2022年广东省深圳市九年级数学中考二模数学试卷（一）（含答案）

这是一份2022年广东省深圳市九年级数学中考二模数学试卷（一）（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
2．（3分）一组从小到大排列的数据：a，3，4，4，6（a为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（ ）
A．3.6B．3.8C．3.6或3.8D．4.2
3．（3分）如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（ ）
A．①B．②C．③D．④
4．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（ ）
A．3B．﹣3C．D．﹣
6．（3分）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OB交⊙O于点C．若OA＝3，tan∠AOB＝，则BC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（3分）如图，反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝x+4的图象交于A、B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1．则关于x的不等式＜x+4（x＜0）的解集为（ ）
A．x＜﹣3B．﹣3＜x＜﹣1
C．﹣1＜x＜0D．x＜﹣3或﹣1＜x＜0
8．（3分）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A．∠ACP＝∠BB．∠APC＝∠ACBC．D．
9．（3分）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（ ）
A．560（1+x）2＝1850
B．560+560（1+x）2＝1850
C．560（1+x）+560（1+x）2＝1850
D．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1850
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题
11．（3分）如图，矩形ABCD对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝110°，则∠OAB＝ °．
12．（3分）如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为 米．
13．（3分）如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD＝30°，且BE＝2，则CD＝ ．
14．（3分）按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的，如图，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确是
①△ABC与△DEF是位似图形
②△ABC与△DEF是相似图形
③△ABC与△DEF的周长比为1：2
④△ABC与△DEF的面积比为4：1
A．1B．2C．3D．4
15．（3分）在正方形ABCD中，点E为BC边上一点且CE＝2BE，点F为对角线BD上一点且BF＝2DF，连接AE交BD于点G，过点F作FH⊥AE于点H，连结CH、CF，若HG＝2cm，则△CHF的面积是 cm2．
三、解答题
16．（8分）计算：
（1）计算：（π﹣2017）0+|1﹣|+2﹣1﹣2sin60°
（2）解方程：（x﹣2）（x﹣5）＝﹣2
17．（4分）关于三角函数有如下的公式：
sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ①
cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ②
tan（α+β）＝③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
tan105°＝tan（45°+60°）＝＝＝＝﹣（2+）．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α＝60°，底端C点的俯角β＝75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
18．（7分）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC＝12，DE＝5，求△AEF的面积．
19．（6分）如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于点A（a，3），且与x轴相交于点B．
（1）求a、b的值；
（2）若点P在x轴上，且△AOP的面积是△AOB的面积的，求点P的坐标．
20．（7分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．
（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；
（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？
（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；
（3）若CD＝1，EH＝3，求BF及AF长．
22．（11分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象分别与x轴交于点A（3，0），C（﹣1，0），与y轴交于点B．点D为二次函数图象的顶点．
（1）如图①所示，求此二次函数的关系式：
（2）如图②所示，在x轴上取一动点P（m，0），且1＜m＜3，过点P作x轴的垂线分别交二次函数图象、线段AD，AB于点Q、F，E，求证：EF＝EP；
（3）在图①中，若R为y轴上的一个动点，连接AR，则BR+AR的最小值 （直接写出结果）．
2022年广东省深圳市九年级数学中考二模数学试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：因为的是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，﹣3）．
故选：B．
2．（3分）一组从小到大排列的数据：a，3，4，4，6（a为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（ ）
A．3.6B．3.8C．3.6或3.8D．4.2
【分析】根据众数的定义得出正整数a的值，再根据平均数的定义求解可得．
【解答】解：∵数据：a，3，4，4，6（a为正整数），唯一的众数是4，
∴a＝1或2，
当a＝1时，平均数为＝3.6；
当a＝2时，平均数为＝3.8；
故选：C．
3．（3分）如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择．
【解答】解：原几何体的主视图是：
．
故取走的正方体是①．
故选：A．
4．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△＝0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．
【解答】解：在方程x2﹣4x+4＝0中，
△＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：B．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（ ）
A．3B．﹣3C．D．﹣
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．再由函数图象所在的象限确定k的值即可．
【解答】解：∵点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，
∴矩形OAPB的面积S＝|k|＝3，
解得k＝±3．
又∵反比例函数的图象在第一象限，
∴k＝3．
故选：A．
6．（3分）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OB交⊙O于点C．若OA＝3，tan∠AOB＝，则BC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据三角函数，可得OB的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：∵OA＝3，tan∠AOB＝，
∴OB＝5，
∴CB＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，
故选：A．
7．（3分）如图，反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝x+4的图象交于A、B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1．则关于x的不等式＜x+4（x＜0）的解集为（ ）
A．x＜﹣3B．﹣3＜x＜﹣1
C．﹣1＜x＜0D．x＜﹣3或﹣1＜x＜0
【分析】求关于x的不等式＜x+4（x＜0）的解集可转化为一次函数的图象在反比例函数图象的上方所对应的自变量x取值范围，问题得解．
【解答】解：
观察图象可知，当﹣3＜x＜﹣1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴关于x的不等式＜x+4（x＜0）的解集为：﹣3＜x＜﹣1．
故选：B．
8．（3分）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A．∠ACP＝∠BB．∠APC＝∠ACBC．D．
【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
C、其夹角不相等，所以不能判定相似；
D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．
【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵，
当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵，
又∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，
故选：C．
9．（3分）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（ ）
A．560（1+x）2＝1850
B．560+560（1+x）2＝1850
C．560（1+x）+560（1+x）2＝1850
D．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1850
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），根据二、三月份平均每月的增长为x，则二月份的产量是560（1+x）吨，三月份的产量是560（1+x）（1+x）＝560（1+x）2，再根据第一季度共生产钢铁1850吨列方程即可．
【解答】解：依题意得二月份的产量是560（1+x），
三月份的产量是560（1+x）（1+x）＝560（1+x）2，
∴560+560（1+x）+560（1+x）2＝1850．
故选：D．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】（1）正确．根据对称轴公式计算即可．
（2）错误，利用x＝﹣3时，y＜0，即可判断．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．
（4）错误．利用函数图象即可判断．
（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
【解答】解：（1）正确．∵﹣＝2，
∴4a+b＝0．故正确．
（2）错误．∵x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）错误．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），
∴解得，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
∵a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故（3）正确．
（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），
∵﹣2＝，2﹣（﹣）＝，
∴＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．
（5）正确．∵a＜0，
∴（x+1）（x﹣5）＝﹣3/a＞0，
即（x+1）（x﹣5）＞0，
故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．
∴正确的有三个，
故选：B．
二、填空题
11．（3分）如图，矩形ABCD对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝110°，则∠OAB＝ 55 °．
【分析】由四边形ABCD是矩形，推出OA＝OB，推出∠OAB＝∠OBA，由∠AOD＝110°，∠AOD＝∠OAB+∠OAB，推出∠OAB＝∠OBA＝55°．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠AOD＝110°，∠AOD＝∠OAB+∠OAB，
∴∠OAB＝∠OBA＝55°
故答案为55．
12．（3分）如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为 2 米．
【分析】依据△CBF∽△CAP，即可得到AP＝8，再依据△EDG∽△EAP，即可得到DE长．
【解答】解：由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP，
∴，即，
解得AP＝8，
由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP，
∴，即，
解得ED＝2，
故答案为：2．
13．（3分）如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD＝30°，且BE＝2，则CD＝ 4 ．
【分析】先根据圆周角定理求出∠C的度数，再由CD⊥AB可知∠CEB＝90°，CD＝2CE，由直角三角形的性质求出BC的长，根据勾股定理求出CE的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠BAD＝30°，BE＝2，
∴∠C＝∠BAD＝30°．
∵CD⊥AB，
∴∠CEB＝90°，CD＝2CE，
∴BC＝2BE＝4，
∴CE＝＝＝2，
∴CD＝2CE＝4．
故答案为：4．
14．（3分）按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的，如图，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的是①②④
①△ABC与△DEF是位似图形
②△ABC与△DEF是相似图形
③△ABC与△DEF的周长比为1：2
④△ABC与△DEF的面积比为4：1
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
15．（3分）在正方形ABCD中，点E为BC边上一点且CE＝2BE，点F为对角线BD上一点且BF＝2DF，连接AE交BD于点G，过点F作FH⊥AE于点H，连结CH、CF，若HG＝2cm，则△CHF的面积是 cm2．
【分析】如图，过F作FI⊥BC于I，连接FE，FA，得到FI∥CD，设BE＝EI＝IC＝a，CE＝FI＝2a，AB＝3a，由勾股定理得到FE＝FC＝FA＝a，推出HE＝AE＝，根据正方形的性得到BG平分∠ABC，由三角形角平分线定理得到＝，求得HG＝AE＝a＝2，于是得到结论．
【解答】解：如图，过F作FI⊥BC于I，连接FE，FA，
∴FI∥CD，
∵CE＝2BE，BF＝2DF，
∴设BE＝EI＝IC＝a，CE＝FI＝2a，AB＝3a，
∴则FE＝FC＝FA＝a，
∴H为AE的中点，
∴HE＝AE＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BG平分∠ABC，
∴＝，
∴HG＝AE＝a＝2，
∴a＝，
∴S△CHF＝S△HEF+S△CEF﹣S△CEH＝（a）2+•2a•2a﹣•2a•a＝a2＝，
故答案为：．
三、解答题
16．（8分）计算：
（1）计算：（π﹣2017）0+|1﹣|+2﹣1﹣2sin60°
（2）解方程：（x﹣2）（x﹣5）＝﹣2
【分析】（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）原式＝1+﹣1+﹣2×
＝；
（2）整理得：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
x﹣3＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝3，x2＝4．
17．（4分）关于三角函数有如下的公式：
sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ①
cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ②
tan（α+β）＝③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
tan105°＝tan（45°+60°）＝＝＝＝﹣（2+）．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α＝60°，底端C点的俯角β＝75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
【分析】先由俯角β的正切值及BC求得AB，再由俯角α的正切值及BC求得A、D两点垂直距离．CD的长由二者相减即可求得．
【解答】解：由于α＝60°，β＝75°，BC＝42，
则AB＝BC•tanβ＝42tan75°＝42•＝42•＝42（），
A、D垂直距离为BC•tanα＝42，
∴CD＝AB﹣42＝84（米）．
答：建筑物CD的高为84米．
18．（7分）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC＝12，DE＝5，求△AEF的面积．
【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠ABF＝90°，依据“SAS”即可证得；
（2）根据勾股定理求得AE＝13，再由旋转的性质得出AE＝AF，∠EAF＝90°，从而由面积公式得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF＝90°，
在△ADE和△ABF中，
∵，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）∵BC＝12，∴AD＝12，
在Rt△ADE中，DE＝5，AD＝12，
∴AE＝＝13，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90°得到，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴△AEF的面积＝AE2＝×169＝84.5．
19．（6分）如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于点A（a，3），且与x轴相交于点B．
（1）求a、b的值；
（2）若点P在x轴上，且△AOP的面积是△AOB的面积的，求点P的坐标．
【分析】（1）直接利用待定系数法把A（a，3）代入反比例函数中即可求出a的值，然后把A的坐标代入y＝﹣x+b即可求得b的值；
（2）根据直线解析式求得B的坐标，然后根据题意即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于点A（a，3），
∴3＝﹣，
∴a＝﹣1．
∴A（﹣1，3）．
把A的坐标代入y＝﹣x+b得，3＝1+b，
∴b＝2；
（2）直线y＝﹣x+2与x轴相交于点B．
∴B（2，0），
∵点P在x轴上，
△AOP的面积是△AOB的面积的，
∴OB＝2PO，
∴P的坐标为（1，0 ）或（﹣1，0 ）．
20．（7分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．
（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；
（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？
（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？
【分析】（1）利用良好的人数除以良好的人数所占的百分比可得抽查的人数，然后计算出合格的人数和合格人数所占百分比，再计算出优秀人数，然后画图即可；
（2）计算出成绩未达到良好的男生所占比例，再利用样本代表总体的方法得出答案；
（3）直接利用树状图法求出所有可能，进而求出概率．
【解答】解：（1）抽取的学生数：16÷40%＝40（人）；
抽取的学生中合格的人数：40﹣12﹣16﹣2＝10，
合格所占百分比：10÷40＝25%，
优秀人数：12÷40＝30%，
如图所示：
；
（2）成绩未达到良好的男生所占比例为：25%+5%＝30%，
所以600名九年级男生中有600×30%＝180（名）；
（3）如图：
，
可得一共有9种可能，甲、乙两人恰好分在同一组的有3种，
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率P＝＝．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；
（3）若CD＝1，EH＝3，求BF及AF长．
【分析】（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE＝∠OBE；而OB＝OE，就有∠OBE＝∠OEB，等量代换有∠OEB＝∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C＝90°，所以∠AEO＝90°，即AC是⊙O的切线；
（2）连结DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD＝HF．
（3）先证得△EHF∽△BEF，根据相似三角形的性质求得BF＝10，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE＝5，进一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，得出AF．
【解答】证明：（1）如图，连接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）如图，连结DE．
∵∠CBE＝∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC＝EH．
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE．
在△CDE与△HFE中，
，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF．
（3）由（2）得CD＝HF，又CD＝1，
∴HF＝1，
在Rt△HFE中，EF＝＝，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠EHF＝∠BEF＝90°，
∵∠EFH＝∠BFE，
∴△EHF∽△BEF，
∴＝，即＝，
∴BF＝10，
∴OE＝BF＝5，OH＝5﹣1＝4，
∴Rt△OHE中，cs∠EOA＝，
∴Rt△EOA中，cs∠EOA＝＝，
∴＝，
∴OA＝，
∴AF＝﹣5＝．
22．（11分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象分别与x轴交于点A（3，0），C（﹣1，0），与y轴交于点B．点D为二次函数图象的顶点．
（1）如图①所示，求此二次函数的关系式：
（2）如图②所示，在x轴上取一动点P（m，0），且1＜m＜3，过点P作x轴的垂线分别交二次函数图象、线段AD，AB于点Q、F，E，求证：EF＝EP；
（3）在图①中，若R为y轴上的一个动点，连接AR，则BR+AR的最小值 （直接写出结果）．
【分析】（1）根据A，C点的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的关系式；
（2）利用待定系数法求出线段AB，AD所在直线的函数关系式，用m表示EF，EP的长，可证得结论；
（3）连接BC，过点R作RQ⊥BC，垂足为Q，则△BQR∽△BOC，利用相似三角形的性质可得出RQ＝BR，结合点到直线之间垂直线段最短可得出当A，R，Q共线且垂直AB时，即AR+BR＝AQ时，其值最小，由∠ACQ＝∠BCO，∠BOC＝∠AQC可得出△CQA∽△COB，利用相似三角形的性质可求出AQ的值，此题得解．
【解答】解：（1）将A（3，0），C（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴此二次函数的关系式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）证明：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点D的坐标为（1，4）．
设线段AB所在直线的函数关系式为y＝kx+c（k≠0），
将A（3，0），C（0，3）代入y＝kx+c，得：
，解得：，
∴线段AB所在直线的函数关系式为y＝﹣x+3．
同理，可得出：线段AD所在直线的函数关系式为y＝﹣2x+6．
∵点P的坐标为（m，0），
∴点E的坐标为（m，﹣m+3），点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴EP＝﹣m+3，EF＝﹣m+3，
∴EF＝EP．
（3）如图③，连接BC，过点R作RQ⊥BC，垂足为Q．
∵OC＝1，OB＝3，
∴BC＝＝．
∵∠CBO＝∠CBO，∠BOC＝∠BQR＝90°，
∴△BQR∽△BOC，
∴＝，即＝，
∴RQ＝BR，
∴AR+BR＝AR+RQ，
∴当A，R，Q共线且垂直AB时，即AR+BR＝AQ时，其值最小．
∵∠ACQ＝∠BCO，∠BOC＝∠AQC，
∴△CQA∽△COB，
∴＝，即＝，
∴AQ＝，
∴BR+CR的最小值为．
故答案为：．