2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第八章 §8.3　圆的方程

§8.3　圆的方程考试要求　1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．圆的定义和圆的方程2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|0.(　√　)教材改编题1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)A．(2,3)，3 B．(－2,3)，eq \r(3)C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq \r(13)答案　D解析　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝eq \r(13).2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案　D解析　因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．答案　(－eq \r(2)，eq \r(2))解析　∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)20)，由圆与直线4x－3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝eq \f(|4a－3b|,5)＝r＝1，化简得|4a－3b|＝5，①又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)，把b＝1代入①得4a－3＝5或4a－3＝－5，解得a＝2或a＝－eq \f(1,2)(舍去)，所以圆心坐标为(2,1)，则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.题型二　与圆有关的轨迹问题例2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解　(1)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．教师备选已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2,2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2　(1)当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是(　　)A．(x＋3)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1答案　C解析　设M(x，y)，P(x0，y0)，因为PQ的中点为M，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))又因为P在圆x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以M的轨迹方程即为(2x－3)2＋4y2＝1.(2)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0答案　D解析　由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，连接PC，CQ(图略)，因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.题型三　与圆有关的最值问题命题点1　利用几何性质求最值例3　已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求eq \f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值．解　(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2eq \r(2).又|QC|＝eq \r(2＋22＋7－32)＝4eq \r(2)，∴|MQ|max＝4eq \r(2)＋2eq \r(2)＝6eq \r(2)，|MQ|min＝4eq \r(2)－2eq \r(2)＝2eq \r(2).(2)可知eq \f(y－3,x＋2)表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直线MQ与圆C有交点，∴eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2)，可得2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3)，∴eq \f(y－3,x＋2)的最大值为2＋eq \r(3)，最小值为2－eq \r(3).(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，∴eq \f(|2－7＋b|,\r(12＋－12))＝2eq \r(2)，∴b＝9或b＝1.∴y－x的最大值为9，最小值为1.命题点2　利用函数求最值例4　(2022·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))的最大值为________．答案　12解析　由题意，得eq \o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq \o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以当y＝4时，eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.延伸探究　若将本题改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)”，则|eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))|的最大值为________．答案　10解析　由题意，知eq \o(PA,\s\up6(→))＝(－x，2－y)，eq \o(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，所以eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(4x2＋4y2)＝2eq \r(6x－5).由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值为2eq \r(6×5－5)＝10.教师备选1．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)A．7 B．6 C．5 D．4答案　B解析　∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m>0)，∴|OC|－r≤m＝|OP|≤|OC|＋r，又C(3,4)，r＝1，∴4≤|OP|≤6，即4≤m≤6.2．若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)A．2 B．2eq \r(2) C．4eq \r(2) D．4答案　B解析　由已知得线段AB为圆的直径．所以|PA|2＋|PB|2＝4，由基本不等式得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PA|＋|PB|,2)))2≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝2，所以|PA|＋|PB|≤2eq \r(2)，当且仅当|PA|＝|PB|＝eq \r(2)时，等号成立．思维升华　与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．跟踪训练3　(1)已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－eq \r(7))2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为(　　)A．9 B．14 C．16 D．26答案　D解析　设O为坐标原点，P(x，y)，则|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8.圆C的圆心为C(3，eq \r(7))，半径为r＝1，OC＝4，所以|PO|2的最小值为(OC－r)2＝(4－1)2＝9，所以|AP|2＋|BP|2的最小值为26.(2)已知x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为(　　)A．2 B.eq \f(17,4) C.eq \f(29,5) D.eq \f(13\r(13),4)答案　B解析　由x2＋y2－4x－2y－4＝0得(x－2)2＋(y－1)2＝9.eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)＝2＋3×eq \f(y－1,x＋3)＝2＋3kPA，其中A(－3,1)为定点，点P(x，y)为圆上一点．设过定点A的直线l：y－1＝k(x＋3)与圆相切，则eq \f(|5k|,\r(1＋k2))＝3，解得k＝±eq \f(3,4)，所以－eq \f(3,4)≤kPA≤eq \f(3,4)，所以eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为2＋3×eq \f(3,4)＝eq \f(17,4).课时精练1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心坐标和半径分别为(　　)A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16答案　C解析　将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径为4.2．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1答案　A解析　已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.3．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0答案　D解析　设圆心为(a，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝eq \f(|3a＋4|,\r(32＋42))＝eq \f(3a＋4,5)＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0，故选D.4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1答案　A解析　设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(4＋x0,2)，,y＝\f(－2＋y0,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2.))因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.5．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是(　　)A．圆M的圆心坐标为(1,3)B．圆M的半径为eq \r(5)C．圆M关于直线x＋y＝0对称D．点(2,3)在圆M内答案　ABD解析　设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋4－D＋2E＋F＝0，,4＋1＋2D＋E＋F＝0，,9＋16＋3D＋4E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－6，,F＝5.))所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1,3)，圆M的半径为eq \r(5)，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1,3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝10)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)