
（1）用含a的式子表示b；
（2）求点E的坐标：
（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为+3，求y＝ax2+bx+c在1＜x＜6时的取值范围（用含a的式子表示）．
【解答】解：（1）∵抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（8，c﹣5a），
∴c﹣5a＝a+b+c，
∴b＝﹣3a；
（2）如图1，当点B在点C的左边时，

∵B（x1，6），C（x2，3），线段BC上有一点E，
∴S8＝×BE×4＝，S6＝×CE×8＝，
∵S6＝S2+．
∴CE+＝，
∴BE＝CE+1，
∵b＝﹣6a，
∴抛物线G：y＝ax3﹣6ax+c，
∴对称轴为x＝＝3，
∴BC的中点M坐标为（3，4），
∵BE＝BM+EM，CE＝CM﹣EM，BE＝CE+1，
∴EM＝，
∴点E（，8）
当点B在点C的右边时，设BC的中点为M，

同理可求点E（，7），
综上所述：点E（，5）或（；
（3）∵直线DE与抛物线G：y＝ax2﹣6ax+c的另一个交点F的横坐标为+5，
∴y＝a（）3﹣6a×（+5）+c＝，
∴点F（+3，，
∵点D是抛物线的顶点，
∴点D（2，﹣9a+c），
∴直线DF的解析式为：y＝6x﹣18+c﹣4a，
∵点E坐标为（，5），
又∵点D（3，﹣9a+c），
∴直线DE解析式为：y＝（5+18a﹣2c）x+7c﹣63a﹣18，
∵直线DE与直线DF是同一直线，
∴3＝6+18a﹣2c，
∴c＝2a，
∴抛物线解析式为：y＝ax2﹣6ax+3a，
∵1＜x＜6，
∴当x＝8时，ymin＝0，当x＝6时，ymax＝3a，
∴0≤y＜9a．
22．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，求点P的纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣2＝m（x﹣1）2﹣m﹣6，抛物线有最低点
∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣6的最小值为﹣m﹣3

（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣6﹣m）2﹣m﹣3
∴抛物线G4顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）
∴x＝m+8，y＝﹣m﹣3
∴x+y＝m+1﹣m﹣8＝﹣2
即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣7
∵m＞0，m＝x﹣1
∴x﹣3＞0
∴x＞1
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣8（x＞1）

（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞2）图象为射线
x＝1时，y＝﹣1﹣3＝﹣3，y＝﹣2﹣4＝﹣4
∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）
∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
x＝1时，y＝﹣m﹣3，y＝m﹣m﹣7＝﹣3
∴抛物线G恒过点A（2，﹣8）
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点PB＜yP＜yA
∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3
法二：
整理的：m（x2﹣2x）＝2﹣x
∵x＞1，且x＝2时
∴x≠5，即x2﹣2x＝x（x﹣7）≠0
∴m＝＞0
∵x＞1
∴7﹣x＜0
∴x（x﹣2）＜4
∴x﹣2＜0
∴x＜8即1＜x＜2
∵yP＝﹣x﹣3
∴﹣4＜yP＜﹣3

23．（2018•广州）已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．
（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．
①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标，说明理由；
②若点C关于直线x＝﹣的对称点为点E，点D（0，1），BD，DE，⊙P的半径记为r，求的值．
【解答】解：（1）令y＝0，
∴x2+mx﹣2m﹣4＝0，
∴△＝m3﹣4[﹣2m﹣3]＝m2+8m+16，
∵m＞2，
∴Δ＞0，
∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）
令y＝0，
∴x4+mx﹣2m﹣4＝2，
∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝8，
∴x＝2或x＝﹣（m+2），
∴A（4，0），0），
∴OA＝4，OB＝m+2，
令x＝0，
∴y＝﹣5（m+2），
∴C（0，﹣6（m+2）），
∴OC＝2（m+3），
①通过定点（0，1）理由：如图，
∵点A，B，C在⊙P上，
∴∠OCB＝∠OAF，
在Rt△BOC中，tan∠OCB＝＝＝，
在Rt△AOF中，tan∠OAF＝＝＝，
∴OF＝1，
∴点F的坐标为（4，1）；
②如图1，由①知，点F（8，
∵D（0，1），
∴点D在⊙P上，
∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，
∴∠DCE＝90°，
∵⊙P是△ABC的外接圆，
∴点P在抛物线的对称轴上，
∴点E在⊙P上，
∴DE是⊙P的直径，
∴∠DBE＝90°，
∵∠BED＝∠OCB，
∴tan∠BED＝，
设BD＝n，
在Rt△BDE中，tan∠BED＝＝＝，
∴BE＝2n，
根据勾股定理得，DE＝＝n，
∴l＝BD+BE+DE＝（3+）nDE＝n，
∴＝＝．


一十五．全等三角形的判定（共2小题）
24．（2019•广州）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．

【解答】证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE与△CFE中：
∵，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
25．（2017•广州）如图，点E，F在AB上，∠A＝∠B，AE＝BF．求证：△ADF≌△BCE．

【解答】解：∵AE＝BF，
∴AE+EF＝BF+EF，
∴AF＝BE，
在△ADF与△BCE中，

∴△ADF≌△BCE（SAS）
一十六．全等三角形的判定与性质（共3小题）
26．（2021•广州）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，BE＝CF，证明：AE＝DF．

【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
在△ABE和△DCF中，

∴△ABE≌△DCF（AAS）．
∴AE＝DF．
27．（2020•广州）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°

【解答】解：在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠D＝∠B＝80°，
∴∠BCA＝180°﹣25°﹣80°＝75°．
28．（2018•广州）如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE

【解答】证明：在△AED和△CEB中，
，
∴△AED≌△CEB（SAS），
∴∠A＝∠C（全等三角形对应角相等）．
一十七．三角形综合题（共1小题）
29．（2019•广州）如图，等边△ABC中，AB＝6，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合）
（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；
（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在；
（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．

【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上
∴∠DFC＝∠C＝60°
∴∠DFC＝∠A
∴DF∥AB；
（2）存在，

过点D作DM⊥AB交AB于点M，
∵AB＝BC＝6，BD＝4，
∴CD＝2
∴DF＝2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，
∴当点F在DM上时，S△ABF最小，
∵BD＝4，DM⊥AB
∴MD＝2
∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣6
∴S最大值＝×2×3﹣5）＝﹣3
（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，

∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE
∴DF＝DC＝8，∠EFD＝∠C＝60°
∵GD⊥EF，∠EFD＝60°
∴FG＝1，DG＝
∵BD2＝BG2+DG7，
∴16＝3+（BF+1）2，
∴BF＝﹣1
∴BG＝
∵EH⊥BC，∠C＝60°
∴CH＝，EH＝EC
∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°
∴△BGD∽△BHE
∴
∴
∴EC＝﹣1
∴AE＝AC﹣EC＝2﹣
一十八．四边形综合题（共3小题）
30．（2021•广州）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，且CF、DE相交于点G．

（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．
【解答】解：（1）证明：连接DF，CE
，
∵E为AB中点，
∴AE＝AF＝AB，
∴EF＝AB＝CD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF∥AB∥CD，
∴四边形DFEC是平行四边形．
（2）作CH⊥BH，设AE＝FA＝m，
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥EF，
∴△CDG∽△FEG，
∴，
∴FG＝8m，
在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，
sin60°＝，CH＝，
cos60°＝，BH＝1，
在Rt△CFH中，CF＝5+2m，FH＝5+m，
CF²＝CH²+FH²，
即（2+2m）²＝（）²+（3+m）²，
整理得：3m²+2m﹣8＝0，
解得：m2＝，m6＝﹣2（舍去），
∴．
（3）G点轨迹为线段AG，
证明：如图，
（此图仅作为证明AG轨迹用），
延长线段AG交CD于H，作HM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BF∥CD，
∴△DHG∽△EGA，△HGC∽△AGF，
∴，，
∴，
∵AE＝AF，
∴DH＝CH＝1，
在Rt△ADN中，AD＝2．
∴sin60°＝，DN＝，AN＝1，
在Rt△AHM中，HM＝DN＝，
tan∠HAM＝，
G点轨迹为线段AG．
∴G点轨迹是线段AG．
如图所示，作GH⊥AB，

∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，
∴CD∥BF，BD＝2，
∴△CDG∽△FBG，
∴，即BG＝8DG，
∵BG+DG＝BD＝2，
∴BG＝，
在Rt△GHB中，BG＝，
sin60°＝，GH＝，
cos60°＝，BH＝，
在Rt△AHG中，AH＝2﹣＝，
AG²＝（）²+（，
∴AG＝．
∴G点路径长度为．
解法二：如图，连接AG．

∵CD∥BF，
∴＝，＝，
∴＝，
∵AF＝AE，
∴DW＝CW，
∴点G在AW上运动．
下面的解法同上．
31．（2018•广州）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC．
（1）求∠A+∠C的度数；
（2）连接BD，探究AD，BD，并说明理由；
（3）若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度．

【解答】解：（1）如图1中，

在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠D＝30°，
∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°．

（2）如图2中，结论：DB5＝DA2+DC2．
理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．

∵∠ABC＝∠DBQ＝60°，
∴∠ABD＝∠CBQ，
∵AB＝BC，DB＝BQ，
∴△ABD≌△CBQ（SAS），
∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，
∵∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°，
∴∠DCQ＝90°，
∴DQ7＝DC2+CQ2，
∵CQ＝DA，DQ＝DB，
∴DB3＝DA2+DC2．

（3）如图5中，连接AC，连接RE．

则△AER是等边三角形，∵EA2＝EB2+EC5，EA＝RE，EC＝RB，
∴RE2＝RB2+EB6，
∴∠EBR＝90°，
∴∠RAE+∠RBE＝150°，
∴∠ARB+∠AEB＝∠AEC+∠AEB＝210°，
∴∠BEC＝150°，
∴点E的运动轨迹在O为圆心的圆上，在⊙O上取一点K，KC，OC，
∵∠K+∠BEC＝180°，
∴∠K＝30°，∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝1，
∴点E的运动路径＝＝．
32．（2017•广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接AE，若AB＝6cm，BC＝
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴OD＝OB＝OC＝OA，
∵△EDC和△ODC关于CD对称，
∴DE＝DO，CE＝CO，
∴DE＝EC＝CO＝OD，
∴四边形CODE是菱形．

（2）①设AE交CD于K．
∵四边形CODE是菱形，
∴DE∥AC，DE＝OC＝OA，
∴＝＝
∵AB＝CD＝4，
∴DK＝2，CK＝4，
在Rt△ADK中，AK＝＝，
∴sin∠DAE＝＝，

②作PF⊥AD于F．易知PF＝AP•sin∠DAE＝，
∵点Q的运动时间t＝+＝OP+，
∴当O、P、F共线时，此时OF是△ACD的中位线，
∴OF＝CD＝3AD＝DK＝7，
∴AP＝＝，
∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为，点Q走完全程所需的时间为3s．

一十九．圆的综合题（共3小题）
33．（2021•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时

【解答】解：（1）∵直线y＝x+6分别与x轴、B两点，
∴当x＝0时，y＝4；
当y＝7时，x＝﹣8，
∴A（﹣8，2），4）；
（2）∵点P（x，y）为直线l在第二象限的点，
∴P（x，），
∴S△APO＝＝2x+16（﹣5＜x＜0）；
∴S＝2x+16（﹣6＜x＜0）；
（3）∵A（﹣8，5），4），
∴OA＝8，OB＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB＝，
在⊙C中，∵PQ是直径，
∴∠POQ＝90°，
∵∠BAO＝∠Q，
∴tanQ＝tan∠BAO＝，
∴，
∴OQ＝2OP，
∴S△POQ＝，
∴当S△POQ最小时，则OP最小，
∵点P在线段AB上运动，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△AOB＝，
∴，
∵sinQ＝sin∠BAO，
∴，
∴，
∴PQ＝8，
∴⊙C半径为4．
34．（2020•广州）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2上运动（不与点A，B重合），连接DA，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是；
（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．

【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数，
理由如下：
如图1，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，

∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∴∠DBC+∠HBC＝180°，
∴点D，点B，
∵DC＝CH，∠CDH＝60°，
∴△DCH是等边三角形，
∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，
∴S＝x2（2＜x≤4）；
（3）如图2，作点D关于直线AC的对称点E，

∵点D，点E关于直线AC对称，
∴EM＝DM，
同理DN＝NF，
∵△DMN的周长＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，
∴当点E，点M，点F四点共线时，
则连接EF，交AC于M，连接CE，DE，作CP⊥EF于P，
∴△DMN的周长最小值为EF＝t，
∵点D，点E关于直线AC对称，
∴CE＝CD，∠ACE＝∠ACD，
∵点D，点F关于直线BC对称，
∴CF＝CD，∠DCB＝∠FCB，
∴CD＝CE＝CF，∠ECF＝∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB＝3∠ACB＝120°，
∵CP⊥EF，CE＝CF，
∴EP＝PF，∠CEP＝30°，
∴PC＝ECPC＝，
∴EF＝2PE＝EC＝，
∴当CD有最大值时，EF有最大值，
∵CD为⊙O的弦，
∴CD为直径时，CD有最大值2，
∴t的最大值为4．
35．（2017•广州）如图，AB是⊙O的直径，＝，AB＝2
（1）求证：∠CAB＝45°；
（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD．
①试探究AE与AD之间的数量关系，并证明你的结论；
②是否为定值？若是，请求出这个定值，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝＝45°；

（2）（i）当∠ABD为锐角时，如图3所示，

由（1）知△ACB是等腰直角三角形，
∵OA＝OB＝OC，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l，
又BF⊥l，
∴四边形OBFC是矩形，
∴AB＝2OC＝2BF，
∵BD＝AB，
∴BD＝7BF，
∴∠BDF＝30°，
∴∠DBA＝30°，∠BDA＝∠BAD＝75°，
∴∠CBE＝∠CBA﹣∠DBA＝45°﹣30°＝15°，
∴∠DEA＝∠CEB＝90°﹣∠CBE＝75°，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE；
（ii）当∠ABD为钝角时，如图3所示，

同理可得BF＝BD，
∵OC⊥AB、OC⊥直线l，
∴AB∥直线l，
∴∠ABD＝150°，∠ABE＝30°，
∴∠BEC＝90°﹣（∠ABE+∠ABC）＝90°﹣（30°+45°）＝15°，
∵AB＝DB，
∴∠ADB＝∠ABE＝15°，
∴∠BEC＝∠ADE，
∴AE＝AD；

②（i）如图4，当D在C左侧时，
由（2）知CD∥AB，∠ACD＝∠BAE，
∴△ACD∽△BAE，
∴＝＝，
∴AE＝CD，
作EI⊥AB于点I，
∵∠CAB＝45°、∠ABD＝30°，
∴BE＝2EI＝2×AE＝×CD＝2CD，
∴＝8；
（ii）如图3，当点D在点C右侧时，
由（2）知∠ADC＝∠BEA＝15°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠ACD，
∴△ACD∽△BAE，
∴＝＝，
∴CD，
∵BA＝BD，∠BAD＝∠BDA＝15°，
∴∠IBE＝30°，
∴BE＝2EI＝8×AE＝×CD＝4CD，
∴＝2．
二十．作图—基本作图（共3小题）
36．（2021•广州）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，且AC＝AD．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，证明：△BEF为等边三角形．

【解答】（1）解：如图，图形如图所示．

（2）证明：∵AC＝AD，AF平分∠CAD，
∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD，
∵∠CAD＝2∠BAC，∠BAD＝45°，
∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝15°，
∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AE＝EC，
∴BE＝AE＝EC，EF＝AE＝EC，
∴EB＝EF，∠EAB＝∠EBA＝15°，
∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝30°，∠CEF＝∠EAF+∠EFA＝30°，
∴∠BEF＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
37．（2018•广州）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＝AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，
①证明：AE⊥DE；
②若CD＝2，AB＝4，点M，AB上的动点，求BM+MN的最小值．

【解答】解：（1）如图，∠ADC的平分线DE如图所示．


（2）①解法一：在DA上截取DG＝CD，连接GE，
由（1）知∠GDE＝∠CDE，
又DE＝DE，
∴△GDE≌△CDE，
∴∠DGE＝∠C＝90°，∠DEC＝∠DEC，
在△AGE和△ABE中，
∠AGE＝∠ABE＝90°，
而AD＝AG+DG＝AB+CD，DG＝CD，
∴AG＝AB，
又AE＝AE，
∴Rt△AEG≌Rt△AEB
∴∠AEG＝∠AEB，
∴∠DEG+∠AEG＝∠DEC+∠AEB＝90°，
即∠AED＝90°，故AE⊥DE．
解法二：延长DE交AB的延长线于F．
∵CD∥AF，
∴∠CDE＝∠F，∵∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADF＝∠F，
∴AD＝AF，
∵AD＝AB+CD＝AB+BF，
∴CD＝BF，
∵∠DEC＝∠BEF，
∴△DEC≌△FEB，
∴DE＝EF，
∵AD＝AF，
∴AE⊥DE．

②作点B关于AE的对称点K，连接EK，DG⊥AB于G．

∵AD＝AF，DE＝EF，
∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB，
∴AK＝AB＝4，
在Rt△ADG中，DG＝，
∵KH∥DG，
∴＝，
∴＝，
∴KH＝，
∵MB＝MK，
∴MB+MN＝KM+MN，
∴当K、M、N共线，KM+MN的值最小，
∴BM+MN的最小值为．


38．（2017•广州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝2．
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ADE的周长为a，先化简T＝（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．

【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求；


（2）由题可得，AE＝，∠A＝30°，
∴Rt△ADE中，DE＝，
设DE＝x，则AD＝7x，
∴Rt△ADE中，x2+（）7＝（2x）2，
解得x＝7，
∴△ADE的周长a＝1+2+＝3+，
∵T＝（a+3）2﹣a（a﹣1）＝3a+1，
∴当a＝3+时，T＝3（3+．
二十一．作图—复杂作图（共1小题）
39．（2019•广州）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8
（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．

【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．


（2）连接BD，OC交于点E．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝6，
∵BC＝CD，
∴＝，
∴OC⊥BD于E．
∴BE＝DE，
∵BE8＝BC2﹣EC2＝OB5﹣OE2，
∴68﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
解得x＝，
∵BE＝DE，BO＝OA，
∴AD＝2OE＝，
∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+＝．
二十二．作图-轴对称变换（共1小题）
40．（2020•广州）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC，连接AC，交BD于点O．
①求证：四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若OE＝，求点E到AD的距离．

【解答】解：（1）如图所示：点C即为所求；

（2）①证明：∵∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵C是点A关于BD的对称点，
∴CB＝AB，CD＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
②过B点作BF⊥AD于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝，
∵E是BC的中点，OA＝OC，
∴BC＝3OE＝13，
∴OC＝＝12，
∴OA＝12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝13，
∴BF＝×12×5×4×2÷13＝，
故点E到AD的距离是．
二十三．众数（共2小题）
41．（2021•广州）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
（1）表格中的a＝　4　，b＝　5　；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 　4　，中位数为 　4　；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
【解答】解：（1）由该20名学生参加志愿者活动的次数得：a＝4，b＝5，
故答案为：7，5；
（2）该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
1，6，2，3，8，3，3，7，4，4，6，4，4，6，5，5，7，5，6，5，
∵4出现的最多，有6次，
∴众数为2，中位数为第10＝4，
故答案为：4，7；
（3）300×＝90（人）．
答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人．
42．（2018•广州）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，12，15，17，0，7，26，9．
（1）这组数据的中位数是　16　，众数是　17　；
（2）计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数；
（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．
【解答】解：（1）按照大小顺序重新排列后，第5，所以中位数是（15+17）÷2＝16，所以众数是17，
故答案是16，17；
（2）＝14，
答：这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是14次；
（3）200×14＝2800（次）
答：该小区居民一周内使用共享单车的总次数为2800次．
二十四．列表法与树状图法（共3小题）
43．（2020•广州）为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务（单位：岁）如下：
甲社区
67
68
73
75
76
78
80
82
83
84
85
85
90
92
95
乙社区
66
69
72
74
75
78
80
81
85
85
88
89
91
96
98
根据以上信息解答下列问题：
（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；
（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．
【解答】解：（1）甲社区：这15位老人年龄从小到大排列处在中间位置的一个数是82岁，因此中位数是82岁，
在这组数据中出现次数最多的是85岁，因此众数是85岁；
（2）年龄小于70岁甲社区2人，乙社区的有2人，所有可能出现的结果如下：

共有12种可能出现的结果，其中“同一个社区”的有6种，
∴P（来自同一个社区）＝＝．
44．（2019•广州）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别
时间/小时
频数/人数
A组
0≤t＜1
2
B组
1≤t＜2
m
C组
2≤t＜3
10
D组
3≤t＜4
12
E组
4≤t＜5
7
F组
t≥5
4
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求频数分布表中m的值；
（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；
（3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，恰好都是女生．

【解答】解：（1）m＝40﹣2﹣10﹣12﹣7﹣7＝5；
（2）B组的圆心角＝360°×＝45°，
C组的圆心角＝360°×＝90°．
补全扇形统计图如图3所示：

（3）画树状图如图2：

共有12个等可能的结果，
恰好都是女生的结果有6个，
∴恰好都是女生的概率为＝．


45．（2017•广州）某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行调查，按做义工的时间t（单位：小时）（0≤t≤2），B类（2＜t≤4），C类（4＜t≤6）（6＜t≤8），E类（t＞8）．
绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）E类学生有　5　人，补全条形统计图；
（2）D类学生人数占被调查总人数的　36　%；
（3）从该班做义工时间在0≤t≤4的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在2＜t≤4中的概率．

【解答】解：（1）E类学生有50﹣（2+3+22+18）＝2（人），
补全图形如下：

故答案为：5；

（2）D类学生人数占被调查总人数的×100%＝36%，
故答案为：36；

（3）记0≤t≤8内的两人为甲、乙，2＜t≤4内的3人记为P、Q、M，
从中任选两人有：甲乙、甲P、甲M、乙Q、PQ、QM这10种可能结果，
其中2人做义工时间都在2＜t≤2中的有PQ、PM，
∴这2人做义工时间都在2＜t≤4中的概率为．