专题强化训练试卷六 立体几何初步（基础练，含解析）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

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1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】用“属于”和“不属于”表示点与直线的关系；用“包含”和“不包含”表示直线与平面的关系.故点在直线上用属于符号，在平面外用不包含．故选：B．
2.如果直线直线n，且平面，那么n与的位置关系是（ ）
A. 相交 B. C. D. 或
【答案】D
【解析】直线直线 ,且平面，
当不在平面内时，平面内存在直线，
符合线面平行的判定定理可得平面，
当在平面内时，也符合条件，与的位置关系是或，故选:D .
3.在正方体中，与是（ ）
A. 相交直线B. 平行直线
C. 异面直线D. 相交且垂直的直线
【答案】C
【解析】由图形可知，与不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.故选：C.
4.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积（容器壁的厚度忽略不计）的最小值为（ ）
A. B. C. D. 以上结果都不对
【答案】A
【解析】由题意，该球形容器的体积最小时，该球形容器为长、宽、高分别为4,2,8的长方体的外接球，其直径为，
半径为，体积为.
即该球形容器的体积的最小值为.故选：A.
5.如图，一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，画图如下：

则，，，
故在中，，
，，故选：B
6.如图，在正方体中，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】取AD的中点为F，连接EF、F，
因为CD//F，所以异面直线和所成角就是直线和所成角，
设正方体边长为a，EF=a，
所以 ,故选:A
7.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（ ）
A. 1mB. C. D.
【答案】B
【解析】将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形，蚂蚁从爬行一周后回到（记作），作，如下图所示：
由最短路径为，即，
由圆的性质可得，即扇形所对的圆心角为，
则圆锥底面圆的周长为，
则底面圆的半径为，故选：B.
8. 在棱长为4的正方体中，是中点，点是正方形内的动点(含边界)，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为在棱长为4的正方体中，是中点，点是正方形内的动点(含边界)，且满足，
所以,所以,即 ,
令点P在DC上的投影点为O，，，
所以，整理得，
根据函数单调性可得当时，有最大值为16，所以 的最大值为，
因为,所以三棱锥体积最大值为：，
故选:D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列说法中正确的有（ ）
A.空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；
B.一个平行四边形确定一个平面；
C.若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
D.已知两个不同平面和，若，，且，则点在直线上.
【答案】2
【解析】反例：正方体的一个顶点处的3条棱，确定3个平面，故A不正确；
由于平行四边形对边平行，结合两条平行线可以确定一个面，故B正确；
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故C不正确；
，，且，则A在上，满足平面的基本性质，故D正确，
即正确的个数有2个， 故选：BD.
10.已知的三边长分别是，，．则下列说法正确的是（ ）
A. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为
B. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
C. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的全面积为
D. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
【答案】ABD
【解析】以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为，母线长为，高为的圆锥，其侧面积为，故A正确；
以所在直线为旋转轴，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体，其半径为，故所得旋转体的体积：，故B正确；
以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为，母线长为，高为的圆锥，侧面积为，体积为，故C错误，D正确.
故选：ABD.
11.若m，n表示直线，a表示平面，则下列命题中，正确命题为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于A，，则垂直于内的两条相交直线，因为，所以也垂直于这两条直线，故，故A正确；
对于B，由线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，故B正确；
对于C，，所以存在直线，且，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，例如和确定的平面平行于，则，故D不正确. 故选：ABC.
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点．则下列结论正确的是（ ）
A. AC1与EF相交
B. B1C1//平面DEF
C. EF与AC1所成的角为90°
D. 点B1到平面DEF的距离为322
【答案】BCD
【解析】对于A，∵AC1⊂平面AA1C1C，E∈平面AA1C1C，F∉平面AA1C1C，且E∉AC1，
∴AC1与EF异面，故A错误；
对于B，∵B1C1//BC，BC//DF，∴B1C1//DF，
又DF⊂平面DEF，B1C1⊄平面DEF，∴B1C1//平面DEF，故B正确；
对于C，由直三棱柱的结构特征，可得平面AA1C1C⊥平面ABC，
又平面AA1C1C∩平面ABC=AC，而∠ACB=90°，∴BC⊥平面AA1C1C，
得BC⊥AC1，则DF⊥AC1，又四边形AA1C1C为正方形，连接A1C，则A1C⊥AC1，
又DE//A1C，∴DE⊥AC1，
又DE∩DF=D，∴AC1⊥平面DEF，得AC1⊥EF，即EF与AC1所成的角为90°，故C正确；
对于D，∵B1C1//BC，BC//DF，∴B1C1//平面DEF，
∴点在B1到平面DEF的距离等于点C1到平面DEF的距离，
∴DF⊥平面ACC1A1，则平面DEF⊥平面ACC1A1，
∵AC1⊥DE，∴AC1⊥平面DEF，
设AC1∩DE=O，则C1O就是点C1到平面DEF的距离．
∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，
∴AA1C1C是边长为2的正方形，得AC1=22+22=22，
连接A1C，交AC1于O1，则AO1=C1O1=2，
∵D是AC的中点，∴OO1=22，得C1O=322，
即点B1到平面DEF的距离为322，故D正确． 故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知球的表面积是其半径的倍，则该球的体积为__________．
【答案】
【解析】设球的半径为，
球的表面积是其半径的倍，
则，解得，
所以球的体积为， 故答案为：.
【点睛】本题考查了球的表面积与体积公式的简单应用，属于基础题.
14.如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是____________
【答案】4
【解析】由斜二测画法可知，的实物图如下图所示：
可知，，且，因此，的面积为.
故答案为：4
15.在等腰直角中，，M为的中点，沿把折成二面角，折后A与C的距离为，则二面角C—BM—A的大小为________.
【答案】
【解析】因为为等腰直角三角形，且，M为的中点，
所以折之前，,
折之后，，
所以是二面角的平面角，
在中，由余弦定理得,


因
所以 ， 故答案为：
16.在三棱锥中，平面，，，．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为________；若点是的重心，则过点的平面截球所得截面的面积的最小值为________．
【答案】
【解析】（1）平面，平面，，又，且，平面，平面，，所以是两个直角三角形和的斜边，取的中点，点到四点的距离相等，即点是三棱锥的外接球的球心，，
（2）当点是截面圆的圆心时，此时圆心到截面的距离最大，那么截面圆的半径最小，即此时的面积最小，点是的中点，是的重心，，，所以，截面圆的半径，所以. 故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.如图，在正方体中，E、F、G、H分别是棱、、、的中点.
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）求异面直线与所成的角的大小.
【答案】（1）直线与相交；详见解析（2）
【解析】（1）取的中点
∵E、F、I分别是正方形中、、的中点
∴
∴在平面中，延长与必交于C右侧一点P，且
同理，在平面中，延长与必交于C右侧一点Q，且
∴P与Q重合
进而，直线与相交
方法二：∵在正方体中，E、H分别是、的中点
∴
∴是平行四边形
∴
又∵F、G分别是、的中点
∴
∴，
∴、是梯形的两腰
∴直线与相交
（2）∵在正方体中，
∴平行四边形，∴
又∵E、F分别是、的中点，∴
∴，∴与所成的角即为与所成的角
（或：与所成的角即为及其补角中的较小角）①
又∵在正方体中，为等边三角形
∴②
∴由①②得直线与所成的角为
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形， 平面，且，点为线段的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
（1）证明：连结交于点，连结，∵四边形为正方形，∴
为的中点，又∵为中点，∴为的中位线
∴ ，又∵ 平面.
（2）∵四边形为正方形，∴ ，，∴ 面
∴ ，又∵，为中点
∴ ，∴面.
19.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.
求证：（1）直线DE平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】证明：（1）在直三棱柱中，
在三角形ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以，于是，
又因为DE平面平面，
所以直线DE//平面.
（2）在直三棱柱中，
因为平面，所以，
又因为，
所以平面.
因为平面，所以.
又因为，
所以.
因为直线，所以
20.如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.
（I）求异面直线与所成角的余弦值；
（II）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中，由已知，得，
故.
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.
又因为BC//AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，
所以PD⊥平面PBC.
（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，
由已知，得CF=BC–BF=2.
又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DCF中，可得,
在Rt△DPF中，可得.
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
21.如图1所示，在中，，，，为的平分线，点在线段上，．如图2所示，将沿折起，使得平面平面，连结，设点是的中点．
图1 图2
（1）求证：平面；
（2）在图2中，若平面，其中为直线与平面的交点，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）在题图1中，因为，，，所以．
因为为的平分线，所以，
所以．
又因为，，所以
则，所以，即
在题图2中，因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
（2）在题图2中，因为平面，平面，平面平面，
所以
因为点在线段上，，点是的中点，所以
过点作交于点
因为平面平面，平面，所以平面
由条件得
又 ，
所以三棱锥的体积为 ．
22.如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求二面角的正切值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
又，，
AB、平面，平面ABCD，
，，
M为PD中点，，
；
（2）取DN中点E，连接ME，
、E为中点，，平面ABCD，
平面ABCD，过E作，,
平面，，
即为该二面角的平面角，，
，，，
，，
,即该二面角的正切值为.