2021--2022学年八年级数学下学期期中模拟卷2（苏科版）

这是一份2021--2022学年八年级数学下学期期中模拟卷2（苏科版），文件包含八年级数学下学期期中模拟卷2苏科版解析版docx、八年级数学下学期期中模拟卷2苏科版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
八年级数学下学期期中模拟卷（2）（苏科版）
（满分100分，完卷时间90分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共28题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一．选择题（共10小题）
1．要反映长沙市一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用（　　）
A．条形统计图 B．扇形统计图
C．折线统计图 D．频数分布直方图
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
【解答】解：根据题意，得
要求直观反映长沙市一周内每天的最高气温的变化情况，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图．
故选：C．
【点评】此题根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断．
2．将分式中的a、b都扩大到3倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．扩大6倍
【分析】把分式中的分子，分母中的a，b都同时变成原来的3倍，就是用3a，3b分别代替式子中的a，b，看得到的式子与原式子的关系．
【解答】解：如果把分式中的a和b都扩大3倍，则原式＝＝3×，
所以分式的值扩大3倍，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，解决这类题目的关键是正确的代入，并根据分式的性质进行分式的化简．
3．若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（　　）
A．一定是矩形 B．一定是菱形
C．对角线一定互相垂直 D．对角线一定相等
【分析】首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．
【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，
∴EF＝FG＝CH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，
∴BD＝AC．
∴原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选：D．

【点评】此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
4．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5．下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　）
A．调查市场上冷冻食品的质量情况
B．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品
C．调查某品牌冰箱的使用寿命
D．调查2021年春晚的收视率情况
【分析】根据全面调查和抽样调查的概念、结合实际解答．
【解答】解：A、调查市场上冷冻食品的质量情况，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
B、调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品，适宜采用普查方式，故本选项符合题意；
C、调查某品牌冰箱的使用寿命，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
D、调查2021年春晚的收视率情况，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是全面调查和抽样调查，通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查，其二，调查过程带有破坏性，其三，有些被调查的对象无法进行普查．
6．下列各式是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的定义作答，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
【解答】解：A、是单项式，故本选项不符合题意；
B、是单项式，故本选项不符合题意；
C、是单项式，故本选项不符合题意；
D、是分式，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
7．下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、，故A不成立．
B、，故B不成立．
C、，故C成立．
D、，故D不成立．
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
8．在下列命题中，正确的是（　　）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意，
故选：C．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝102°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为（　　）

A．24° B．26° C．28° D．30°
【分析】设∠C＝x，则∠B＝78°﹣x，根据∠B+∠C＝78°，得∠AB'C'+∠CAB'＝78°，则∠C'DA＝∠CDB'＝78°，用x的代数式表示出∠CB'D的度数，根据∠CB'B＝180°，列出方程即可解决．
【解答】解：如图，

∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠B＝∠AB'C'，AB＝AB'，
∵AB′＝CB′，
∴∠C＝∠CAB'，
∵∠BAC＝102°，
∴∠B+∠C＝78°，
∴∠AB'C'+∠CAB'＝78°，
∴∠C'DA＝∠CDB'＝78°，
设∠C＝x，则∠B＝78°﹣x，
∴∠CB'D＝102°﹣x，
∴102°﹣x+78°﹣x+78°﹣x＝180°，
解得x＝26°，
∴∠C＝26°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，计算出∠C'DA＝∠CDB'＝78°是解题的关键．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为（　　）

A．4 B．3 C．3或者4 D．3或者6
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示，连接AC，先利用勾股定理计算出AC＝10，根据折叠的性质得∠AB′E＝∠B＝90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB＝EB′，AB＝AB′＝6，可计算出CB′＝4，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝8﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示，此时四边形ABEB′为正方形．
【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图所示，连接AC，

在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，
∴点A、B′、C共线，
即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
如图，
∴EB＝EB′，AB＝AB′＝6，
∴CB′＝10﹣6＝4，
设BE＝x，则EB′＝x，CE＝8﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2＝CE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴BE＝3；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示，

此时四边形ABEB′为正方形，
∴BE＝AB＝6，
综上所述，BE的长为3或6，
故选：D．
【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理，注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
二．填空题（共8小题）
11．某市为了解学生的心理健康情况，在20000名学生中随机抽查了500名学生进行问卷调查，则这次调查的样本容量是　500　．
【分析】根据样本容量则是指样本中个体的数目，可得答案．
【解答】解：某市为了解学生的心理健康情况，在20000名学生中随机抽查了500名学生进行问卷调查，则这次调查的样本容量是500．
故答案为：500．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
12．分式和的最简公分母是　2（m+1）（m﹣1）　．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：∵m2﹣1＝（m+1）（m﹣1），2m+2＝2（m+1），
∴分式和的最简公分母是：2（m+1）（m﹣1），
故答案为：2（m+1）（m﹣1）．
【点评】本题考查了最简公分母的知识，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
13．约分：＝　2﹣a　．
【分析】直接利用分式的基本性质约分得出答案．
【解答】解：原式＝＝2﹣a．
故答案为：2﹣a．
【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的基本性质是解题关键．
14． 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是　答案不唯一，如：AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C或∠B＝∠D或∠A+∠B＝180°或∠C+∠D＝180°等　．

【分析】已知AB∥CD，可根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形来判定，也可根据两组分别平行的四边形是平行四边形来判定．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，
∴可添加的条件是：AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
故答案为：AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C或∠B＝∠D或∠A+∠B＝180°或∠C+∠D＝180°等．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定方法的理解能力，常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
15．从一副扑克牌中任意抽取1张．（1）这张牌是“8”；（2）这张牌是“方块”；（3）这张牌是“小王”；（4）这张牌是“黑色的”．请将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为　（3）＜（1）＜（2）＜（4）　．
【分析】分别求出抽出各种扑克的概率，即可比较出各种扑克的可能性大小．
【解答】解：从一副扑克牌中任意抽取一张，
（1）这张牌是“8”的概率为＝；
（2）这张牌是“方块”的概率为；
（3）这张牌是“小王”的概率为；
（4）这张牌是“黑色的”的概率为＝．
则这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为（3）＜（1）＜（2）＜（4）．
故答案为：（3）＜（1）＜（2）＜（4）．
【点评】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
16．如图，在面积是12的平行四边形ABCD中，对角线AC绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AD、BC于点E、F，若BF＝2CF，则图中阴影部分的面积是 　2　．

【分析】连接BD，根据平行四边形的性质求出△COB的面积，根据BF＝2CF求出△FOC的面积，同理得到△EOA的面积，得到答案．
【解答】解：连接BD，

∵点O是AC的中点，
∴点O在BD上，且点O是BD的中点，
∴△COB的面积＝×四边形ABCD的面积＝3，
∵BF＝2CF，
∴△FOC的面积＝×△COB的面积＝1，
再由旋转性质同理可得，△EOA的面积＝1，
∴图中阴影部分的面积＝1+1＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质、三角形的面积计算，掌握平行四边形的对角线互相平分、三角形的面积公式是解题的关键．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，将矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形EFCG，点M、O、N分别在边EF、CD、CG上，且OC＝OD＝OM＝ON，OM⊥EF，则NG的长为　1　．

【分析】过点O作OH⊥CG于H，先证明四边形MFCH为矩形，再由旋转性质得OH＝4﹣2.5＝1.5，再用勾股定理求出CH，由NG＝5﹣2CH即可得到答案．
【解答】解：如图，过点O作OH⊥CG于H，

∵OC＝ON，
∴CH＝NH，
∵OM⊥EF，
∴M，O，H共线，
∵∠F＝∠FCH＝∠CHM＝∠HMF＝90°，
∴四边形MFCH为矩形，
∴MH＝CF，
∵AB＝5，BC＝4，结合旋转性质得：
∴CF＝4，
∵OC＝OD＝OM＝ON＝2.5，
∴OH＝4﹣2.5＝1.5，
∴CH＝＝2，
∴NG＝5﹣2CH＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，过点O作OH⊥CG且求出OH＝1.5是解决此题的关键．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝30°，AD＝1，AB＝2，则BC的长为 　5　．

【分析】平移一腰，得到平行四边形和30°的直角三角形，根据它们的性质进行计算．
【解答】解：作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形．
∴AB＝DE＝2，AD＝BE＝1，∠DEC＝∠B＝60°，
∵∠C＝30°，
∴∠EDC＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
∴EC＝2DE＝4．
∴BC＝BE+EC＝1+4＝5．
故答案是：5．

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造平行四边形ABED是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
19．我国青少年的视力情况已受到全社会的广泛关注．某校随机调研了200名初中七、八、九年级学生的视力情况，并把调查数据绘制成如下的统计图：
（1）七年级参加调查的有　80　人；
（2）某同学说：“由统计图可知，从七年级到九年级近视率越来越低．”你认为这种说法正确吗？请作出判断，并说明理由．
【分析】（1）根据总数×七年级参与调查的百分数即可得到结论；
（2）分别计算出个年级的近视率进行比较即可得到结论．
【解答】解：（1）200×（1﹣25%﹣35%）＝80（人），
故答案为：80；
（2）这个说法不正确，从七年级到九年级的近视率越来越高，理由如下：
∵七年级学生的近视率为：＝56.25%，八年级学生近视率为：＝60%，九年级学生近视率为＝70%，
∵56.25%＜60%＜70%，
∴从七年级到九年级的近视率越来越高．
【点评】本题考查了条形统计图，扇形统计图，正确的理解题意是解题的关键．
20．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在CD、AD、BC上，且FG⊥BE，垂足为O．
（1）求证：BE＝FG；
（2）若O是BE的中点，且BC＝8，EC＝3，求AF的长．

【分析】（1）作AM∥FG交BE于N，BC于M．根据正方形的性质证明△ABM≌△BCE可得AM＝BE．再证明四边形AMGF为平行四边形．即可得结论；
（2）连接BF、EF，设AF＝x，则DF＝8﹣x，根据勾股定理即可求出AF的长．
【解答】（1）证明：作AM∥FG交BE于N，BC于M．
在正方形ABCD中，

∴AD∥BC，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°．
∵FG⊥BE，
∴∠FOB＝90°．
∵AM∥FG，
∴∠ANB＝∠FOB＝90°．
∴∠ABN+∠EBC＝90°
∵∠C＝90°．
∴∠BEC+∠EBC＝90°．
∴∠ABN＝∠BEC．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABM≌△BCE（AAS），
∴AM＝BE．
∵AD∥BC，
∴AF∥MG．
∵AM∥FG，
∴四边形AMGF为平行四边形．
∴AM＝FG．
∵AM＝BE，
∴BE＝FG．
（2）如图，连接BF、EF，

∵FG⊥BE，O是BE的中点，
∴BF＝FE．
在正方形ABCD中，
∴AD＝AB＝DC＝BC＝8．
∵EC＝3，
∴DE＝5．
设AF＝x，则DF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
BF2＝AB2+AF2＝82+x2．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
EF2＝DF2+DE2＝52+（8﹣x）2．
∵BF＝FE，
∴BF2＝EF2．
即82+x2＝52+（8﹣x）2，
解得：x＝．
∴AF＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是证明△ABM≌△BCE．
21．下表是某口罩生产厂对一批N95口罩质量检测的情况：
抽取口罩数
200
500
1000
1500
2000
3000
合格品数
188
471
946
1426
1898
2850
合格品频率
（精确到0.001）
0.940
0.942
0.946
0.951
a
b
（1）a＝　0.949　，b＝　0.950　；
（2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率估计值是多少？（精确到0.01）
（3）若要生产380000个合格的N95口罩，该厂估计要生产多少个N95口罩？
【分析】（1）根据表中数据计算即可；
（2）由表中数据可判断频率在0.95左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为0.95；
（3）用样本数据估计总体即可．
【解答】解：（1）1898÷2000＝0.949，2850÷3000＝0.950；
故答案为：0.949，0.950；
（2）由表格可知，随着抽取的口罩数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在0.95附近波动，
所以任意抽取的一个是合格品的概率估计值是0.95；
（3）380000÷0.95＝400 000．
答：该厂估计要生产400000个N95口罩．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
22．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．
（1）判断四边形EFGH是怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）当四边形ABCD再满足　AD⊥BC（或∠DAB+∠ABC＝90°）答案不唯一　时，四边形EFGH为正方形？（只添一个条件）

【分析】（1）根据三角形中位线定理得到GH∥AD，GH＝AD，EF∥AD，EF＝AD，得到四边形EFGH是平行四边形，根据题意得到EF＝EH，根据菱形的判定定理证明结论；
（2）根据正方形的判定定理解答即可．
【解答】解：（1）四边形EFGH是菱形，
理由如下：在△ACD中，G、H分别是CD、AC的中点，
∴GH∥AD，GH＝AD，
同理，EF∥AD，EF＝AD，
∴GH∥EF，GH＝EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
在△ABC中，E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH＝BC，
∵AD＝BC，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；
（2）当AD⊥BC或∠DAB+∠ABC＝90°时，四边形EFGH为正方形，
理由如下：∵EH∥BC，
∴∠AEH＝∠ABC，
同理，∠BEF＝∠BAD，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH为正方形，
故答案为：AD⊥BC（或∠DAB+∠ABC＝90°）答案不唯一．
【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．
23．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD＝BC，又由AE＝CF，即可证得DE＝BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴ED＝BF，
又∵AD∥BC，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握定理与性质是解决问题的关键．
24．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，A（﹣1，4），B（﹣4，1），解答下列问题：
（1）将线段AB绕原点O顺时针方向旋转90°得到线段CD，再将线段CD向下平移2个单位长度得到线段EF，画出线段CD和线段EF；
（2）如果线段AB旋转可以得到线段EF，则旋转中心P的坐标为　（﹣1，﹣1）　．

【分析】（1）根据旋转和平移的性质即可画出线段CD和线段EF；
（2）根据对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心，将线段AB绕点P（﹣1，﹣1）顺时针旋转90°即可以得到线段EF．
【解答】解：（1）如图，线段CD和线段EF即为所求；

（2）线段AB绕点P（﹣1，﹣1）顺时针旋转90°可以得到线段EF，
所以P（﹣1，﹣1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质．
25．如图，在▱ABCD中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．
（1）求证：△ABF≌△DCE；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．

【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB＝DC，再证AF＝DE，然后由全等三角形的判定定理即可得到结论．
（2）由全等三角形的性质得到∠A＝∠D．再证∠A＝90°，然后根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝FD，
∴AE+EF＝FD+EF，
即AF＝DE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SSS）；
（2）由（1）可知：△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴▱ABCD为矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
26．证明：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．已知：　在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点　．
求证：　DE＝BC，DE∥BC　．
证明：

【分析】延长DE到F，使得DE＝EF，连接CF，先证△ADE≌△CFE（SAS），得∠ADE＝∠F，AD＝FC，再证四边形DBCF为平行四边形，得BC＝DF，DF∥BC，即可解决问题．
【解答】已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE＝BC，DE∥BC，
证明：延长DE到F，使得DE＝EF，连接CF，
∵E是AC的中点，
∴AE＝EC，
在△ADE和△CFE中，

∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE＝∠F，AD＝FC，
∴AB∥CF，
∴DB∥BF，
∵D是AB的中点，
∴AD＝DB，
∴DB＝CF．
∵DB∥BF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴BC＝DF，DF∥BC，
∵DE＝EF，
∴DE＝DF．
∵DF∥BC，BC＝DF，
∴DE∥BC，DE＝BC．
故答案为：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，

【点评】本题考查了三角形中位线定理的证明、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
27．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上任意一点．
（1）如图①，只用无刻度的直尺在CD边上作出点F，使DF＝BE；
（2）如图②，用直尺和圆规作出菱形EFGH，使得点F、G、H分别在边BC、CD、DA上．（不写作法，只保留作图痕迹）

【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接OE，延长EO交CD于点F，点F即为所求作．
（2）在线段DC上截取线段DG，使得DG＝BE，连接EG，作线段EG的垂直平分线交AD于H，交BC于F，连接EH，GH，EF，FG即可．
【解答】解：（1）如图1，点F即为所求作．
（2）如图2，菱形EFGH即为所求作．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
28．定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．
例如，如图①，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，则四边形ABCD是“等补四边形”．
概念理解
（1）在以下四种图形中：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，一定是“等补四边形”的是 　④　；（填写序号）
（2）如图②，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是CD、AD边上的动点（不与点A、D、C重合），且AF＝DE．求证：四边形BEDF为等补四边形．

性质探究
（3）如图③，在等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，连接BD．求证：BD平分∠ADC．
性质应用
（4）如图④，△ABC，用直尺和圆规求作点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是等补四边形．（要求：作出两种不同的图形，不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）根据等补四边形的定义判断即可；
（2）连接BD，根据SAS证△ABF≌△DBE，得出∠FBE+∠FDE＝180°，即可证四边形BEDF为等补四边形；
（3）延长DA到E，使得AE，使得AE＝DC，连接BE，根据SAS证△ABE≌△CBD（SAS），推出∠BDC＝∠BDA，即可证明BD平分∠ADC；
（4）根据等补四边形的定义作图即可，以下列举出3种不同的图形，即①AB＝AD，且∠D+∠B＝180°；②BC＝CD，且∠B+∠D＝180°；③BC＝BD，∠C+∠D＝180°．
【解答】解：（1）根据“等补四边形”的定义可知，正方形时等补四边形，
故答案为：④；
（2）证明：如图，连接BD，

∵在菱形ABCD中，
∴AD＝AB，AB∥CD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠A+∠ADC＝180°，
∴AB＝BD，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠ADC＝120°，
∴∠BDE＝60°，
∵在△ABF和△DBE中，
∵，
∴△ABF≌△DBE（SAS），
∴∠ABF＝∠DBE，BF＝BE，
∵∠ABD＝60°，
∴∠ABF+∠FBD＝60°，
∴∠ABF＝∠DBE，
∴∠DBE+∠FBD＝60°，
即∠FBE＝60°，
∵∠FDE＝120°，
∴∠FBE+∠FDE＝180°，
∵在四边形BFDE中，
∠FBE+∠FDE＝180°，BF＝BE，
根据“等补四边形”的定义，
∴四边形BEDF为等补四边形；
（3）证明：如图，延长DA到E，使得AE＝DC，连接BE，

∵∠BAD+∠C＝180°，
又∵∠BAD+∠BAE＝180°，
∴∠C＝∠BAE，
∵在△ABE和△CBD中，
∵，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠BDA＝∠E，BD＝BE，
∵BD＝BE，
∴∠E＝∠BDE，
∴∠BDC＝∠BDA，
∴BD平分∠ADC；
（4）作图如下：

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，正确理解等补四边形的定义是解题的关键．