小升初数学思维训练教程-326页

这是一份小升初数学思维训练教程-326页，共325页。试卷主要包含了知识地图，基础知识，拓展训练，经典透析，六年级共展出22幅画，问等内容，欢迎下载使用。
数学思维训练教程

小升初系统总复习
目 录
目 录 3
第1讲 计算（一） 速算与巧算 4
第2讲 计算（二） 比较大小、估算、定义新运算 20
第3讲 数字谜、数阵图、幻方 35
第4讲 数论（一） 整除、奇偶性、极值问题 53
第5讲 数论（二） 约数倍数、质数合数、分解质因数 66
第6讲 数论（三） 带余除法、同余性质、中国剩余定理 79
第7讲 几何（一） 平面图形 92
第8讲 几何（二） 曲线图形 116
第9讲 几何（三） 立体图形 130
第10讲 典型应用题（一）和差倍、年龄、植树问题 142
第11讲 典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题 151
第12讲 牛吃草问题 161
第13讲 行程（一） 相遇追及（多次）、电车问题 170
第14讲 行程（二） 平均速度、变速度、流水、电梯 188
第15讲 行程（三） 行程中的比例 201
第16讲 分数与百分数 218
第17讲 工程问题 229
第18讲 浓度与经济问题 247
第19讲 方程 257
第20讲 排列组合 270
第21讲 容斥原理 283
第22讲 抽屉原理 297
第23讲 逻辑推理 305
第24讲 统筹与策略 324

第1讲 计算（一） 速算与巧算
一、知识地图
速算与巧算
整数计算
基本公式
平方、立方公式
数列及特殊公式
特殊方法
分数计算
拆分与裂项
几个常用拆分分数
循环小数化分数

二、基础知识
（一）整数计算
1、基本公式
（1） 加法交换律：
（2） 加法结合律：
（3） 减法的性质：
（4） 乘法交换律：
（5） 乘法结合律：
（6） 乘法分配律：
（7） 除法的性质：


2、平方、立方公式
（1） 完全平方公式：
（2） 平方差公式：
仅做了解
（3） 完全立方公式：
（4） 立方和公式：
（5） 立方差公式：
3、数列及特殊公式
（1） 等差数列：
A) 通项公式：………………为什么要“n-1”呢？
B) 求项数公式：………………为什么要“+1”呢？
C) 求和公式：………………为什么要“÷2”呢？
关于这个等差数列，同学们可以联系植树问题的数量关系来看，怎么把植树问题与等差数列联系在一起呢？
“在数轴上植树”，这可是带有一定的技术含量的……
如图：

请体会这里数字与“树”对应、公差与“株距间隔”对应。
例如：
a) 22这个数是“第七棵树”，要由“第一棵树”加上六个“间隔”得到，算式为： 22=4+（7-1）×3；
b) 如果要求这个数列从4到25，一共有多少个数，相当于把4看作第一棵树，问25是第几棵树？
可以思考，从4到25一共有多少个“间隔”，
（25-4）÷3=7，
所以应该是“第8棵树”，这里注意到了为什么求项数“加1”了吧？
c) 求和公式的来龙去脉，同学们不可不知：
法一：高斯“配对法”。
例如，在计算1+2+3+…+8+9这一串数列的和时，我们可以把第一个数加上最后一个数，第二个数加上倒数第二个数，这样，一直到第四个数加上倒数第四个数，每一对数的和都是10，这里，要注意还有一个“中间数”5，，没有配上对，所以，这组数列9个数的和是10×4+5=45。
法二：借来还去法。
例如，还是计算1+2+3+…+8+9这一串数列吧，如果我再“借”来一串“9+8+7+…+3+2+1”，
这么一串数只是把原来的数列颠倒一下顺序，可以知道两串数是相等的。所以，如果我把这两串数的和求出来，是一定要“除以2”的！
问题在于，本来要求一串数的和，干嘛我还扯上了另一串，这样做好算吗？答案正在这个地方，就是因为再有这么一串倒过来的数，好算不得了——“变异为同”了！
如图：

所以，可以得出，10×9÷2=45
回头再看，这里的10可以用（1+9）为代表，则得：
（1+9）×9÷2=45
再推广开去，对于其他等差数列，都有这么一个公式：
和=（首项+末项）×项数÷2

（2） 等比数列：


（3）
a)
b)
（4）
（5）

（n≤9）
（6）
（7）
这一类的数不妨称之为“重码数”，关键于把一个循环节的“个位”的“1”作为记数单位，结合位值原则，我们可以得到上述结果。
4、特殊方法
（1） 凑整法：利用运算公式和运算律（如交换律、结合律、分配律）将一些数凑成整一或整十整百再计算。
（2） 换元法：将一些数或一个式子记为某个字母，如a，b，c…… 达到化繁为简的目的。
（二）分数计算
1、拆分与裂项
（1）
（2）
（3）
（4）
2、几个常用拆分分数





… …
3、循环小数化分数


请聪明的你，来比较1与0.99999999……的大小？
你可能已经知道：0.9999999……=1
也就是：=1，可是这是为什么呢？
铺垫：
==
==
==
== ==


以此题为例推导：

设 为A，那么100A=
10000A=
所以：10000A-100A=1234-12
9900A=1234-12


注意：循环小数化分数，分母中9的个数与其循环节的位数对应，0的个数与小数点后不循环的位数对应。分子是不循环部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数相减所得到的差。
三：经典透析
【例1】：（☆☆☆）
审题要点：
1） 看题目中的数，聪明的你是否发现了什么秘密？
对了，每一个数都有一个小秘密：


…
2） 发现了秘密就赶紧动手吧！
详解过程：




专家点评：

原来平方差公式还可以这么用！

这道题目不是很难，关键是要学会“凑整”的思路！
【例2】（☆☆☆）
审题要点：
1） 好大的数啊！别怕，肯定有绝招。
2） 哈哈，终于发现了数之间的小秘密。

详解过程：

专家点评：
做这道题目，你会发现，奥数的很多题目，不仅仅是记公式就能解决的，很多时候需要你对公式进行消化吸收，达到灵活应用才能在用时得心应手。

【例3】（☆☆☆☆）

①；
②凑整；
③提取公因数；
④“借来还去”思想。


审题要点：
1） 这题看着很熟悉→联想平方求和公式
2） 可是起始的数不是？
没关系，缺什么补什么！
详解过程：


①提取公因数的两大特征：
一是要有“公因数”，“疑似”公因数也不错，我们可以借助下面两招对它加工。
二是要有互补数。
②
③

专家点评：
很多题目不能就题论题，你必须要在熟练应用公式的前提下，做适当的变换，这道题目就是一个很好的例子。
【例4】（☆☆☆☆）
审题要点：
1）“73”好像是关键。
2）如果可以提取73，那不是很简单？
试试吧！
详解过程：

专家点评：此处利用了分拆法，将730分拆为73×10，153.3分拆为73×2.1，目的都是为了构造出“公因数”73。此种构造方法很常用，你学会了吗？
【例5】（☆☆☆☆）

审题要点：
1） 分母很特别哦：
2）
3）

详解过程：
原式=
=
=
=
专家点评：
这道题目稍微有点难度，需要先归纳分母的通项，然后利用裂项进行解题，所以同学们应该在记住公式的同时做适当的综合应用。
【例6】（☆☆☆☆）
审题要点：
1） 分数相加，分子不相等，似乎不能裂项；
2） 如果做一下变换呢？


…
试试吧。
详解过程：
原式=
=
=
=
=
=
专家点评：
这道题目的解题关键在于对裂项的熟练应用。题目本身并不是很难，但是需要同学认真仔细。
【例7】（☆☆☆☆）＝
审题要点：
1）既然题目这样出了，说明绝大部分项能够裂项约掉！试验可知：
，（这两个利用辗转相除法），能够约掉37，看来确实可以裂项。
详解过程：
观察到5，37，101以及约去的最大公约数17和65都是偶数的平方+1，所以立刻猜测最后的约分后等于，原式等于。
专家点评：这是一道比较难的计算题，很多人认为只有到了初中，学了因式分解才有可能做出来。但是，小学生如果能够有“找规律”的思维，也是完全可以得出答案的。本题解题的关键在于“试算观察法”与“辗转相除法”的综合运用，你学会了么？
【例8】（☆☆☆☆）

审题要点：
1）看到这么庞大的算式，应该想到要换元；
2）换元时注意要整个括号作为一个整体代换；
3）不妨设

详解过程：
原式
=
=
=
=9
专家点评：
“换元”法在庞大的数学计算中经常用到，数学题目很少是需要你对一个复杂的式子进行每一步的计算，一般都有简便算法，这些需要你平时多积累。利用换元法解题时有两种可能性：一，换元的未知数最后都消去，可直接得出答案。二，换元的未知数不能完全消去，那么就应该将原数或原式重新代入计算，此时的代入计算将很简单，如本题中最后（a-b）须换回原来式子计算得。
【例9】（☆☆☆☆）
审题要点：
1）：有循环小数的计算，首先要进行分数转换。
2）：每个数都是混循环小数，应该怎样化成分数？
详解过程：
原式=+++…+
=++…+
=
=
=
专家点评：
循环小数化分数，你学会了么？这是个很重要的知识，在比较大小和计算过程中经常用到。
另外，如果对循环小数的性质很熟悉的话，知道=1，则可观察到：


还有一个，所以总和为

。
经验证，。

四、拓展训练
1. =

[初级点拨] 这道题目不难，关键是考察对公式的应用
；
[深度提示] 注意哦，分母中1与3，3与5都是要差2，所以在裂项时，括号外面要乘以；
[全解过程] 原式=
=
=
=


2. （－＋…－＋）×（1－＋－＋－…＋）
－（1－＋－＋－…＋－）×（－＋…－）=_______。

[初级点拨] 这么庞大的式子，换元毫无疑问，但是要找好，到底换什么哦。
[深度提示] 换元时，可以设，；
[全解过程] 设，
原式=
=++
=
=


3. =________。

[初级点拨] 类似于例题2；
[深度提示] 运用平方差公式，你会了么？
[全解过程] 原式



4. =________。

[初级点拨] 这题比较简单，利用；
[深度提示] 这道题目很简单，主要就是公式应用的问题；
[全解过程] 原式= 2×（－+－+…+－）
=
=


5. =________。

[初级点拨] 直接利用公式；
[深度提示] 公式的直接应用，但是要注意，分母拆开后，差值是3；
[全解过程] 原式=×（1－+－+…+－）
=
=


6. =________。

[初级点拨] 带分数在计算过程中，通常有两种处理办法，或者化成整数和分数的和，或者化成假分数，聪明的同学，想想这道题应该怎么处理呢？
[深度提示] 拆成你熟悉的形式：

…
[全解过程] 原式=（1+2+3+…+6）+(++…+)
=
=
=


7. =________。

[初级点拨] 类似于上面的第6题，但是要稍微难点，关键也是对带分数的处理，不要犹豫，你想的没错，写出来试试。
[深度提示] 将带分数拆成整数和分数的和；
[全解过程] 原式=(3－)－(3+)+(5－)+(5+)－(7－)+(7+)－
(9－)+(9+)－(1+)
=
=
=
=


8. =________。

[初级点拨] 这道题目是典型的利用公式解题，所以公式一定要熟记哦。
[深度提示] 记住两个公式即可，翻看前面的基础知识，你需要的都在那里；
[全解过程] 原式=
=


9. =________。

[初级点拨] 提取公因数，但是要先做下变换，看看，怎么变动一下！
[深度提示] 1）找题目中的特殊之处。
2）如果分母中也是那多好啊！
3）变变嘛！
[全解过程] 原式==1.


10. =________。

[初级点拨] 第一步肯定是要去括号，聪明的你想到了吗？
[深度提示] 去括号，提取公因式，两项结合；
[全解过程] 原式=
=
=
=


11. ________。

[初级点拨] 如果在计算中出现循环小数，那毫无疑问要先化为分数。
[深度提示] 循环小数化分数的计算。
[全解过程] 原式=
=
=
=


第2讲 计算（二） 比较大小、估算、定义新运算
一：知识地图：
比较大小
分数的大小比较
通分
比倒数
与1相减比较法
经典结论
放缩法
化成小数比较
两个数相除进行比较
对于分数的分子分母同时加上
或减去相同的数和原分数进行比较
小数的大小比较
估算
常用方法
经典步骤
定义新运算


二：基础知识
（一）：比较大小
1、分数的大小比较
1）通分：a） 通分母：化成分母相同的分数比较，分子小的分数小；
b） 通分子：化成分子相同的分数比较，分母小的分数大。
2）比倒数：倒数大的分数小。
3）与1相减比较法：a） 真分数：与1相减，差大的分数小；
b） 假分数：与1相减，差大的分数大。
4）经典结论：a） 对于两个真分数，如果分子分母相差相同的数，则分子分母都大的分数比较大；
b） 对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子分母都小的分数比较大。
对于分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比较：
（，且为非零自然数时）
（1）
即“真分数越加越大，越减越小”（）如；
（2）即“假分数越加越小，越减越大”。

5）放缩法。
6）化成小数比较：小数比较大小的关键是小数点对齐，从高位比起。切记！
7）两个数相除进行比较。如：和，，所以。
2、小数的大小比较
常用方法：将小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数，然后比较。
（二）估算问题
1、常用方法
1） 放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小，将结果确定在两个接近数之间，从而估算出结果。
2）变换结构：将算式变形为便于估算的形式。
2、经典步骤
估算和式整数部分：a） 令和式结果等于A；
b） 最小的数×个数＜A＜最大的数×个数；
c） 求A。
对于较简单的题目，使用“最小的数×个数＜A＜最大的数×个数”就可以确定整数部分。对于较复杂的题目，这会造成放缩幅度过大。如果出现此情况，设法比较原式与（最小的数+最大的数）×个数÷2的大小，以及与（中位数×个数）的大小（总共有偶数个数的时候，“中位数”视为中间两个数的平均数）。
（三）定义新运算
这是近年来出现的一种新题型，解题的过程可以归结为经典三步：阅读→理解→应用。
三：经典透析
【例1】（☆☆☆☆）如果，，那么，中较大的数是_________。
审题要点： 1°通分似乎太麻烦了，怎么办呢？
2°大小比较有6个经典方法，这个似乎与“4 经典结论”相仿哦！
3°发现了吗？两个分数的分子分母的差值都相等：，
详解过程：因为a与b都是真分数，且分母与分子差相同，并且＜，所以a＜b。
专家点评：分数比较问题，方法很多，做题时要注意从不同角度考虑。
下面再介绍两种解题方法：
方法二：
1°a与b都很接近“1”；
2°聪明的你，发现秘密了吧！
1-a= ， 1-b=。
＞ 且a和b为真分数，
所以a＜b。
方法（三）：比倒数。
==1， ==1，
＞ 所以a＜b。
方法（四）：两个数相除进行比较。
，
所以：。
同学们开动脑筋看还有没有更多的思路！
【例2】（☆☆☆）如果，A与B中哪个数较大？
审题要点：1°快开动脑筋看这个题目适合用哪个方法？
2°不妨先试试比倒数。
详解过程：，

专家点评： 同样是分数比大小的问题，你能做出几种解答过程呢？下面给出另外两个解题过程。
解法二：
1°这么庞大的式子，如果能“4经典结论”该多棒啊！
2°开动脑筋做个小变换，，
变换后A与B分子分母相差相同的数“3”，
A与B都为真分数且A的分子分母都较小，
所以A