高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习19《数列的概念及表示》 (教师版)

刷题增分练 19　数列的概念及表示

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一、选择题

1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)

A．－1，－2，－3，－4，…

B．－1，－，－，－，…

C．－1，－2，－4，－8，…

D．1，，，，…，

答案：B

解析：A，B，C中的数列都是无穷数列，但是A，C中的数列是递减数列，故选B.

2．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x的值为(　　)

A．11　 B．12

C．13   D．14

答案：C

解析：观察所给数列的项，发现从第3项起，每一项都是它的前两项的和，所以x＝5＋8＝13，故选C.

3．已知数列1，，，，…，，则3是这个数列的(　　)

A．第20项  B．第21项

C．第22项  D．第23项

答案：D

解析：由＝3＝，得2n－1＝45，即2n＝46，解得n＝23.故选D.

4．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1的值为(　　)

A.  B.        C.  D.

答案：A

解析：∵Sn＝，a4＝32，∴S4－S3＝－＝32，∴a1＝，选A.

5．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a4＝(　　)

A.      B.       C.      D.

答案：B

解析：由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝，a4＝.

6．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，则a2 018等于(　　)

A．1     B．－1

C．－   D．－2

答案：C

解析：∵a1＝1，an＋1＝－，∴a2＝－＝－，a3＝－＝－2，a4＝－＝1.由上述可知该数列为周期数列，其周期为3.又∵2 018＝3×672＋2，∴a2 018＝a2＝－.故选C.

7．数列{an}：1，－，，－，…的一个通项公式是(　　)

A．an＝(－1)n＋1(n∈N*)

B．an＝(－1)n＋1(n∈N*)

C．an＝(－1)n＋1(n∈N*)

D．an＝(－1)n＋1(n∈N*)

答案：D

解析：(1)观察数列{an}各项，可写成：，－，，－…所以通项公式可表示为(－1)n＋1·(n∈N*)．

8．设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(n∈N*)，若数列{an}是常数列，则a＝(　　)

A．－2    B．－1

C．0      D．(－1)n

答案：A

解析：因为数列{an}是常数列，所以a＝a2＝＝，

即a(a＋1)＝a2－2，解得a＝－2，故选A.

二、非选择题

9．已知数列{an}中，an∈，an＋1＝＋a，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．

答案：递增

解析：∵an＋1－an＝a－an＋＝(an－1)2－，又0<an<，∴－1<an－1<－，

∴(an－1)2>，即(an－1)2－>0，∴an＋1－an>0，即an＋1>an对一切正整数n都成立，故数列{an}是递增数列．

10．已知数列，，，，，…，根据前3项给出的规律，实数对(m，n)为________．

答案：

解析：由数列的前3项的规律可知

解得故实数对(m，n)为.

11．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则a10＝________.

答案：90

解析：由an＋1＝an＋2n可得an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝4，

a4－a3＝6，……，an－an－1＝2(n－1)．将上述式子左右两边分别相加得

an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n(n－1)，

又a1＝0，所以an＝n(n－1)．故a10＝90.

12．已知数列{an}的前n项和Sn＝5n2＋2n＋1，则数列的通项公式为an＝________.

答案：

解析：当n＝1时，a1＝8；当n≥2时，Sn－1＝5(n－1)2＋2(n－1)＋1.

所以an＝Sn－Sn－1＝10n－3，此式对n＝1不成立，故an＝

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一、选择题

1．若数列的前4项分别是，－，，－，则此数列的一个通项公式为(　　)

A.　   B.    C.       D.

答案：A

解析：由数列的前4项分别是，－，，－，知奇数项为正数，偶数项为负数，从而第n项的绝对值等于，故数列的一个通项公式为an＝.故选A.

2．已知数列{an}满足an＝若对任意的n∈N*都有an<an＋1成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1,4)  B．(2,5)

C．(1,6)  D．(4,6)

答案：A

解析：因为对任意的n∈N*都有an<an＋1成立，所以数列是递增数列，因此解得1<a<4.故选A.

3．数列{an}中，对任意m，n∈N*，恒有am＋n＝am＋an，若a1＝，则a7等于(　　)

A.    B.         C.     D.

答案：D

解析：因为am＋n＝am＋an，a1＝，所以a2＝2a1＝，a4＝2a2＝，a3＝a1＋a2＝，a7＝a3＋a4＝.故选D.

4．若数列{an}满足a1＝2，a＋a＝2an＋1·an(n∈N*)，则数列{an}的前32项和为(　　)

A．64  B．32

C．16  D．128

答案：A

解析：由a＋a＝2an＋1·an(n∈N*)，得(an＋1－an)2＝0，an＋1＝an.∵a1＝2，∴an＝2，∴数列{an}的前32项和S32＝2×32＝64.故选A.

5．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝(　　)

A.  B．－        C.  D．－

答案：B

解析：∵a1＝1，a2＝－＝－，a3＝－＝－2，a4＝－＝1，…，∴数列{an}的周期为3，∴S2 018＝S2 016＋a2 017＋a2 018＝672×＋1＋＝－.

6．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是an＝(　　)

A．n     B.n－1           C．n2    D．2n－1

答案：A

解析：由an＝n(an＋1－an)，得＝，所以数列为常数列，

所以＝＝…＝＝1，所以an＝n，故选A.

7．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：

(1)构造数列1，，，，…，；　①

(2)将数列①的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，a4，…，an.则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝(　　)

A.       B.      C.  D.

答案：C

解析：依题意可得新数列为，，，…，×，所以a1a2＋a2a3＋…＋an－1an

＝＋＋…＋＝

＝×＝.故选C.

8．已知数列{an}的通项公式为an＝nn，则数列{an}中的最大项为(　　)

A.    B.       C.   D.

答案：A

解析：解法一　an＋1－an＝(n＋1)n＋1－nn＝·n，

当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；

当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；

当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an.

所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，

所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.

解法二　＝＝，

令>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2；令<1，解得n>2.又an>0，

故a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，

所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.

二、非选择题

9．已知数列{an}是递减数列，且对任意的正整数n，an＝－n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为________．

答案：(－∞，3)

解析：∵数列{an}是递减数列，∴an＋1<an(n∈N*)．∵an＝－n2＋λn对任意的正整数n恒成立，即－(n＋1)2＋λ(n＋1)<－n2＋λn，∴λ<2n＋1对于n∈N*恒成立．而2n＋1在n＝1时取得最小值3，∴λ<3，故答案为(－∞，3)．

10．已知数列{an}满足a1＝，a1＋a2＋…＋an＝n2·an，则数列{an}的通项公式是________．

答案：an＝(n∈N*)

解析：由题意知Sn＝n2·an，则当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2·an－1，两式相减得Sn－Sn－1＝n2·an－(n－1)2·an－1，即an＝n2·an－(n－1)2·an－1，整理得(n2－1)·an＝(n－1)2·an－1.∵n≥2，∴＝＝，∴××…×××＝××…×××，即＝(n≥2)，

∴an＝(n≥2)．∵a1＝满足上式，故an＝(n∈N*)．

11．已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.

解析：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]

＝4n－5，

由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.

(2)a1＝S1＝3＋b，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.

当b＝－1时，a1适合此等式．

当b≠－1时，a1不适合此等式．

∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；

当b≠－1时，an＝