专题5.10第5章相交线与平行线单元测试（基础卷）-2021-2022学年七年级数学下册同步培优题典【人教版】

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注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•长春期末）如图，∠B的内错角是（ ）
A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4
【分析】利用内错角定义可得答案．
【解析】A、∠B的内错角是∠1，故此选项符合题意；
B、∠B与∠2是同旁内角，故此选项不合题意；
C、∠B与∠3是同位角，故此选项不合题意；
D、∠B与∠4是不是内错角，故此选项不合题意；
故选：A．
2．（2020春•威县期末）如图，把河AB中的水引到C，拟修水渠中最短的是（ ）
A．CMB．CNC．CPD．CQ
【分析】根据点到直线的垂线段距离最短解答．
【解析】如图，CP⊥AB，垂足为P，
在P处开水渠，则水渠最短．
因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．
故选：C．
3．（2019春•金水区校级期中）如图，如果把△ABC的顶点A先向右平移2格，再向下平移6格到达D点，连接DB，那么线段DB与线段AC的关系是（ ）
A．互相垂直B．相等
C．互相平分D．互相平分且垂直
【分析】根据圆心画出图形，根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【解析】连接DC，DA．
由题意，BC＝BA，DC＝DA，
∴线段BD垂直平分线段AC，
故选：A．
4．（2019秋•平江县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOD＝90°．下列说法不正确的是（ ）
A．∠AOD＝∠BOCB．∠AOC＝∠AOE
C．∠AOE+∠BOD＝90°D．∠AOD+∠BOD＝180°
【分析】根据对顶角相等可得∠AOD＝∠BOC，AO不是∠COE的角平分线，因此∠AOC和∠AOE不一定相等，根据∠EOD＝90°，利用平角定义可得∠AOE+∠BOD＝90°，根据邻补角互补可得∠AOD+∠BOD＝180°
【解析】A、∠AOD＝∠BOC，说法正确；
B、∠AOC＝∠AOE，说法错误；
C、∠AOE+∠BOD＝90°，说法正确；
D、∠AOD+∠BOD＝180°，说法正确；
故选：B．
5．（2020秋•铁西区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠BOD＝42°，则∠AOM等于（ ）
A．138°B．148°C．159°D．169°
【分析】根据角平分线的定义求出∠BOM，根据邻补角的概念计算，得到答案．
【解析】∵OM平分∠BOD，∠BOD＝42°，
∴∠BOM=12∠BOD=12×42°＝21°，
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝159°，
故选：C．
6．（2020秋•锦州期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．同位角相等
C．互补的两个角不一定相等
D．两点之间，线段最短
【分析】根据对顶角相等、平行线的性质、补角的概念、线段的性质判断即可．
【解析】A、对顶角相等，是真命题；
B、∵两直线平行，同位角相等，
∴本选项说法是假命题；
C、互补的两个角不一定相等，是真命题；
D、两点之间，线段最短，是真命题；
故选：B．
7．（2019秋•诸城市期末）下列语句是命题的是（ ）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．
（4）过直线外一点作已知直线的垂线；
A．（1）（2）B．（3）（4）C．（1）（3）D．（2）（4）
【分析】根据命题的概念判断即可．
【解析】（1）两点之间，线段最短，是命题；
（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？不是命题；
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，是命题；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线，不是命题；
故选：C．
8．（2020秋•道外区期末）如图，若直线l1∥l2，则下列各式成立的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠4＝∠5C．∠2+∠5＝180°D．∠1+∠3＝180°
【分析】根据平行线的性质判断即可．
【解析】∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，
故选：D．
9．（2020•碑林区校级模拟）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．50°
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
【解析】∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．
故选：C．
10．（2020春•兴国县期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．
【解析】①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019春•西湖区校级月考）如图，∠2＝∠3＝65°，要使直线a∥b，则∠1＝ 50 度．
【分析】根据拼多多的判定解决问题即可．
【解析】要使直线a∥b，必须∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠1＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故答案为50．
12．（2019秋•胶州市期末）如图，∠C＝120°，请添加一个条件，使得AB∥CD，则符合要求的其中一个条件可以是 ∠BEC＝60° （答案不唯一） ．
【分析】欲证AB∥CD，在图中发现AB、CD被一直线所截，且已知一同旁内角∠C＝120°，故可按同旁内角互补两直线平行补充条件．
【解析】因为∠C＝120°，
要使AB∥CD，
则要∠BEC＝180°﹣120°＝60°（同旁内角互补两直线平行）．
故答案为：∠BEC＝60° （答案不唯一）．
13．（2020春•凌海市期末）如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4：③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．其中能判断AB∥CD的有 ①③④ ．（填写所有满足条件的序号）
【分析】根据平行线的判定定理即可直接作出判断．
【解析】①∵∠1＝∠2，∴AB∥BC，根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥BC；
②∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD；
③∠A＝∠DCE，根据同位角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；
④∠D+∠ABD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得AB∥CD．
故答案为：①③④．
14．（2020春•定远县期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有 ①②④ ．（填序号）
【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案．
【解析】①∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，
∴∠1＝∠3．
∴①正确．
②∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE．
∴②正确．
③∵∠2＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵∠B＝45°，
∴BC不平行于AD．
∴③错误．
④由②得AC∥DE．
∴∠4＝∠C．
∴④正确．
故答案为：①②④．
15．（2019春•下城区期末）如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：①∠1＝∠2；②∠C+∠ABC＝180°；③∠C＝∠CDE；④∠3＝∠4，能判断AB∥CD的是 ①② （填序号）．
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解析】①由∠1＝∠2，可以判定AB∥CD．
②由∠C+∠ABC＝180°，可以判定AB∥CD．
③由∠C＝∠CDE，可以判定BC∥AD．
④由∠3＝∠4，可以判定BC∥AD．
故答案为①②．
16．（2020春•丛台区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝3cm，将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移2cm，得到△FDE，则阴影部分的面积 8cm2 ．
【分析】先依据平移的性质得出四边形ABDF是平行四边形，又∠ABD＝90°，可证四边形ABDF是矩形；依据平移的性质得出S△ABC＝S△FDE，那么阴影部分的面积＝矩形ABDF的面积＝4×2＝8cm2．
【解析】由平移可得，DF＝AB，DF∥AB，
∴四边形ABDF是平行四边形，
又由平移的方向可得，∠ABD＝90°，
∴四边形ABDF是矩形；
由平移可得，△ABC≌△FDE，BD＝2cm，
∴S△ABC＝S△FDE，
∴阴影部分的面积＝矩形ABDF的面积＝AB•BD＝4×2＝8cm2．
故答案为：8cm2．
17．（2018秋•吴中区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．∠AOC=45∠COB，则∠BOF＝ 30 °．
【分析】根据对顶角相等求得∠BOD的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠EOD的度数，则∠COE即可求得，再根据角平分线的定义求得∠EOF，最后根据∠BOF＝∠EOF﹣∠BOF求解．
【解析】∵∠AOC=45∠COB，∠AOB＝180°，
∴∠AOC＝180°×49=80°，
∴∠BOD＝∠AOC＝80°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=12∠BOD=12×80°＝40°．
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣40°＝140°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=12∠COE=12×140°＝70°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOF＝70°﹣40°＝30°．
故答案是：30．
18．（2015春•南京校级期中）已知一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，且这两个角的差是30°，则这两个角的度数分别是 75°、105° ．
【分析】由两角的两边互相垂直可得出两角相等或互补，然后再根据这两个角的差是30°可知，该这个角互补，从而可求得这两个角的度数．
【解析】∵一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，
∴这两个角相等或互补．
又∵这两个角的差是30°，
∴这两个角互补．
设一个角为x，则另一个角为x+30°，
根据题意可知：x+x+30°＝180°．
解得：x＝75°，x+30°＝75°+30°＝105°．
故答案为：75°、105°．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•龙岩期中）在如图所示的方格中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的三个顶点都在格点（小方格的顶点）上．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，使A（﹣2，﹣1），C（1，﹣1），并写出点B的坐标；
（2）在（1）的条件下，将△ABC先向右平移4个单位长度再向上平移2个单位长度后可得到△A'B'C'，请在图中画出平移后的△A'B'C'，并分别写出点A'，B'，C'的坐标．
【分析】（1）根据A，C两点的坐标确定平面直角坐标系即可，根据点B的位置写出点B的坐标即可．
（2）分别作出A′，B′，C′即可解决问题．
【解析】（1）平面直角坐标系如图所示：B（0，1）．
（2）△A′B′C′如图所示．A′（2，1），B′（4，3），C′（5，1）．
20．（2020秋•南岗区校级期中）如图：已知：∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD交DC的延长线于点F，若∠ABC＝2∠E，则∠E+∠F＝90°，完成下列推理过程．
证明：
∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°
∴∠ADF＝∠BCF（ 同角的补角相等 ）
∴AD∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠ABE（ 角平分线的定义 ）
又∵∠ABC＝2∠E
∴∠ABE＝∠E
∴AB∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ）
∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD
∴∠ABE=12∠ABC，∠BAF=12∠BAD
∴∠ABE+∠BAF=12∠ABC+12∠BAD=12×180°＝90°
∵AB∥EF（ 已证 ）
∴∠BAF＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠ABE＝∠E
∴∠E+∠F＝90°（ 等量代换 ）
【分析】根据平行线的性质和判定，同角的补角相等以及等量代换，结合图形直观得出答案．
【解析】证明：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°
∴∠ADF＝∠BCF（同角的补角相等）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠ABE（角平分线定义）
又∵∠ABC＝2∠E
∴∠ABE＝∠E
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）
∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
BE平分∠ABC，AE平分∠BAD
∴∠ABE=12∠ABC，∠BAF=12∠BAD
∴∠ABE+∠BAF=12∠ABC+12∠BAD=12×180°＝90°
∵AB∥EF（己证）
∴∠BAF＝∠F（两直线平行，内错角相等）
∠ABE＝∠E
∴∠E+∠F＝90°（等量代换）
21．（2019秋•呈贡区期末）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝28°，求∠BOD的度数．
【分析】根据角的和差，可得∠EOF的度数，根据角平分线的性质，可得∠AOC的度数，根据补角的性质，可得答案．
【解析】由角的和差，得∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣28°＝62°．
由角平分线的性质，得∠AOF＝∠EOF＝62°．
由角的和差，得∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝62°﹣28°＝34°．
由对顶角相等，得
∠BOD＝∠AOC＝34°．
22．（2019秋•毕节市期末）如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB．
【分析】先利用角平分线定义得到∠3=12∠ADC，∠2=12∠ABC，而∠ABC＝∠ADC，则∠3＝∠2，加上∠1＝∠2，则∠1＝∠3，于是可根据平行线的判定得到DC∥AB．
【解析】证明：∵BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，
∴∠3=12∠ADC，∠2=12∠ABC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DC∥AB．
23．（2020春•昌吉州期中）如图，已知∠1＝52°，∠2＝128°，∠C＝∠D．求证：
（1）BD∥CE；
（2）∠A＝∠F．
【分析】（1）由∠1＝52°，∠2＝128°，得出∠1+∠2＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出BD∥CE；
（2）由BD∥CE得出∠C＝∠ABD，由∠C＝∠D得出∠ABD＝∠D，利用“内错角相等，两直线平行”可证出AC∥DF，进而可证出∠A＝∠F．
【解析】证明：（1）∵∠1＝52°，∠2＝128°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴BD∥CE；
（2）∵BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
又∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
24．（2020秋•惠来县期末）如图，直线EF、CD相交于点O，∠AOB＝90°，OC平分∠AOF．
（1）若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE＝30°，请直接写出∠BOD的度数；
（3）观察（1）、（2）的结果，猜想∠AOE和∠BOD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据互余、互补以及角平分线的意义，可求出答案；
（2）方法同（1），只是角度值改变而已；
（3）利用角平分线的意义、互余的意义以及等量代换，可得出答案．
【解析】（1）∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC=12∠AOF=12×140°＝70°
∵∠AOB＝90°
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠AOB＝180°﹣70°﹣90°＝20°
（2）方法同（1）可得，若∠AOE＝30°，则∠BOD＝15°
（3）猜想：∠BOD=12∠AOE，
理由如下：
∵OC平分∠AOF
∴∠AOC=12∠AOF
∵∠AOE+∠AOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE
∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，∠AOB＝90°
∴∠BOD+90°+12∠AOF＝180°，
∴∠BOD＝90°-12∠AOF＝90°﹣90°+12∠AOE=12∠AOE．
25．（2020春•五莲县期末）如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．
（1）求证：BE∥CF；
（2）若∠C＝35°，求∠BED的度数．
【分析】（1）求出∠1＝∠BFG，根据平行线的判定得出AC∥DG，求出∠EBF＝∠BFC，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠C＝∠CFG＝∠BEF＝35°，再求出答案即可．
【解析】（1）证明：方法一：∵∠1＝∠2，∠2＝∠BFG，
∴∠1＝∠BFG，
∴AC∥DG，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C，
∴∠EBF=12∠ABF，∠CFB=12∠BFG，
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF；
方法二：∵∠1＝∠2，∠1＝∠ABF，∠2＝∠BFG，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵∠ABF的平分线是BE，∠BFG的平分线是FC，
∴∠EBF=12∠ABF，∠CFB=12∠BFG，
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF；
（2）解：∵AC∥DG，BE∥CF，∠C＝35°，
∴∠C＝∠CFG＝35°，
∴∠CFG＝∠BEG＝35°，
∴∠BED＝180°﹣∠BEG＝145°．
26．（2020春•汉阳区校级期中）如图1所示，MN∥PQ，∠B与MN，PQ分别交于A、C两点．
（1）若∠MAB＝30°，∠QCB＝20°，求∠B的度数；
（2）如图2所示，直线AE，CD相交于D点，且满足∠BAM＝n∠MAE，∠BCP＝n∠DCP．
①当n＝2时，若∠ABC＝90°，求∠CDA的度数；
②试探究∠CDA与∠B的关系．
【分析】（1）过点B作BF∥MN，知∠BAM＝∠ABF＝30°，证PQ∥BF得∠CBF＝∠QCB＝20°，根据∠ABC＝∠ABF+∠CBF可得答案；
（2）①设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，由n＝2知∠BAM＝2x°，∠BCP＝2y°，∠BCQ＝180°﹣2y°，利用（1）的结论知∠ABC＝∠BAM+∠BCQ，据此得x﹣y＝﹣45，延长DA交PQ于点G，由MN∥PQ得∠MAE＝∠DGC＝x°，根据∠CDA＝∠DCP﹣∠DGC可得答案；
②设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，知∠BAM＝n∠MAE＝nx°，∠BCP＝n∠DCP＝ny°，∠BCQ＝180°﹣ny°，根据（1）中所得结论知∠ABC＝nx°+180°﹣ny°，即y°﹣x°=180°-∠ABCn，由MN∥PQ知∠MAE＝∠DGP＝x°，根据∠CDA＝∠DCP﹣∠DGC可得答案．
【解析】（1）如图1，过点B作BF∥MN，
则∠BAM＝∠ABF＝30°，
∵MN∥PQ，
∴PQ∥BF，
∴∠CBF＝∠QCB＝20°，
∴∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝50°；
（2）①设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，
当n＝2时，∠BAM＝2x°，∠BCP＝2y°，
∴∠BCQ＝180°﹣2y°，
由（1）知，∠ABC＝∠BAM+∠BCQ，
∴2x+180﹣2y＝90，整理，得：x﹣y＝﹣45，
如图2，延长DA交PQ于点G，
∵MN∥PQ，
∴∠MAE＝∠DGC＝x°，
则∠CDA＝∠DCP﹣∠DGC
＝y°﹣x°
＝﹣（x﹣y）°
＝45°；
②n∠CDA+∠ABC＝180°，
设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，则∠BAM＝n∠MAE＝nx°，∠BCP＝n∠DCP＝ny°，
∴∠BCQ＝180°﹣ny°，
由（1）知，∠ABC＝nx°+180°﹣ny°，
∴y°﹣x°=180°-∠ABCn，
∵MN∥PQ，
∴∠MAE＝∠DGP＝x°，
则∠CDA＝∠DCP﹣∠DGC
＝y°﹣x°
=180°-∠ABCn，
即n∠CDA+∠ABC＝180°．