七年级下册四边形的存在性（无答案）练习题

这是一份七年级下册四边形的存在性（无答案）练习题，共11页。
y
B
D
A
O(C)x
例题示范
例 1：如图 1，以一块等腰直角三角板的两条直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，已知 OA=OB=3，过点 A，B 的抛物线对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴的另一交点为 D．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）如图 2，如果将三角板的直角顶点 C 在 x 轴上滑动，一直角边所在直线过点 B，另一条直角边所在直线与抛物线的交点为 E，其横坐标为 4，试求点 C 的坐标．
（3）如图 3，点 P 为抛物线对称轴上一动点，M 为 x 轴上方
抛物线上一点，N 为平面内一动点，是否存在点 M，使得以 A，图1
P，M，N 为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点 M 的坐
y
B
D
C
O
A
x
E
y
B
D
A
Ox
标；若不存在，说明理由．
图2
y
B
D
A
Ox
y
B
D
A
Ox
图3
第一问：研究背景图形
【思路分析】
将已知线段长转化为坐标，可知 A，B 两点坐标；再结合抛物线对称性，利用对称轴直线 x=1，可以求得 D 点坐标．由三点坐标求出抛物线解析式．
【过程示范】
解：（1）∵OA=OB=3
∴A(3，0)，B(0，3)
又∵对称轴为直线 x=1
∴D(-1，0)
可设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x-3)
将 B(0，3)代入，可得 a=-1
∴y=-x2+2x+3
第二问：整合信息、分析特征、设计方案
【思路分析】
y
B
D
F
COAx
E
要求 C 点坐标，已知其在 x 轴上，纵坐标为 0，求出横坐标即可．已知点 B(0，3)，点 E 坐标（由横坐标可得），点 C 为直角顶点；考虑直角特征在坐标系下的用法．过点 E 作 x 轴垂线，构造三等角，利用△BCO 与△CEF 的相似关系，建等式求解．
【过程示范】
（2）如图，过点 E 作 EF  x 轴于点 F 将 x=4 代入 y=-x2+2x+3，可得 E(4，-5) 设点 C 的横坐标为 m，则 C(m，0)
y
B
D
F
C
OAx
E
①当点 C 在 y 轴的左侧时，m＜0，如图OC=-m，CF=4-m
由△BOC∽△CFE，可得
3 m
4  m5
19
19
解得， m1  2 ， m2  2 
∵m＜0
19
∴C1( 2 ，0)
②当点 C 在 y 轴的右侧时，如图
由题意，点 C 在点 F 的右侧，所以 m＞4 OC=m，CF=m-4
由△BOC∽△CFE，可得3 m

m  45
19
解得， m1  2 ， m2  2  19
∵m＞0
19
∴C2( 2 ，0)
第三问：正方形的存在性
【思路分析】
正方形存在性问题往往转化成等腰直角三角形存在性来研究，当等腰直角三角形确定后，将等腰直角三角形沿底边翻折即可得到正方形以及第四个顶点的位置．
要使以 A，P，M，N 为顶点的四边形为正方形，求 M 点坐标． 先分析定点、动点，研究不变特征：
定点：A
动点：P（抛物线对称轴上一动点），M（x 轴上方抛物线上一动点），N 为平面内一动点
注意到 A，P，M 三点相关的信息较多，所以先考虑△APM 是等腰直角三角形．
调用等腰直角三角形处理套路来确定 A，P，M 的位置，即可求出点 M 的坐标．
【过程示范】
（3）存在
y
B
M
D
G
A
O
P
F
x
y
B M
D
G
A
F Ox
P
①若以 AP，AM 为正方形的两边，则∠PAM=90°且 PA=AM：
过点 M 作 MF⊥x 轴于点 F，则△MFA≌△AGP
∴MF=AG=2
∴-x2+2x+3=2
2
解得，x=1
2
2
∴M1(1，2)，M2(1，2)
②若以 MP，MA 为正方形的两边，则∠PMA=90°且 MP=MA： 过点 M 作 MF⊥x 轴于点 F，MH 垂直对称轴于点 H，
则△MFA≌△MHP
∴MF=MH，AF=HP
y
B
H P
M
DA
OGFx
当 M 在对称轴右侧时，
设 MH=t，则 AF=2-t；
∴M(1+t，t)
∴-(1+t)2+2(1+t)+3=t
解得，t1= 1
2
17 ，t2= 1
2
17 （舍去）
1 17
，
∴M3( 1 17)
22
y
P
B
M
H
D
A
F
O
G
x
当 M 在对称轴左侧时，
同理可得，M4( 3  17)
1 17
，
22
y
B
N
M
P
D
A
OGx
③若以 PM，PA 为正方形的两边，则∠MPA=90°且 PM=PA：
过点 M 作 MN 垂直对称轴于点 N，则△AGP≌△PNM，
设 PG=MN=n，则 M(n+1，n+2)
∴-(n+1)2+2(n+1)+3=n+2
解得，n=1 或 n=-2（舍去） 可得 M5(2，3)．
2
2
综上，M 点坐标可以为 M1(1，2)，M2(1，2)，
1 17
，
M3( 1 17
22
)，M4( 3  17
1 17
，
22
)，M5(2，3)．
巩固练习
如图，抛物线 y=ax2+bx-4 与 x 轴交于 A(-4，0)，B(3，0)两点， 与 y 轴交于点 C．
（1）抛物线的解析式为 ．
（2）点 P 是抛物线上第三象限内的一动点，当四边形 ABCP
的面积最大时，点 P 的坐标为 ．
（3）点 M 在抛物线对称轴上，点 N 是平面内一点，当四边形 MNBC 是菱形时，点 M 的坐标是 ．
y
A
O
Bx
C
y
A
O
Bx
C
y
A
O
Bx
C
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A，
B，C 三点，已知点 A(-3，0)，B(0，3)，C(1，0)．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点（不与点 A，B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 F，交直线 AB 于点 E，作 PD⊥AB 于点 D．
①动点 P 在什么位置时，△PDE 的周长最大？求出此时点 P
的坐标．
②连接 PA，以 AP 为边作图示一侧的正方形 APMN，随着点
y
B
A
C
Ox
y
B
P
M
D
A
E
F
C
N
O
x
P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点 M 或 N 恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的点 P 的坐标．（结果保留根号）
如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2-2x+c 的图象与
x 轴交于 A，B 两点，点 A 在原点的左侧，点 B 的坐标为(3，
0)，与 y 轴交于点 C(0，-3)，P 是抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当点 P 在直线 BC 下方的抛物线上运动时，求四边形
ABPC 的最大面积．
（3）若点 D 是 y 轴上 C 点上方的一动点，点 E 是直线 BC 上一动点，则是否存在点 P，使以 P，C，D，E 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由．
y
A
O
B
x
C
y
A
O
B
x
C
y
A
O
B
x
C
思考小结
结合平行四边形、菱形、正方形的存在性问题，考虑存在性问题的处理框架：
①分析特征：既要分析题目本身的定点、动点、定线及其他不变特征；又要考虑图形形成因素，两者结合后考虑分类． 注：图形形成因素，往往是指与该图形相关的判定；将菱形转化为等腰三角形通过翻折得到，实质是利用了判定：四条边都相等的四边形是菱形；将正方形转化为等腰直角三角形的存在性问题，实质是利用了判定：有一个角是直角的菱形是正方形．
②画图求解：分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．
③结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．
将菱形存在性问题转化为等腰三角形存在性问题的操作流程：
①将菱形转化为等腰三角形：从菱形 4 个点中选择 3 个点，
往往选择条件最多的 3 个点，然后考虑这 3 个点组成等腰三角形的可能性．
②等腰三角形还原为菱形：沿当前确定的等腰三角形的底边翻折，先确定大致位置，然后根据菱形是特殊的平行四边形， 利用平行四边形一组对边平行且相等，来求解第 4 点坐标．