2022维吾尔自治区高三年级第二次诊断性测试数学（理）含答案

2022年高三年级诊断性自测（第二次）

理科数学（问卷）

（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）

注意事项：

1．本卷分为问卷和答卷两部分，答案务必书写在答卷的指定位置上．

2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号、科别等信息填写在答卷的指定区域内．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则的真子集共有（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 7个

【1题答案】

【答案】C

2. 已知实数，满足约束条件，设，则最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 0

【2题答案】

【答案】B

3. 中国气象局规定：一天里的降雨的深度当作日降水量，通常用毫米表示降水量的单位，的降水量是指单位面积上水深.如图，这是一个雨量筒，其下部是直径为､高为的圆柱，上部承水口的直径为.某同学将该雨量筒放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中，后，测得容器中水深，则该同学测得的降水量约为（    ）

A.  B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】C

4. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（    ）

A.  B.

C.  D.

【4题答案】

【答案】B

5. 若向量，满足，，．则向量与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】B

6. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是古老的传统民间艺术之一．如图是一个窗花的图案，以正方形各边为直径作半圆，阴影部分为其公共部分．现从该正方形中任取一点，则此点取自于阴影部分的概率为（    ）

A.  B.

C.  D.

【6题答案】

【答案】D

7. 在三棱锥P—ABC中， PA⊥平面ABC，BA=BC，∠PBC=90°，PA=2，若三棱锥P—ABC体积为6，则三棱锥P—ABC外接球的表面积为（    ）

A. 18π B. 24π C. 36π D. 40π

【7题答案】

【答案】D

8. 如图．已知椭圆，双曲线，若以椭圆的长轴为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且椭圆与该渐近线的两交点将线段三等分，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】A

9. 若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（   ）

A.  B.

C.  D.

【9题答案】

【答案】D

10. 设函数，其中，，若，，则在上的单调减区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】C

11. 如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（    ）

A. 在正方体中， 存在某条棱与平面平行

B. 在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行

C. 在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行

D. 平面截正方体所得的截面为五边形

【11题答案】

【答案】D

12. 已知抛物线，圆．若点，分别在，上运动，且设点，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【12题答案】

【答案】A

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 为了解某校1200名高一学生的身高状况，按性别比例采用分层抽样的方法从中抽取50人进行调查，若样本中男生比女生多10人，则该校高一学生中女生的人数为___________.

【13题答案】

【答案】480

14. 已知，，则__________．

【14题答案】

【答案】##

15. 已知函数，则不等式解集为________．

【15题答案】

【答案】

16. 已知数列的前项和为，且数列是首项为1，公差为2的等差数列，若，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为________．

【16题答案】

【答案】5

三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤．

17. 如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AC=，AD=1，∠CAD=30°．

（1）求∠ACD；

（2）若△ABC为锐角三角形，求BC的取值范围．

【17题答案】

【答案】（1）   

（2）

19. 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【19题答案】

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

21. 自年秋季学期开始中小学全面落实“双减”工作，为使广大教育工作者充分认识“双减”工作的重大意义，某地区教育行政部门举办了一次线上答卷活动，从中抽取了名教育工作者的答卷，得分情况统计如下（满分：分）．

名教育工作者答卷得分频数分布表

（1）若这名教育工作者答卷得分服从正态分布（其中用样本数据的均值表示，用样本数据的方差表示），求；

（2）若以这名教育工作者答卷得分估计全区教育工作者的答卷得分，则从全区所有教育工作者中任意选取人的答卷得分，记为这人的答卷得分不低于分且低于分的人数，试求的分布列和数学期望和方差．

参考数据：，，，．

【21题答案】

【答案】（1）   

（2）分布列见解析，，

23. 已知椭圆的离心率为，短轴长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的动直线与椭圆交于、两点（点在轴上方），、为椭圆的左、右顶点，直线，与轴分别点、，为坐标原点，求的值．

【23题答案】

【答案】（1）；   

（2）．

25. 已知函数．

（1）求的图象在点处的切线方程，并证明的图象除点以外的所有点都在这条切线上方；

（2）证明：对于一切，均有．

【25题答案】

【答案】（1），证明见解析   

（2）证明见解析

选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

选修4-4：坐标系与参数方程

27. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；

（2）若直线和曲线交于，两点，且，求实数的值．

【27题答案】

【答案】（1）；；   

（2）.

选修4-5：不等式选讲

29. 已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若存在，使得成立，求的取值范围．

【29题答案】

【答案】（1）；   

（2）．