2020年陕西省中考数学全真模拟数学试卷（a卷）【含答案】

这是一份2020年陕西省中考数学全真模拟数学试卷（a卷）【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年陕西省中考数学全真模拟数学试卷（A卷）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）如图，下面几何体的俯视图中没有圆的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝35°，则∠BED的度数是（　　）

A．60° B．68° C．70° D．72°
4．（3分）若正比例函数y＝kx的图象经过点（3，﹣9），则k的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．4a2÷2a2＝2a2 B．（﹣a3）2＝﹣a6
C．（﹣3a）+（﹣a）＝﹣4 D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2
6．（3分）如图，已知△ABC的面积为8，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AD于点P，连接PC，则△BPC的面积为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6
7．（3分）已知直线y＝x+1与y＝﹣2x+a的交点在第一象限，则a的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝24，tan∠ABD＝，则线段AB的长为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
9．（3分）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（　　）

A．70° B．55° C．45° D．35°
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线A：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线B，再将抛物线B通过上下平移得到抛物线C：y＝x2﹣2x+2，则抛物线B的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）在实数0、﹣、﹣2、中，最小的数是　 　．
12．（3分）如图，五边形ABCDE的外角中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，则∠A的度数是　 　．

13．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，若点A的坐标为（3，4），AB＝2，AD∥x轴，则点C的坐标为　 　．

14．（3分）如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足AB＝MN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB＝6，则当AN+PM的值最小时，线段AN的长度为　 　．

三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣3）3+（5﹣π）0﹣+（﹣1）﹣1．
16．（5分）化简：÷（a﹣）．
17．（5分）尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）．

18．（5分）如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．

19．（7分）世界卫生组织预计：到2025年，全世界将会有一半人面临用水危机．为了倡导“节约用水，从我做起”，某县政府决定对县直属机关500户家庭一年的月平均用水量进行调查，调查小组随机抽查了部分家庭的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图

根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）求被调查家庭的月平均用水量的中位数和众数；
（3）估计该县直属机关500户家庭的月平均用水量不少于12吨的约有多少户？
20．（7分）如图，小华和同伴春游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小桃树，他们想利用皮尺测倾器和平面镜测量小桃树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且测得BC＝6米，CD＝24米，∠CDE＝135°．已知小华的身高AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度（结果保留根号）

21．（7分）某公司计划购买A、B两种类型的电脑，已知购买一台A型电脑需要0.5万元，购买一台B型电脑需要0.3万元，该公司准备投入资金y万元，全部用于购进20台这两种类型的电脑，设购进A型电脑x台．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量的3倍，则该公司至少需要投入资金多少万元？
22．（7分）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为　 　；
（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（8分）如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．

24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），且与x轴交于另一点B，将抛物线的顶点记为D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（12分）问题提出
（1）如图1，已知等腰△ABC，BA＝BC，∠ABC＝80°，试在△ABC所在的平面内找一点P，使得∠APC＝40°：
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°，求△ABC面积的最大值与周长的最大值；
问题解决
（3）如图3，正方形ABCD是张叔叔家菜地示意图，其中AB＝200米，张叔叔计划在菜地中修建一个鱼塘（四边形CEFG），已知点E为AB中点，点F在边AD上，∠CEF＝90°，∠CGF＝120°，为了容纳更多的垂钓者，要求这个鱼塘的周长和面积尽可能大，你认为张叔叔的想法是否能实现？若能，求出这个四边形CEFG周长的最大值；若不能，请说明理由．


2020年陕西省中考数学全真模拟数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．（3分）如图，下面几何体的俯视图中没有圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】俯视图是从几何体的正面看所得到的视图，分别找出四个几何体的俯视图可得答案．
【解答】解：A、正方体的俯视图是正方形，故此选项符合题意；
B、球的俯视图是圆形，故此选项不符合题意；
C、圆锥的俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意；
D、圆柱的俯视图是圆形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图是从几何体的正面看所得到的视图．
3．（3分）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝35°，则∠BED的度数是（　　）

A．60° B．68° C．70° D．72°
【分析】由AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝35°，根据两直线平行，内错角相等，易求得∠ABE的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝35°，
∴∠ABC＝∠C＝35°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABC＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠ABE＝70°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．
4．（3分）若正比例函数y＝kx的图象经过点（3，﹣9），则k的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
【分析】由正比例函数图象上一点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（3，﹣9），
∴﹣9＝3k，
∴k＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．4a2÷2a2＝2a2 B．（﹣a3）2＝﹣a6
C．（﹣3a）+（﹣a）＝﹣4 D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：4a2÷2a2＝2，故选项A错误；
（﹣a3）2＝a6，故选项B错误；
（﹣3a）+（﹣a）＝﹣4a，故选项C错误；
（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
6．（3分）如图，已知△ABC的面积为8，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AD于点P，连接PC，则△BPC的面积为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6
【分析】根据等腰三角形底边上的三线合一的性质可得AP＝PD，然后根据等底等高的三角形面积相等求出△BPC的面积等于△ABC面积的一半，代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分线，
∴AP＝PD，
∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，
∴S△BPC＝S△BPD+S△CPD＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∵△ABC的面积为8，
∴S△BPC＝×8＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形底边上的三线合一的性质，三角形的面积的运用，利用等底等高的三角形的面积相等求出△BPC的面积与△ABC的面积的关系是解题的关键．
7．（3分）已知直线y＝x+1与y＝﹣2x+a的交点在第一象限，则a的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】可以先计算出交点坐标，再根据交点在第一象限（即横纵坐标都为正数）分析解答；
【解答】解：由方程组
解得：
所以两直线的交点坐标为（，）
∵已知两直线的交点在第一象限，
∴，即
解得：a＞1
由于2＞1
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数与系数的关系，有一定的难度；再一次函数的图象问题上，“交点”往往是解题的关键点，这里提到的“交点”有时指的是函数图象之间的交点，有时指的是函数图象与坐标轴的交点，在不同的题目里，根据需要找出这些“交点”是解题的关键．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝24，tan∠ABD＝，则线段AB的长为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO＝CO，OB＝OD，求出OB，由tan∠ABD＝可求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，OB＝OD，
∴∠AOB＝90°，
∵BD＝24，
∴OB＝12，
∵tan∠ABD＝＝，
∴AO＝9，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝15，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
9．（3分）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（　　）

A．70° B．55° C．45° D．35°
【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA＝OB，可求出∠ABO的度数
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，
∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，
∵OA＝OB（都是半径），
∴∠ABO＝∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝55°．
故选：B．

【点评】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线A：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线B，再将抛物线B通过上下平移得到抛物线C：y＝x2﹣2x+2，则抛物线B的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．
【解答】解：抛物线A：y＝x2﹣2的顶点坐标是（0，﹣2），抛物线C：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1）．
则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C．
所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y＝（x﹣1）2﹣2，
所以其顶点坐标是（1，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）在实数0、﹣、﹣2、中，最小的数是　　．
【分析】根据“正数肯定大于负数，两个负数比大小，绝对值大的反而小”来分析；
【解答】解：因为在实数范围内，负数＜0＜正数
所以﹣、﹣2两个数较小
又因为﹣2＝﹣
所以﹣
即最小的数是﹣
故答案为
【点评】本题主要考查在实数范围内比较数字的大小，重点掌握“两个负数比大小，绝对值大的反而小”这个规律是解题的关键．
12．（3分）如图，五边形ABCDE的外角中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，则∠A的度数是　120°　．

【分析】根据多边形的外角和求出与∠A相邻的外角的度数，然后根据邻补角的和等于180°列式求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，
∴与∠A相邻的外角＝360°﹣75°×4＝360°﹣300°＝60°，
∴∠A＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了多边形的外角和，利用多边形的外角和等于360度进行计算是解决问题的关键．
13．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，若点A的坐标为（3，4），AB＝2，AD∥x轴，则点C的坐标为　（6，2）　．

【分析】根据矩形的性质和A点的坐标，即可得出C的纵坐标为2，设C（x，2），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出k＝2x＝3×4，解得x＝6，从而得出C的坐标为（6，2）．
【解答】解：∵点A的坐标为（3，4），AB＝2，
∴B（3，2），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AD∥x轴，
∴BC∥x轴，
∴C点的纵坐标为2，
设C（x，2），
∵矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝2x＝3×4，
∴x＝6，
∴C（6，2），
故答案为（6，2）．
【点评】本题考查了据反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得C的纵坐标为2是解题的关键．
14．（3分）如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足AB＝MN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB＝6，则当AN+PM的值最小时，线段AN的长度为　2　．

【分析】过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N'，过P作PM'∥AE交BD于M'，当M、N分别与M'、N'重合时，此时AN+PM＝AE的值最小，根据勾股定理得到AE＝＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N'，过P作PM'∥AE交BD于M'，当M、N分别与M'、N'重合时，此时AN+PM＝A'+EN'＝AEN'+PM'＝AE的值最小，

∵P是BC的中点，
∴E为CD的中点，
∴PE＝BD，
∵AB＝BD，AB＝PE，
∴PE∥BD，PM'∥AE，
∴四边形PEN'M'是平行四边形，
∴PE＝M'N'，
∴AB＝M'N'＝MN，满足题中条件，
∵AE＝＝3，
∵AB∥CD，
∴△ABN'∽△EDN'，
∴＝2，
∴AN'＝2，即AN＝2．
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短距离问题，平行三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的，正确的作出M，N的位置是解题的关键．
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣3）3+（5﹣π）0﹣+（﹣1）﹣1．
【分析】按照乘方、零指数幂、算术平方根、负整数指数幂的意义解题即可．
【解答】解：原式＝﹣27+1﹣4+（﹣1）＝﹣31．
【点评】本题主要考查乘方、零指数幂、算术平方根、负整数指数幂的意义，这些知识点需要牢牢记住，细心计算，这样才能在计算题中又稳又快的拿到分数．
16．（5分）化简：÷（a﹣）．
【分析】首先计算括号里面的运算，然后计算除法即可．
【解答】解：÷（a﹣）
＝÷
＝
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，要熟练掌握，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
17．（5分）尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）．

【分析】作互相垂直的两条直径AC，BD即可解决问题．
【解答】解：如图，正方形ABCD即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（5分）如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．

【分析】证出FE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出FE＝AB，FE∥AB，得出∠EFC＝∠BAC＝90°，得出∠DAF＝∠EFC，AD＝FE，证明△ADF≌△FEC得出DF＝EC，即可得出结论．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝90°，
∵点E，F分别是边BC，AC的中点，
∴AF＝FC，BE＝EC，FE是△ABC的中位线，
∴FE＝AB，FE∥AB，
∴∠EFC＝∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠EFC，
∵AD＝AB，
∴AD＝FE，
在△ADF和△FEC中，，
∴△ADF≌△FEC（SAS），
∴DF＝EC，
∴DF＝BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键．
19．（7分）世界卫生组织预计：到2025年，全世界将会有一半人面临用水危机．为了倡导“节约用水，从我做起”，某县政府决定对县直属机关500户家庭一年的月平均用水量进行调查，调查小组随机抽查了部分家庭的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图

根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）求被调查家庭的月平均用水量的中位数和众数；
（3）估计该县直属机关500户家庭的月平均用水量不少于12吨的约有多少户？
【分析】（1）根据用水10吨的人数和所占的百分比可以求得本次调查的户数，从而可以求得用水11吨的户数，进而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据（1）中的条形统计图，可以写出中位数和众数；
（3）根据统计图中的数据可以求得该县直属机关500户家庭的月平均用水量不少于12吨的约有多少户．
【解答】解：（1）本次调查的户数为：10÷20%＝50，
用水11吨的住户有：50×40%＝20（户），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）由统计图中的数据可知，中位数是11吨、众数是11吨；
（3）500×（10%+20%+10%）
＝500×40%
＝200（户）
答：该县直属机关500户家庭的月平均用水量不少于12吨的约有200户．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（7分）如图，小华和同伴春游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小桃树，他们想利用皮尺测倾器和平面镜测量小桃树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且测得BC＝6米，CD＝24米，∠CDE＝135°．已知小华的身高AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度（结果保留根号）

【分析】根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵∠CDE＝135°，
∴∠EDF＝45°，
设EF为x米，DF＝x米，DE＝x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴，
即＝，
解得：x＝8，
∴DE＝8，
答：DE的长度为8米．

【点评】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的性质解答．
21．（7分）某公司计划购买A、B两种类型的电脑，已知购买一台A型电脑需要0.5万元，购买一台B型电脑需要0.3万元，该公司准备投入资金y万元，全部用于购进20台这两种类型的电脑，设购进A型电脑x台．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量的3倍，则该公司至少需要投入资金多少万元？
【分析】（1）由A型电脑费用+B型电脑费用＝投入资金，可得y关于x的函数表达式；
（2）由题意列出不等式，可得x≥5，由一次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）y＝0.5x+0.3（20﹣x）＝0.2x+6（0＜x＜20）；
（2）由题意可得：20﹣x≤3x，
∴x≥5，
∵y＝0.2x+6中，0.2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，y最小值＝0.2×5+6＝7（万元）
答：该公司至少需要投入资金7万元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出正确的函数关系式是本题的关键．
22．（7分）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为　　；
（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率＝＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，
所以两次摸到红球的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
23．（8分）如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．

【分析】（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OE，再证∠FEO＝90°即可；
（2）先证明△FEA∽△FBE，根据相似三角形对应边成比例求出AF＝5，BF＝20，BE＝2AE．再根据圆周角定理得出∠AEB＝90°，利用勾股定理列方程，即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵∠B的平分线BE交AC于D，
∴∠CBE＝∠ABE．
∵EF∥AC，
∴∠CAE＝∠FEA．
∵∠OBE＝∠OEB，∠CBE＝∠CAE，
∴∠FEA＝∠OEB．
∵∠AEB＝90°，
∴∠FEO＝90°．
∴EF是⊙O切线．

（2）解：在△FEA与△FBE中，
∵∠F＝∠F，∠FEA＝∠FBE，
∴△FEA∽△FBE，
∴＝＝，
∴AF•BF＝EF•EF，
∴AF×（AF+15）＝10×10，
解得AF＝5．
∴BF＝20．
∴＝，
∴BE＝2AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE2+BE2＝152，
∴AE2+（2AE）2＝225，
∴AE＝3．

【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），且与x轴交于另一点B，将抛物线的顶点记为D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在．
如图，

y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．
∴D（1，4），
①若以CD为底边，则P1D＝P1C，
设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y＝4﹣x．
又P1点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1＝0，
解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点P1坐标为（，）．
②若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，
此时点P2坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．
【点评】考查了二次函数综合题，此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．
25．（12分）问题提出
（1）如图1，已知等腰△ABC，BA＝BC，∠ABC＝80°，试在△ABC所在的平面内找一点P，使得∠APC＝40°：
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°，求△ABC面积的最大值与周长的最大值；
问题解决
（3）如图3，正方形ABCD是张叔叔家菜地示意图，其中AB＝200米，张叔叔计划在菜地中修建一个鱼塘（四边形CEFG），已知点E为AB中点，点F在边AD上，∠CEF＝90°，∠CGF＝120°，为了容纳更多的垂钓者，要求这个鱼塘的周长和面积尽可能大，你认为张叔叔的想法是否能实现？若能，求出这个四边形CEFG周长的最大值；若不能，请说明理由．

【分析】（1）如图1中，以B为圆心，BC长为半径作⊙B．在优弧AC上取一点P，连接PA、PC，则∠APC即为所求；
（2）①如图2中，作线段BC的垂直平分线，在BC的垂直平分线上取一点O，使得∠BOC＝120°，以O为圆心，OB长为半径作⊙O交BC的垂直平分线于A1．当点A与点A1重合时，△ABC的面积最大，此时△A′BC是等边三角形，面积的最大值＝×42＝4．
②如图3中，作等边三角形△O1BC，以O1为圆心，O1B为半径作⊙O1．延长BA交⊙O1于D，连接CD，首先证明AC＝AD，推出AB+AC＝AB+AD＝BD，推出BD的值最大时，△ABC的周长最大；
（3）能实现．首先证明△EFC的形状大小不变，周长，面积是定值，要使得四边形EFGC的面积、周长最大，只要△GFC的面积最大，周长最大即可，由（2）可知，当GF＝GC时，△GFC的面积最大，周长最大；
【解答】解：（1）如图1中，以B为圆心，BC长为半径作⊙B．

在优弧AC上取一点P，连接PA、PC，则∠APC即为所求；

（2）如图2中，作线段BC的垂直平分线，在BC的垂直平分线上取一点O，使得∠BOC＝120°，以O为圆心，OB长为半径作⊙O交BC的垂直平分线于A1．

∵∠BAC＝∠BA1C＝60°，
当点A与点A1重合时，△ABC的面积最大，此时△A′BC是等边三角形，面积的最大值＝×42＝4．

如图3中，作等边三角形△O1BC，以O1为圆心，O1B为半径作⊙O1．延长BA交⊙O1于D，连接CD，

∵∠D＝∠BO1C＝30°，∠BAC＝∠D+∠ACD＝60°，
∴∠D＝∠ACD＝30°，
∴AC＝AD，
∴AB+AC＝AB+AD＝BD，
∴BD的值最大时．△ABC的周长最大，
∴当BD是为直径时，△ABC的周长最大，此时点A与O1重合，△ABC是等边三角形，
∴△ABC为等边三角形时，周长最大，最大值为12．

（3）能实现．理由如下：
如图4中，连接CF，作GH⊥CF于H．

∵∠A＝∠B＝∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°，
∴∠AEF＝∠BCE，
∴△AEF∽△BCE，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝50，
∴EF＝50，EC＝100，CF＝250，
∴△EFC的形状大小不变，周长，面积是定值，
∵要使得四边形EFGC的面积、周长最大，
∴只要△GFC的面积最大，周长最大即可，
由（2）可知，当GF＝GC时，△GFC的面积最大，周长最大，
∵GF＝GC，GH⊥CF，∠FGC＝120°，
∴FH＝HC＝125，∠GCH＝30°
∴GC＝GF＝，
∴这个四边形CEFG周长的最大值＝50+100+＝150+（m）
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆的有关知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2020/6/19 16:02:06；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.com；学号：24602080