数学必修 第一册3 频率与概率学案设计

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投掷一枚质地均匀，形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是一样的，都是 eq \f(1,2) .很多人会问，为什么正面和反面出现的概率是一样的？显然，硬币是质地均匀，形状规范的，哪一面都不会比另一面有更多的出现机会，正面和反面出现的概率是一样的，这称为古典概型的对称性，体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球，谁选场地．为了解释这个现象，在历史上，有很多人对这个问题进行过验证，从结果可以看出，随着次数的不断增加，正面出现的频率越来越接近 eq \f(1,2) ，我们也有理由相信，随着次数的继续增加，正面和反面出现的频率将固定在 eq \f(1,2) 处，即正面和反面出现的概率都为 eq \f(1,2) .
[问题] 你知道频率与概率有什么关系吗？



知识点 频率与概率
在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A).显然， eq \a\vs4\al(0) ≤P(A)≤ eq \a\vs4\al(1) ．我们通常用频率来估计概率．
eq \a\vs4\al()
1．频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到某个事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
2．频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
1．同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都一样吗？
提示：概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都是一样的．
2．怎样根据频率求事件发生的概率？
提示：在实践中，在大量的重复试验后，人们经常采用频率估计概率．
1．气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是( )
A．本市明天将有70%的地区降雨
B．本市明天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大
D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
解析：选C 气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，则本市明天降雨的可能性比较大．因此明天出行不带雨具淋雨的可能性很大．故选C.
2．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则对C的说法正确的是( )
A．概率为 eq \f(1,10)
B．频率为 eq \f(1,10)
C．概率接近 eq \f(1,10)
D．每抽10台电视机，必有1台次品
解析：选B 事件C发生的频率为 eq \f(1,10) ，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近 eq \f(1,10) 的结论．
3．某医院治疗一种疾病的治愈率为 eq \f(1,5) ，前4个病人都没有治好，第5个病人的治愈率为( )
A．1 B． eq \f(1,5)
C． eq \f(4,5) D．0
答案：B
4．某商品的合格率为99%，某人购买这种商品100件，他认为这100件商品中一定有1件是不合格的，这种认识是________的(填“合理”或“不合理”).
答案：不合理
[例1] (链接教科书第208页练习2题)试从概率角度解释下列说法的含义：
(1)掷一枚均匀的正方体骰子得到6点的概率是 eq \f(1,6) ，是否意味着把它掷6次能得到1次6点？
(2)某种病的治愈率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈率是0.3?
(3)据报道：某地发生的9级地震是“千年一遇”的大地震．在这里，“千年一遇”是什么意思？
[解] (1)把一枚均匀的骰子掷6次相当于做6次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做6次试验的结果也是随机的．这就是说，每掷一次总是随机地出现一个点数，可以是1点，2点，也可以是其他点数，不一定出现6点．所以掷一枚骰子得到6点的概率是 eq \f(1,6) ，并不意味着把它掷6次能得到1次6点．
(2)如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是0.3，是指随着试验次数的增加，即治疗病人人数的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也可能没有治愈．
(3)“千年一遇”是指0.001的概率，虽然0.001的概率比较小，但不代表没有可能；但也不能说每1 000年就一定会发生一次9级地震．
eq \a\vs4\al()
三个方面理解概率
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值；
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映；
(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
[跟踪训练]
(多选)下列说法中，正确的是( )
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的概率是 eq \f(1,2) ，则他可能击中靶心5次
D．某人射击10次，击中靶心的概率是0.6，则他击不中靶心的次数可能为4
解析：选ACD 对于A，正确，因为某人射击10次，击中靶心8次，所以他击中靶心的频率是 eq \f(8,10) ＝0.8; 对于B，错误，因为某人射击10次，击中靶心7次，所以他击不中靶心的频率是 eq \f(10－7,10) ＝0.3；对于C，正确，因为某人射击10次，击中靶心的概率是 eq \f(1,2) ，所以他可能击中靶心10× eq \f(1,2) ＝5(次)；对于D，正确，因为某人射击10次，击中靶心的概率是0.6，所以他击不中靶心的次数可能为10×(1－0.6)＝0.4.故选A、C、D.
[例2] (链接教科书第209页A组3题)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
(1)求各组的频率；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
[解] (1)频率依次是：0.223，0.193，0.165，0.042，0.048，0.121，0.208.
(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是223＋193＋165＋42＝623，
所以样本中寿命不足1 500小时的频率是 eq \f(623,1 000) ＝0.623.
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.623.
eq \a\vs4\al()
1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
[跟踪训练]
某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：
(1)将各次记录击中飞碟的频率填入表中；
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？
解：(1)射击次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是 eq \f(81,100) ＝0.81，同理可求得之后的频率依次约为0.792，0.820，0.820，0.793，0.806，0.807.
(2)击中飞碟的频率稳定在0.81附近，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.
[例3] 有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.
(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；
(2)摸球方法与(1)相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由．
[解] (1)记甲、乙摸出的数字为(x，y)，则共有16种情况，
则x>y的有(4，1)，(4，2)，(4，3)，(3，2)，(3，1)，(2，1)，共6种情况，故甲获胜的概率为 eq \f(6,16) ＝ eq \f(3,8) .
(2)不公平．理由如下：摸到的球上所标数字相同的情况有(4，4)，(3，3)，(2，2)，(1，1)，共4种情况，
故甲获胜的概率为 eq \f(4,16) ＝ eq \f(1,4) ，乙获胜的概率为 eq \f(12,16) ＝ eq \f(3,4) ，故不公平．
eq \a\vs4\al()
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的；
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．
[跟踪训练]
有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．
解：(1)A方案中，“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5；B方案中，“是4的整数倍的数”的概率为0.2，“不是4的整数倍的数”的概率为0.8；C方案中，“是大于4的数”的概率为0.6，“不是大于4的数”的概率为0.4.故选择B方案，猜“不是4的整数倍的数”获胜的概率最大．
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．
(3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性．
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．在同一次试验中，不同的样本点不可能同时发生
C．任意事件A发生的概率P(A)满足0D．若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是不可能事件
解析：选AB 随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，A说法正确；样本空间包含的样本点的特点是任意两个样本点是互斥的，在同一次试验中，不同的样本点不可能同时发生，B说法正确；必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，因此任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1.C说法错误；若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，但不是不可能事件，D说法错误．
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A． eq \f(1,999) B． eq \f(1,1 000)
C． eq \f(999,1 000) D． eq \f(1,2)
解析：选D 抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为 eq \f(1,2) .
3．高考数学试题中，有8道单项选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是 eq \f(1,4) ，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有2道题答对．”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
解析：选B 把解答一道选择题作为一次试验，答对的概率是 eq \f(1,4) 说明答对的可能性大小是 eq \f(1,4) .做8道单项选择题，即进行了8次试验，每个结果都是随机的，那么答对2道题的可能性较大，但是并不一定答对2道题，也可能都选错，或有2，3，4，…，甚至8个题都选择正确．
4．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是________，击中9环的频率是________．
解析：由题意可知，共射击10次，共有1次未中靶，所以未中靶的频率为 eq \f(1,10) ，所以中靶的频率是1－ eq \f(1,10) ＝ eq \f(9,10) ＝0.9，共有3次击中9环，所以击中9环的频率是 eq \f(3,10) ＝0.3.
答案：0.9 0.3
5．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．
解析：∵第1，2，4组的频数分别为6，7，9，∴第1，2，4组的频率分别为 eq \f(6,40) ＝0.15， eq \f(7,40) ＝0.175， eq \f(9,40) ＝0.225.
∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双).
答案：60
新课程标准解读
核心素养
结合实例，会用频率估计概率
数学抽象、逻辑推理
概率的意义
利用频率估计概率
分组
频数
频率
[500，900)
223
[900，1 100)
193
[1 100，1 300)
165
[1 300，1 500)
42
[1 500，1 700)
48
[1 700，1 900)
121
[1 900，＋∞)
208
射击次数
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数
81
95
123
82
119
129
121
击中飞碟的频率
游戏的公平性