高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）精练，共7页。

1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
解析：选D 经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
2．某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下( )
A．0.015克 B．(1－0.5%)3克
C．0.925克 D.eq \r(100,0.125) 克
解析：选D 设每年减少的比例为x，因此1克这种放射性元素，经过100年后剩余1×(1－x)100克，依题意得(1－x)100＝0.5，所以x＝1－eq \r(100,0.5)，3年后剩余为(1－x)3，将x的值代入，得结果为eq \r(100,0.125)，故选D.
3．某商场2020年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示，
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A．y＝lg2t B．y＝2t
C．y＝t2 D．y＝2t
解析：选B 作出散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；把t＝1，2，3，4代入B，C选项的函数中，函数y＝2t的函数值最接近表格中的对应值，故选B.
4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是( )
A．浮萍每月的增长率为1
B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍蔓延到2 m2，3m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
解析：选ABD 图象过(1，2)点，∴2＝a1，即a＝2，
∴y＝2t.
∵eq \f(2t＋1－2t,2t)＝eq \f(2t（2－1）,2t)＝1，
∴每月的增长率为1，A正确．
当t＝5时，y＝25＝32＞30，∴B正确．
∵第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正确．
∵2＝2eq \a\vs4\al(t1)，3＝2eq \a\vs4\al(t2)，6＝2eq \a\vs4\al(t3)，
∴t1＝lg22，t2＝lg23，t3＝lg26，
∴t1＋t2＝lg22＋lg23＝lg26＝t3，D正确．故选A、B、D.
5．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lgeq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.eq \f(7,6)倍 B．10倍
C．10eq \s\up6(\f(7,6))倍 D．lneq \f(7,6)倍
解析：选B 依题意可知，η1＝10·lgeq \f(I1,I0)，η2＝10·lgeq \f(I2,I0)，所以η1－η2＝10·lgeq \f(I1,I0)－10·lgeq \f(I2,I0)，则1＝lg I1－lg I2，所以eq \f(I1,I2)＝10.故选B.
6．(2021·河北石家庄二中高一月考)如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．
由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案，根据图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义，用文字说明图②方案是________，图③方案是________．
解析：由题图①知，点A表示无人乘车时，收支差额为－20元，即运行成本为20元；点B表示10人乘车，收支平衡，收支差额为0.线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利．题图②与题图①相比，一次函数的一次项系数不变，图象与y轴负半轴的交点上移，故题图②表示降低成本，票价不变，题图③与题图①相比，一次项系数增大，图象与y轴负半轴的交点不变，故题图③表示增加票价，故答案为降低成本，票价不变；增加票价．
答案：降低成本，票价不变 增加票价
7．某学校开展研究学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
现有如下5个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝lg2x；⑤y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋1.74.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．
解析：根据题中数据画出散点图如图所示．
由图可知上述散点大体分布在函数y＝lg2x的图象的附近，故函数y＝lg2x可以近似地反映这些数据的规律．
答案：④
8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg，火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系式是v＝2 000·lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))).当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
解析：当v＝12 000 m/s时，2 000·lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝12 000，所以lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝6，所以eq \f(M,m)＝e6－1.
答案：e6－1
9．汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车所行距离为S1，刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关，S1＝10ln(t＋1)，S2与车速v有关，S2＝bv2.某人刹车反应时间为eq \r(e)－1秒，当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100 km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米？(精确到米)
解：因为刹车反应时间为eq \r(e)－1秒，
所以S1＝10ln(eq \r(e)－1＋1)＝10lneq \r(e)＝5，
当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2＝b·(60)2＝20，
解得b＝eq \f(1,180)，即S2＝eq \f(1,180)v2.
若v＝100，则S2＝eq \f(1,180)×1002≈56，S1＝5，
所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61(米)．
10．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(t,h))，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃，需要多长时间(结果精确到0.1)?
解：由题意知40－24＝(88－24)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(20,h))，
即eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(20,h)).
解得h＝10，故T－24＝(88－24)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(t,10)).
当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(t,10))，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(t,10))＝eq \f(11,64).
两边取对数，求得t≈25.4.
因此，约需要25.4 min咖啡可降温到35 ℃.
[B级 综合运用]
11．(2021·广东惠州高一月考)有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨．有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知，如果不采取有效措施，则从哪一年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( )
A．2018 B．2019
C．2020 D．2021
解析：选D 设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份数．由题意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(n)，令400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(n)>4 000，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(n)>10，两边取对数可得n(lg 3－lg 2)>1，∴n(0.477 1－0.301 0)>1，得0.176 1n>1，解得n>5.679，∴从2015＋6＝2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨．故选D.
12．(2021·北京人大附中高一质检)如图是吴老师散步时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是( )
解析：选D 根据题中图象可知在第一段时间吴老师离家的距离随着时间的增加而增加，第二段时间吴老师离家的距离随着时间的增加不变，第三段时间吴老师离家的距离随着时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项可知，只有选项D正确，故选D.
13．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
解析：由题意知，当t＝eq \f(1,2)时，y＝2，即2＝eeq \f(1,2)k，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
答案：2ln 2 1 024
14．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D(分贝)由公式D＝alg I＋b(a，b为非零常数)给出，其中I(W/cm2)为声音能量．
(1)当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；
(2)当人们低声说话，声音能量为10－13 W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．
解：(1)∵D1＋2D2＝3D3，
∴alg I1＋b＋2(alg I2＋b)＝3(alg I3＋b)，
∴lg I1＋2lg I2＝3lg I3，
∴I1·Ieq \\al(2,2)＝Ieq \\al(3,3).
(2)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－13a＋b＝30，,－12a＋b＝40，))
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝10，,b＝160，))∴100<10lg I＋160<120，
∴10－6故当声音能量I∈(10－6，10－4)时，人会暂时性失聪．
[C级 拓展探究]
15．中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%，居全球首位．中国又属赣州钨矿资源最为丰富，其素有“世界钨都”之称．某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x－t).测得数据如表(部分).
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数f(x)的最大值．
解：(1)当0≤x<6时，由题意，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题中表格数据可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝c＝0，,f（1）＝a＋b＋c＝\f(7,4)，,f（2）＝4a＋2b＋c＝3，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,4) ，,b＝2，,c＝0.))
所以当0≤x<6时，f(x)＝－eq \f(1,4)x2＋2x.
当x≥6时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x－t)，
由题中表格数据可得，f(9)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(9－t)＝eq \f(1,9)，解得t＝7，
所以当x≥6时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x－7).
综上，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)x2＋2x，0≤x<6，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(x－7)，x≥6.))
(2)当0≤x<6时，f(x)＝－eq \f(1,4)x2＋2x＝－eq \f(1,4)(x－4)2＋4，
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，为4；
当x≥6时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x－7)单调递减，
所以f(x)的最大值为f(6)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(6－7)＝3，
因为4>3，
所以函数f(x)的最大值为4.
时间t
1
2
3
4
利润y(千元)
2
3.98
8.01
15.99
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
x(单位：克)
0
1
2
9
…
y
0
eq \f(7,4)
3
eq \f(1,9)
…