第四节　洛伦兹力与现代技术

[核心素养·明目标]

知识点一　带电粒子在磁场中的运动(如图)

1．实验探究

(1)此装置是洛伦兹力演示仪，它是一个特制的电子射线管，管内下方的电子枪射出的电子束，可以使管内的氢气发出辉光，从而显示出电子的径迹。

(2)实验现象

①当没有磁场作用时，电子的运动轨迹是直线。

②当电子垂直射入磁场时，电子的运动轨迹是圆弧线。

③结论：增大电子的速度时圆周半径增大，增强磁场磁感应强度时，圆周半径减小。

2．带电粒子在匀强磁场中的运动

(1)洛伦兹力的作用效果

①洛伦兹力不改变(A．改变　B．不改变)带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力不对(A．对　B．不对)带电粒子做功，不改变(A．改变　B．不改变)粒子的能量。

②洛伦兹力总与速度方向垂直，正好起到了充当向心力的作用。

(2)运动规律

带电粒子沿着与磁场垂直方向射入匀强磁场中做匀速圆周运动。洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m。

①轨道半径：r＝。

②运动周期：T＝。

知识点二　回旋加速器

1．主要构造：两个D形盒，两个大型电磁铁。

2．原理图，(如图所示)

3．工作原理

磁场的作用：带电粒子垂直磁场方向射入磁场时，受到磁场的洛伦兹力作用而做匀速圆周运动。

交变电压的作用：在两D形盒狭缝间产生的周期性变化的电压使带电粒子每经过一次狭缝加速一次。

交变电压的周期(或频率)：与带电粒子在磁场中做圆周运动的周期(或频率)相同。

4．用途：加速器是使带电粒子获得高能量的装置，是科学家探究物质奥秘的有力工具。

知识点三　质谱仪

1．原理图，如图所示

质谱仪原理示意图

2．加速：带电离子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得：

qU＝mv2。  ①

3．偏转：离子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力

qvB＝。  ②

由①②两式可以求出离子的半径r、质量m＝、比荷＝等。

4．质谱仪的应用：可以分析比荷和测定离子的质量。

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径，与粒子的质量和速度无关。                (×)

(2)回旋加速器中起加速作用的是磁场。 (×)

(3)回旋加速器中起加速作用的是电场，所以加速电压越大，带电粒子获得的最大动能越大。                            (×)

(4)质谱仪可以分析同位素。  (√)

(5)离子进入质谱仪的偏转磁场后洛伦兹力提供向心力。 (√)

2．粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍，两粒子均带正电荷。让它们在匀强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动。已知磁场方向垂直于纸面向里。如下四个图中能正确表示两粒子运动轨迹的是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D

A　[由洛伦兹力和牛顿第二定律，可得r甲＝，r乙＝，故＝2。由左手定则判断甲、乙两粒子所受洛伦兹力方向及其运动方向，可知选项A正确。]

3．(多选)质谱仪的构造原理如图所示，从粒子源S出来时的粒子速度很小，可以看作初速度为零，粒子经过电场加速后进入有界的垂直纸面向里的匀强磁场区域，并沿着半圆周运动而达到照相底片上的P点，测得P点到入口的距离为x，则以下说法正确的是(　　)

A．粒子一定带正电

B．粒子一定带负电

C．x越大，则粒子的质量与电量之比一定越大

D．x越大，则粒子的质量与电量之比一定越小

AC　[根据粒子的运动方向和洛伦兹力方向，由左手定则知粒子带正电，故A正确，B错误。根据半径公式r＝知，x＝2r＝，又qU＝mv2，联立解得x＝ ，知x越大，质量与电量的比值越大，故C正确，D错误。]

考点1　带电粒子在磁场中的运动

如图所示的装置叫作洛伦兹力演示仪。玻璃泡内的电子枪(即阴极)发射出阴极射线，使泡内的低压汞蒸气发出辉光，这样就可显示出电子的轨迹。电子垂直射入磁场时，电子为什么会做圆周运动？向心力由谁提供？

提示：洛伦兹力不做功，只改变速度的方向，不改变速度的大小，电子将做圆周运动，此时的洛伦兹力提供向心力。

1．带电粒子在磁场中的运动问题

(1)圆心的确定

①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点)。

②已知入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，图中P为入射点，M为出射点)。

(2)半径的确定：用几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小。

(3)运动时间的确定：粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间表示为：t＝T。

2．圆心角与偏向角、圆周角的关系

(1)带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，偏向角等于圆弧所对应的圆心角α，即α＝φ，如图所示。

(2)圆弧所对应圆心角α等于弦PM与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图所示。

3．带电粒子在有界磁场中的圆周运动的几种常见情形

(1)直线边界：进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等，如图所示。

(2)平行边界：存在临界条件，如图所示。

(3)圆形边界：沿径向射入必沿径向射出，如图所示。

【典例1】　如图所示，直线MN上方为磁感应强度为B的足够大的匀强磁场，一电子(质量为m、电量为e)以v的速度从点O与MN成30°角的方向射入磁场中，求：

(1)电子从磁场中射出时距O点多远？

(2)电子在磁场中运动的时间是多少？

[思路点拨]　―→―→―→

[解析]　设电子在匀强磁场中运动半径为R，射出时与O点距离为d，运动轨迹如图所示。

(1)根据牛顿第二定律知：

Bev＝m

由几何关系可得，d＝2Rsin  30°

解得：d＝。

(2)电子在磁场中转过的角度为θ＝60°＝

又周期T＝

因此运动时间t＝＝·＝。

[答案]　(1)　(2)

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的解题步骤

(1)画轨迹：先确定圆心，再画出运动轨迹，然后用几何方法求半径。

(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系。

(3)用规律：用牛顿第二定律及圆周运动规律的一些基本公式。

1．如图所示，带负电的粒子沿垂直磁场方向进入圆形匀强磁场区域，出磁场时速度偏离原方向60°角，带电粒子质量m＝3×10－20 kg，电量q＝10－13 C，速度v0＝105 m/s，磁场区域的半径R＝3×10－1 m，不计粒子的重力，求磁场的磁感应强度B。

[解析]　画进、出磁场速度方向的垂线得交点O′，O′点即为粒子做圆周运动的圆心，据此作出运动轨迹，如图所示，设此圆半径记为r，则＝tan 60°，所以r＝R。带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m，

所以B＝＝ T＝ T。

[答案]　 T

考点2　对回旋加速器工作原理的理解

回旋加速器中磁场和电场分别起什么作用？对交流电源的周期改变是否要求越来越快，以便能使粒子在缝隙处刚好被加速？

提示：磁场的作用是使带电粒子回旋，电场的作用是使带电粒子加速。交流电源的周期应等于带电粒子在磁场中运动的周期，是不变的，和粒子运动速度无关。

1．速度和周期的特点：在回旋加速器中粒子的速度逐渐增大，但粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝始终不变。

2．最大半径及最大速度：粒子的最大半径等于D形盒的半径R＝，所以最大速度vm＝。

3．最大动能及决定因素：最大动能Ekm＝mv＝，即粒子所能达到的最大动能由磁场B、D形盒的半径R、粒子的质量m及带电量q共同决定，与加速电场的电压无关。

4．粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器盒中被加速的次数n＝(U是加速电压大小)，一个周期加速两次。设在电场中加速的时间为t1，缝的宽度为d，则nd＝t1，t1＝。

5．粒子在回旋加速器中运动的时间：在磁场中运动的时间t2＝T＝，总时间为t＝t1＋t2，因为t1≪t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2。

【典例2】　回旋加速器是用于加速带电粒子流，使之获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒间狭缝中形成匀强电场，使粒子每穿过狭缝都得到加速；两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面。粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出粒子电量为q，质量为m，粒子最大回旋半径为Rm，其运动轨迹如图所示，问：

(1)粒子在盒内做何种运动？

(2)粒子在两盒间狭缝内做何种运动？

(3)所加交变电压频率为多大？粒子运动角速度多大？

(4)粒子离开加速器时速度多大？

[解析]　(1)D形盒由金属导体制成，可屏蔽外电场，因而盒内无电场，盒内存在垂直盒面的磁场，故粒子在盒内磁场中做匀速圆周运动。

(2)两盒间狭缝内存在匀强电场，且粒子速度方向与电场方向在同一条直线上，故粒子做匀加速直线运动。

(3)粒子在电场中运动时间极短，高频交变电压频率要符合粒子回旋频率f＝＝。

角速度ω＝2πf＝。

(4)粒子最大回旋半径为Rm，Rm＝，则vm＝。

[答案]　(1)匀速圆周运动　(2)匀加速直线运动 (3)频率f＝　角速度ω＝　(4)vm＝

2．(多选)在回旋加速器中(　　)

A．电场用来加速带电粒子，磁场则使带电粒子回旋

B．电场和磁场同时用来加速带电粒子

C．在交流电压一定的条件下，回旋加速器的半径越大，则带电粒子获得的动能越大

D．同一带电粒子获得的最大动能只与交流电压的大小有关，而与交流电压的频率无关

AC　[电场的作用是使粒子加速，磁场的作用是使粒子回旋，故A选项正确；粒子获得的动能Ek＝，对同一粒子，回旋加速器的半径越大，粒子获得的动能越大，故C选项正确。]

考点3　对质谱仪工作原理的理解

如图所示为质谱仪原理示意图。离子从容器A下方的小孔S1进入质谱仪后打在底片上，什么样的粒子打在质谱仪显示屏上的位置会不同？位置的分布有什么规律？

提示：速度相同，比荷不同的粒子打在质谱仪显示屏上的位置不同。根据qvB＝，r＝。可见粒子比荷越大，偏转半径越小。

1．速度选择器只选择粒子的速度(大小和方向)而不选择粒子的质量、电量和电性。

2．从S1与S2之间得以加速的粒子的电性是固定的，因此进入偏转磁场空间的粒子的电性也是固定的。

3．打在底片上同一位置的粒子，只能判断其是相同的，不能确定其质量或电量一定相同。

【典例3】　如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：

(1)磁场的磁感应强度大小；

(2)甲、乙两种离子的比荷之比。

[解析]　(1)甲离子经过电场加速，据动能定理有q1U＝m1v

在磁场中偏转，洛伦兹力提供向心力，据牛顿第二定律有q1v1B＝m1

由几何关系可得R1＝

联立方程解得B＝。

(2)乙离子经过电场加速，同理有q2U＝m2v

q2v2B＝m2

R2＝

联立方程可得∶＝1∶4。

[答案]　(1)　(2)1∶4。

应用质谱仪的两点注意

(1)质谱仪的原理中包括粒子的加速、受力的平衡(速度选择器)、牛顿第二定律和匀速圆周运动等知识。

(2)分析粒子的运动过程，建立各运动阶段的模型、理清各运动阶段之间的联系，根据带电粒子在不同场区的运动规律列出对应的方程。

3．现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为(　　)

 A．11　　　　B．12　　　　C．121　　      D．144

D　[带电粒子在加速电场中运动时，有qU＝mv2，在磁场中偏转时，其半径r＝，由以上两式整理得：r＝。由于质子与一价正离子的电量相同，B1∶B2＝1∶12，当半径相等时，解得：＝144，选项D正确。]

1．(多选)两个粒子，带电量相等，在同一匀强磁场中只受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)

A．若速率相等，则半径必相等

B．若质量相等，则周期必相等

C．若mv大小相等，则半径必相等

D．若动能相等，则周期必相等

BC　[由r＝，知A错误，C正确。由T＝知B正确。两粒子的动能相等，m不一定相等，周期也不一定相等，D错误。]

2．如图所示，重力不计、初速度为v的正电荷，从a点沿水平方向射入有明显左边界的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，若边界右侧的磁场范围足够大，该电荷进入磁场后(　　)

A．动能发生改变

B．运动轨迹是一个完整的圆，正电荷始终在磁场中运动

C．运动轨迹是一个半圆，并从a点上方某处穿出边界向左射出

D．运动轨迹是一个半圆，并从a点下方某处穿出边界向左射出

C　[洛伦兹力不做功，电荷的动能不变，A不正确；由左手定则知，正电荷刚进入磁场时受到的洛伦兹力的方向向上，电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹是一个半圆，并从a点上方某处穿出边界向左射出，B、D均不正确，C正确。]

3．(多选)1932年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是(　　)

A．离子由加速器的中心附近进入加速器

B．离子由加速器的边缘进入加速器

C．离子从磁场中获得能量

D．离子从电场中获得能量

AD　[离子从加速器的中间位置进入加速器，最后由加速器边缘飞出，所以A正确，B错误。加速器中所加的磁场是使离子做匀速圆周运动，所加的电场由交流电提供，它用以加速离子。交流电的周期与离子做圆周运动的周期相同。故C错误，D正确。]

4．1922年英国物理学家和化学家阿斯顿因质谱仪的发明、同位素和质谱的研究荣获了诺贝尔化学奖。若速度相同的同一束粒子由左端射入质谱仪后的运动轨迹如图所示，则下列相关说法中正确的是(　　)

A．该束带电粒子带负电

B．速度选择器的P1极板带负电

C．在B2磁场中运动半径越大的粒子，比荷越小

D．在B2磁场中运动半径越大的粒子，质量越大

C　[带电粒子在磁场中向下偏转，磁场的方向垂直纸面向外，根据左手定则知，该粒子带正电，故选项A错误；在平行金属板间，根据左手定则知，带电粒子所受的洛伦兹力方向竖直向上，则电场力的方向竖直向下，知电场强度的方向竖直向下，所以速度选择器的P1极板带正电，故选项B错误；进入B2磁场中的粒子速度是一定的，根据qvB＝得r＝，知r越大，比荷越小，而质量m不一定大，故选项C正确，选项D错误。]

5．如图所示，一束电子(电量为e)以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来入射方向的夹角是30°，试计算：

(1)电子的质量。

(2)穿出磁场的时间。

[解析]　(1)电子在磁场中运动，只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆周的一部分，又因为F⊥v，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛伦兹力指向的交点，如题图所示的O点。由几何知识可知，CD间圆心角θ＝30°，OD为半径。

r＝＝2d，又由r＝得m＝。

(2)CD间圆心角是30°，故穿过磁场的时间t＝，故t＝×＝。

[答案]　(1)　(2)