2022年中考数学考点讲练 考点17 特殊的平行四边形

考点17 特殊的平行四边形

一、矩形的性质与判定
1．矩形的性质：
（1）四个角都是直角；
（2）对角线相等且互相平分；
（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）

2．矩形的判定：
（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；
（2）有三个角是直角；
（3）对角线相等的平行四边形．
二、菱形的性质与判定
1．菱形的性质：
（1）四边相等；
（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；
（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．
2．菱形的判定：
（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形；
（3）四条边都相等的四边形．
三、正方形的性质与判定
1．正方形的性质：
（1）四条边都相等，四个角都是直角；
（2）对角线相等且互相垂直平分；
（3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．
2．正方形的判定：
（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；
（2）一组邻边相等的矩形；
（3）一个角是直角的菱形；
（4）对角线相等且互相垂直、平分．
四、联系

（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；
（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角．
五、中点四边形
（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.

考向一 矩形的性质与判定
1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．
2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．

典例1 （2021·陕西初三期中）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠BAO=55°，则∠AOD等于

A．105° B．110° C．115° D．120°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB．∴∠BAO=∠ABO=55°．
∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．故选B．
典例2 （2021·阜阳市第九中学初二期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，点A表示的数是–1，则对角线AC、BD的交点表示的数

A．5.5 B．5 C．6 D．6.5
【答案】A
【解析】连接BD交AC于E，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，∴
∴∴AE=6.5，
∵点A表示的数是−1，∴OA=1，∴OE=AE−OA=5.5，∴点E表示的数是5.5，
即对角线AC、BD的交点表示的数是5.5；故选A.

1．（2021·陕西师大附中初三月考）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是

A．AB=BC B．AC垂直BD C．∠A=∠C D．AC=BD
2．（2021·云南初二期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点，并且，点是边上一动点，延长交于点，当点从点向点移动过程中（点与点，不重合），则四边形的变化是

A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
考向二 菱形的性质与判定
1．菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等；
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
2．菱形的判定：
四条边都相等的四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

典例3　菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．一组邻边相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A，B，D两者均具有，而C只有菱形具有平行四边形不具有，故选C．
【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
典例4　如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件_____________，使四边形ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）

【答案】BO=DO（答案不唯一）
【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）．故答案为：BO=DO（答案不唯一）．

3．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为
A．45°，135° B．60°，120°
C．90°，90° D．30°，150°
4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．






考向三 正方形的性质与判定
1．正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质．
2．正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形．

典例5　（2021·宁夏初二期中）面积为9㎝2的正方形以对角线为边长的正方形面积为
A．18㎝2 B．20㎝2
C．24㎝2 D．28㎝2
【答案】A
【解析】∵正方形的面积为9cm2，∴边长为3cm，∴根据勾股定理得对角线长=cm，∴以为边长的正方形的面积=cm2.故选A．
典例6　（2021·重庆初三期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，过点C作CF⊥AE于F，DE交CF于G，则四边形ADGF的周长是

A．8 B．4+4 C．8+ D．8
【答案】D
【解析】如图，连接AG，

∵∠B=90°，AB=BC=4，∴∠CAB=∠ACB=45°，AC=4，∵把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，∴AD=AB=4，∠EAD=∠CAB=45°，∴∠FAB=90°，CD=AC﹣AD=4﹣4，
∵∠B=90°=∠FAB，CF⊥AE，∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=4，
∴四边形ABCF是正方形，∴AF=CF=AB=4=AD，∠AFC=∠FCB=90°，
∴∠GCD=45°，且∠GDC=90°，∴∠GCD=∠CGD=45°，∴CD=GD=4﹣4，
∵AF=AD，AG=AG，∴Rt△AGF≌Rt△AGD（HL），∴FG=GD=4﹣4，
∴四边形ADGF的周长=AF+AD+FG+GD=4+4+4﹣4+4﹣4=8，故选D．

5．（2021·山东初三期中）如图，在正方形ABCD内一点E连接BE、CE，过C作CF⊥CE与BE延长线交于点F，连接DF、DE．CE=CF=1，DE=，下列结论中：①△CBE≌△CDF；②BF⊥DF；③点D到CF的距离为2；④S四边形DECF=+1．其中正确结论的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2021·陕西初三期末）如图，在正方形ABCD中，，AE、BF交于点G，下列结论中错误的是

A． B．
C． D．
考向四 中点四边形
1．中点四边形一定是平行四边形；
2．中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．

典例7　如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是

A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
【答案】D
【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；
B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；
C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，故C正确；

D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，故D错误，故选D．


7．顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．梯形
8．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是

A．S1=3S2 B．2S1=3S2
C．S1=2S2 D．3S1=4S2


1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=

A．5 B．4 C．3.5 D．3
2．（2018·贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AC=16，则图中长度为8的线段有

A．2条 B．4条 C．5条 D．6条
3．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为

A． B． C． D．15
4．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为

A．cm B．cm C．cm D．cm
5．（2018·贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是

A．108° B．72° C．90° D．100°
6．（2018·贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=CF．连接AE，BF，AE与BF交于点G．下列结论错误的是

A．AE=BF B．∠DAE=∠BFC
C．∠AEB+∠BFC=90° D．AE⊥BF
7．如图，矩形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE=65°，则∠AEB=____________.

8．（2018·陕西初三期末）如图，P为正方形ABCD内一点，且BP=2，PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′，则AP=_______．

9．如图，在ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）求BD的长．





10．（2021·内蒙古初三期末）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．



11．（2021·呼和浩特市第十三中学初二期中）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由．









1．（2021·重庆）下列命题正确的是
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
2．（2021·天津）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的周长等于

A． B． C． D．20
3．（2021·安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是

A．0 B．4 C．6 D．8
4．（2021•湖北孝感）如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为

A． B．
C． D．
5．（2021·天津）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________．

6．（2021·浙江杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为点，D点的对称点为点，若，的面积为4，的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__________.

7．（2021•湖北十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为__________．

8．（2021•湖南长沙）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE=AF；
（2）若AB=4，DE=1，求AG的长．





9．（2021•湖南怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形．





10．（2021•湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为AD．CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．





11．（2021•福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF=BE．求证：AF=CE．





12．（2021•江西）如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD．求证：四边形ABCD是矩形．





13．（2021•浙江宁波•10分）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG=DE；
（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长．


变式拓展

1．【答案】D
【解析】结合选项可知，添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D．
2．【答案】A
【解析】点E从D点向A点移动过程中，当∠EOD