2020-2021学年福建省龙岩市长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定六校（一中）高一下学期期中联考数学试题（解析版）

2020-2021学年福建省龙岩市长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定六校（一中）高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．下列说法错误的是（    ）

A．零向量与任意向量都不平行

B．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量

C．平行向量就是共线向量

D．长度为0的向量叫做零向量

【答案】A

【分析】根据零向量与单位向量及共线向量的定义判断可得；

【详解】解：模为的向量叫做零向量，规定：零向量与任意向量平行，长度为个单位长度的向量，叫做单位向量，故A错误，BCD正确．

故选：A

2．已知向量，则（    ）

A．0 B．3 C．1 D．

【答案】B

【分析】利用平面向量数量积运算求解即可.

【详解】，所以．

故选：B.

3．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用复数的乘方求得，代入利用复数的除法运算求解即可.

【详解】因为，所以．

故选：D.

4．已知棱长为6的正方体的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由正方体的体对角线长是其外接球的直径求解.

【详解】因为正方体的棱长为6，

所以正方体的体对角线长度为，

又因为正方体的体对角线长是其外接球的直径，

所以球O的半径为，

所以球O的表面积为．

故选：B

5．旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的山峰和山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则两座山峰之间的距离（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意先求出，再由余弦定理求解即可

【详解】由题意可知：，

，，

由余弦定理得

故选：C

6．如图所示的是一个四边形用斜二测法画出的直观图，它是一个底角为，腰和上底边长都为4的等腰梯形，则原四边形的周长为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由直观图还原成原图是一个如图所示的直角梯形，与轴平行的线段长度不变，与轴平行的线段长度加倍，所以由已知的数据可得，从而可求得答案

【详解】原图是一个如图所示的直角梯形，其中，则周长为．

故选：D

7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的外接圆半径为R，若，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据题设条件和正弦定理，得到，进而求得，由余弦定理列出方程，求得，再由，得到，利用面积公式，即可求解．

【详解】在中，满足，

由正弦定理可得，即，

因为，可得，所以，可得，

又由，可得，

因为，所以，

又因为，且，

所以，解得或（舍去），

由，所以，所以．

故选：A.

8．已知平行四边形中，点E，F分别在边上，连接交于点M，且满足，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】根据，得到，再由E，F，M三点共线求解.

【详解】因为，

所以，

所以．

因为E，F，M三点共线，

所以．

故选：B

二、多选题

9．若一个多面体共有5个面，则这个多面体不可能是（    ）

A．三棱锥 B．四棱柱 C．三棱台 D．四棱台

【答案】ABD

【分析】根据多面体的概念判断即可；

【详解】解：由多面体的概念知，三棱锥有4个面，四棱柱和四棱台有6个面，三棱台有5个面．

故选：ABD

10．已知复数在复平面内对应的点为P，则（    ）

A．P在第二象限 B．P在第四象限

C． D．z的虚部为

【答案】AC

【分析】根据复数的运算，求得，结合复数的几何意义和共轭复数的概念，以及复数的基本概念，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，复数，

所以其对应的点位于第二象限，所以A正确，B错误；

由复数的虚部为，所以D错误；

又由共轭复数的概念，可得，所以C正确.

故选：AC

11．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值可能是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12

【答案】CD

【分析】根据，由求解.

【详解】，

，

，

，

因为，

所以的取值范围是．

故选：CD

12．在中，，则（    ）

A．当时，

B．不可能是直角三角形

C．A的最大值为

D．面积的最大值为

【答案】AD

【分析】A选项结合正弦定理边化角，然后利用余弦定理即可判断；B选项，举出反例即可判断；C选择结合余弦定理表示出，然后利用均值不等式即可求出最值；D选项利用余弦定理表示出，进而表示出，结合三角形的面积公式，利用函数求最值即可.

【详解】在中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由，可得，又，当时，，解得，A正确；

当时，，满足，为直角三角形，B错误；，当且仅当时等号成立，所以A的最大值为，C错误；

，设，

，当时，S取最大值，且最大值为，D正确．

故选：AD

三、填空题

13．已知非零向量满足，且，则向量的夹角是_______．

【答案】

【分析】由向量垂直得到，即可得到，再根据及计算可得；

【详解】解：因为，所以，即，所以．

因为，所以，因为，所以．

故答案为：

14．如图，在棱长为2的正方体中，P，Q分别为的中点，则过D，P，Q三点的平面截正方体所得截面的面积为________．

【答案】

【分析】由过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形求解.

【详解】如图所示：

过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形，

因为，

所以之间的距离为，

所以梯形的面积为，

故答案为；．

15．《列子·汤问》记有古代传说：“渤海之东，不知几亿万里，有大壑焉，实为无底之谷，其下无底，名曰归墟．”现代研究发现海洋蓝洞是海底突然下沉的巨大“深洞”，从海面上看蓝洞呈现出与周边水域不同的深蓝色，我国西沙群岛的“三沙永乐龙洞”为世界最深的海洋蓝洞，深达．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，且A，B，C，D四点共面，测得，，则A，B两点间的距离为________．

【答案】

【分析】在中易得，再在中，由正弦定理得到BD，然后在中，利用余弦定理求解.

【详解】如图所示：

在中，因为，

所以，

所以，则．

在中，因为，

所以由正弦定理，

得．

在中，因为，

所以由余弦定理得，

故．

故答案为：

四、双空题

16．若，则________，__________．

【答案】       

【分析】先利用复数的除法求得，然后利用复数的求模公式和共轭复数的概念求得和.

【详解】因为，所以．

故答案为：；.

五、解答题

17．如图，在直四棱柱中，底面为正方形，，M，N，P分别是的中点．

（1）证明：平面平面．

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理即可求证；

（2）由于，由体积公式计算三棱锥的体积即可求解.

【详解】（1）因为M，N，P分别是的中点，

所以．

又平面平面，

所以平面．

同理平面，

又，

所以平面平面．

（2）三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

因为底面为正方形，且，

所以，

所以三棱锥的体积为.

18．已知向量．

（1）若，求与的夹角的余弦值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据向量结合，利用平面向量的夹角公式求解；

（2）由，化简得到，再由，利用二倍角的余弦公式求解.

【详解】（1）因为，所以，

．

又因为，

所以．

（2）若，则．

所以，

即，

所以．

因为，

所以，

解得．

因为，

所以．

19．在①，②z的实部与虚部互为相反数，③z为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知复数．

（1）若_______，求实数m的值；

（2）若m为整数，且，求z在复平面内对应点的坐标．

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】（1）若选择①，由，可知是一个大于零的实数，从而得进而可求出实数m的值；若选择②，由题意可得，解方程可得实数m的值；若选择③，由题意可得从而可求出实数m的值；

（2）由可得，再由m为整数，可得为平方数，为奇数，从而可求得实数m的值，进而可得答案

【详解】解：（1）若选择①  因为，所以

解得．

若选择②  因为z的实部与虚部互为相反数，所以，

解得或．

若选择③  因为z为纯虚数，所以

解得．

（2）因为，所以，

所以．

因为m为整数，所以为平方数，为奇数．

因为或，

所以验证可得，即．

因为，所以，其在复平面内对应点的坐标为．

20．如图，平面四边形是某公园的一块草地，为方便市民通行，该公园管理处计划在草地中间修一条石路（不考虑石路的宽度），．

（1）求该草地的面积；

（2）求石路的长度．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）连接．在中，利用余弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求得CD，然后草地的面积由和的面积和求解.

（2）由，结合求解.

【详解】（1）如图所示：

连接．

在中，由余弦定理可得，

即，则．

在中，由余弦定理可得，

则，解得或（舍去）．

的面积，

的面积，

故该草地的面积．

（2）因为

，所以，

所以．

由余弦定理可得，

，

即，

解得，

故，即石路的长度为．

21．如图，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是BB1的中点，点F在棱AB上，且AF=2FB，设直线BD1、DE相交于点G.

（1）证明：GF平面AA1D1D；

（2）求B到平面GEF的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连接AD1，根据等比例关系易得FGAD1，根据线面平行的判定即可证GF平面AA1D1D；

（2）若正方体的棱长为6，求、GE、，由余弦定理求可得，进而求、及G到平面BEF的距离，由等体积知VB﹣GEF  = VG﹣BEF即可求B到平面GEF的距离.

【详解】（1）证明：连接AD1，则，

∴FGAD1，又AD1平面AA1D1D，FG平面AA1D1D，

∴GF平面AA1D1D；

（2）由题意，若正方体的棱长为6，则，GE=DE=×，，

在△GEF中，由余弦定理可得cos，则sin，

∴，，且G到平面BEF的距离为2，

设B到平面GEF的距离为h，由等体积法有VB﹣GEF  = VG﹣BEF，

∴，解得，故B到平面GEF的距离为.

【点睛】关键点点睛：第二问，应用等体积法有VB﹣GEF  = VG﹣BEF求点面距离.

22．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求A；

（2）如图，已知，D为的中点，点P在上，且满足，求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先把边角统一可求出，再由结合余弦定理与正弦定理的边角互化，即可得到答案；

（2）由数量积的定义，余弦定理，再结合三角形面积公式求解即可

【详解】解：（1）由，可得，

又，则．

因为，所以．

由，可得，即，

所以．

由正弦定理可得，

则，

可得，

则或（舍去），所以．

（2）因为，所以．

又因为，所以．

因为，，

两式相加可得，解得．

如图，过点P作，

则．

又因为，

所以．