东三省三校联考2022届高三下学期一模数学（理）PDF版含答案

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理科数学答案
一、选择题
1-6. B D C D C C 7-12 B B A C B A
二、填空题
13. 15. 16. ②③④
三、解答题
17.解：（1）从茎叶图观察分析得，
女性幸福指数有65%在茎4，5，6上，中位数是46.5
男性幸福指数有65%在茎3，4，5上，中位数是38
所以，女性的幸福指数相对较高. ------------------4分
（其他理由酌情给分）
（2）
------------------6分
， ------------------10分
所以，有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关. ------------------12分
18.解：(1) 由正弦定理，
------------------2分
------------------4分
，，又， ------------------6分
(2) 角的内角平分线与边交于点,若选择 = 1 \* GB3 ①
，由及，得,,, ----------8分
------------------9分
. ------------------12分
若选择 = 2 \* GB3 ②
.
--------------------7分
又
--------------------8分
--------------------9分
. ------------------12分
19.（1）证：
∽
------------------3分
------------------5分
(2)
以为原点,分别以,建系 -----------------6分
,
,
,
设平面的法向量,
,令,则 -------------------8分
设平面的法向量
,令,则 -------------------10分

又二面角是锐角,因此,二面角的余弦值为.------------------12分
20.解：（1），设（）.
直线的方程为：
直线的方程为： ------------------2分
，， ------------------3分
， ------------------4分
（2）由（1）知：设直线的方程：，直线的方程：
得：，由对称性，不妨设，，
------------------6分
由（1）知，异号，异号，
到的距离 ------------------8分
------------------10分
，当且仅当取“=”.
------------------12分
21. 解：（1）时，
（方法一）在区间上单调递增
∵，，∴存在，使得，即 -------------------2分
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增
∴
∴ ------------------4分
（方法二）
设，则，
当时，；当时，
∴在区间上单调递减，上单调递增.
∴，即（当且仅当时取等号）， ------------------2分
∴，则，即（当且仅当时取等号）
因上述两个不等式等号不同时取到，∴
∴. ------------------4分
（2）（ⅰ）由已知，，且为正整数，或
①时，令，
∴在区间上单调递增，
∴
∴在区间上单调递增，
∴
即恒成立. ------------------6分
②时，令
在区间上单调递增
∵，，
∴存在，使得，
当时，，则区间上单调递减
（方法一）
（方法二）
从而不满足恒成立.
故.
综上，正整数的取值集合为. -----------------9分
（ⅱ）（方法一）
由（ⅰ）知，时，
令，则，
∴
∴
∵且，
∴
∴ ------------------12分
（方法二）：
设，
当，，在上递减，在上递增
，
令，
设，
在上递增，在上递减，
，令，
------------------12分
选考题：
22.解：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
------------------4分
(2)曲线的参数方程为 ------------------6分
代入，得， ------------------8分
------------------10分
23.解：（1）
当时，
当时， 恒成立，
当时， ------------------3分
所以不等式的解集为. ------------------5分
（2）（方法一）：
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，取最小值3，即. ------------------7分
（方法二）：
，当且仅当等号取到，
取最小值3，即 ------------------7分
∵
由柯西不等式知
当且仅当时取等号，
∴的最小值是12. ------------------10分

一般幸福
非常幸福
合计
男性
16
4
20
女性
11
9
20
合计
27
13
40