高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第4章　平面向量4.3(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第4章　平面向量4.3(教师版)，共8页。
一、选择题
1．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A.eq \f(8,65) B．－eq \f(8,65) C.eq \f(16,65) D．－eq \f(16,65)
答案 C
解析 由题可知，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)．由cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(16,65).故选C.
2．已知向量a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则eq \f(|2a－b|,a·a＋b)等于( )
A．－eq \f(5,3) B．1 C．2 D.eq \f(5,4)
答案 B
解析 ∵a⊥b，∴2m－2＝0，∴m＝1，则2a－b＝(0,5)，a＋b＝(3,1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，∴eq \f(|2a－b|,a·a＋b)＝eq \f(5,5)＝1.故选B.
3．已知△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果eq \(OD,\s\up16(→))＋eq \(DE,\s\up16(→))＋eq \(DF,\s\up16(→))＝0，且|eq \(OD,\s\up16(→))|＝|eq \(DF,\s\up16(→))|，则向量eq \(EF,\s\up16(→))在eq \(FD,\s\up16(→))方向上的投影为( )
A．6 B．－6 C．2eq \r(3) D．－2eq \r(3)
答案 B
解析 由eq \(OD,\s\up16(→))＋eq \(DE,\s\up16(→))＋eq \(DF,\s\up16(→))＝0得，eq \(DO,\s\up16(→))＝eq \(DE,\s\up16(→))＋eq \(DF,\s\up16(→)).
∴DO经过EF的中点，∴DO⊥EF.
连接OF，∵|eq \(OF,\s\up16(→))|＝|eq \(OD,\s\up16(→))|＝|eq \(DF,\s\up16(→))|＝4，
∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°.
∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin60°×2＝4eq \r(3).
∴向量eq \(EF,\s\up16(→))在eq \(FD,\s\up16(→))方向上的投影为|eq \(EF,\s\up16(→))|·cs〈eq \(EF,\s\up16(→))，eq \(FD,\s\up16(→))〉
＝4eq \r(3)cs150°＝－6，故选B.
4．已知非零向量eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(AC,\s\up16(→))满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up16(→)),|\(AB,\s\up16(→))|)＋\f(\(AC,\s\up16(→)),|\(AC,\s\up16(→))|)))·eq \(BC,\s\up16(→))＝0且eq \f(\(AB,\s\up16(→)),|\(AB,\s\up16(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up16(→)),|\(AC,\s\up16(→))|)＝eq \f(1,2)，则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
答案 D
解析 因为非零向量eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(AC,\s\up16(→))满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up16(→)),|\(AB,\s\up16(→))|)＋\f(\(AC,\s\up16(→)),|\(AC,\s\up16(→))|)))·eq \(BC,\s\up16(→))＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.又cs∠BAC＝eq \f(\(AB,\s\up16(→)),|\(AB,\s\up16(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up16(→)),|\(AC,\s\up16(→))|)＝eq \f(1,2)，所以∠BAC＝eq \f(π,3).
所以△ABC为等边三角形．故选D.
5．在△ABC中，|eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(3)|eq \(AB,\s\up16(→))－eq \(AC,\s\up16(→))|，|eq \(AB,\s\up16(→))|＝|eq \(AC,\s\up16(→))|＝3，则eq \(CB,\s\up16(→))·eq \(CA,\s\up16(→))的值为( )
A．3 B．－3 C．－eq \f(9,2) D.eq \f(9,2)
答案 D
解析 由|eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(3)|eq \(AB,\s\up16(→))－eq \(AC,\s\up16(→))|两边平方可得，eq \(AB,\s\up16(→))2＋eq \(AC,\s\up16(→))2＋2eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))＝3(eq \(AB,\s\up16(→))2＋eq \(AC,\s\up16(→))2－2eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→)))，即eq \(AB,\s\up16(→))2＋eq \(AC,\s\up16(→))2＝4eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))，又|eq \(AB,\s\up16(→))|＝|eq \(AC,\s\up16(→))|＝3，所以eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(9,2)，又因为eq \(CB,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))－eq \(AC,\s\up16(→))，所以eq \(CB,\s\up16(→))·eq \(CA,\s\up16(→))＝(eq \(AB,\s\up16(→))－eq \(AC,\s\up16(→)))·(－eq \(AC,\s\up16(→)))＝eq \(AC,\s\up16(→))2－eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))＝9－eq \f(9,2)＝eq \f(9,2)，故选D.
6．已知向量eq \(OA,\s\up16(→))与eq \(OB,\s\up16(→))的夹角为60°，且|eq \(OA,\s\up16(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up16(→))|＝2，若eq \(OC,\s\up16(→))＝meq \(OA,\s\up16(→))＋neq \(OB,\s\up16(→))，且eq \(OC,\s\up16(→))⊥eq \(AB,\s\up16(→))，则实数eq \f(m,n)的值为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4) C．6 D．4
答案 A
解析 eq \(OA,\s\up16(→))·eq \(OB,\s\up16(→))＝3×2×cs60°＝3，∵eq \(OC,\s\up16(→))＝meq \(OA,\s\up16(→))＋neq \(OB,\s\up16(→))，且eq \(OC,\s\up16(→))⊥eq \(AB,\s\up16(→))，
∴(meq \(OA,\s\up16(→))＋neq \(OB,\s\up16(→)))·eq \(AB,\s\up16(→))＝(meq \(OA,\s\up16(→))＋neq \(OB,\s\up16(→)))·(eq \(OB,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→)))＝(m－n)eq \(OA,\s\up16(→))·eq \(OB,\s\up16(→))－meq \(OA,\s\up16(→))2＋neq \(OB,\s\up16(→))2＝0，
∴3(m－n)－9m＋4n＝0，
∴eq \f(m,n)＝eq \f(1,6).故选A.
7．已知直线y＝x＋m和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，若eq \(AO,\s\up16(→))·eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \f(3,2)，则实数m＝( )
A．±1 B．±eq \f(\r(3),2) C．±eq \f(\r(2),2) D．±eq \f(1,2)
答案 C
解析 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,x2＋y2＝1，))消去y得2x2＋2mx＋m2－1＝0，由Δ＝4m2－8(m2－1)>0，得－eq \r(2)