2021-2022学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期末数学试卷 解析版，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1
3．（3分）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
4．（3分）下列分解因式正确的是（　　）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x2+4） B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2 D．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2）
5．（3分）下列等式恒成立的是（　　）
A． B．
C．＝ D．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为（　　）

A．16 B．13 C．19 D．10
7．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC
8．（3分）因某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：
（1）第一次提价10%，第二次提价30%；
（2）第一次提价30%，第二次提价10%；
（3）第一、二次提价均为20%．
提价最多的方案是（　　）
A．第（1）种 B．第（2）种 C．第（3）种 D．一样多
9．（3分）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，则BD的长等于（　　）

A．3 B． C．2 D．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为　 　．
12．（3分）已知等腰三角形的一边长等于4cm，一边长等于9cm，它的周长为　 　．
13．（3分）已知a2+b2＝17，ab＝4，则（a+b）2的值是 　 　．
14．（3分）已知关于x的分式方程的解是x＝1，则m的值是 　 　．
15．（3分）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为（2a+3b）的正方形，则需要C类卡片　 　张．

16．（3分）如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，AC＝AB+BD，则∠B和∠C的数量关系是 　 　．

三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（1）计算：[a3•a5+（a4）2]÷a2；
（2）分解因式：x2﹣4．
18．（8分）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．

19．（8分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：A（0，4），B（4，2）都是格点．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹．
（1）画出线段AB关于x轴对称的线段EF；
（2）在x轴上找一点P，使AP+BP最小；
（3）连接AP，BP，画出△APB关于y轴对称的△AP′B′．

21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是边AB上的动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F，设∠BCD＝α．
（1）①当α＝20°时，连接CE．则∠AFC的大小是 　 　；
②当α＜45°时，求∠AFC的大小．
（2）在（1）中②的条件下，若AD＝BC，求证：AF＝CF．

22．（10分）某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比B款手机多800元，花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．
（1）求A，B两款手机的进货单价分别是多少元？
（2）某周末两天销售单上的数据，如表所示：
日期
A款手机（部）
B款手机（部）
销售总额（元）
星期六
5
8
40100
星期日
6
7
41100
求A，B两款手机的销售单价分别是多少元？
（3）根据（1）（2）所给的信息，手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．
23．（10分）问题背景
如图（1），已知AB∥CD，AD平分∠BAC，求证：AC＝CD；
尝试应用
如图（2），在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的结论；
拓展创新
如图（3），在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，请直接写出你的结论．


24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（0，4），C（﹣2，﹣2），且∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，若BC交y轴于点M，AB交x轴与点N，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，请探究线段MN，ME，NF的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若在点B处有一个等腰Rt△BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，连接AG，点H为AG的中点，试猜想线段DH与线段CH的数量关系与位置关系，并证明你的结论．



2021-2022学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴求解即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故选：B．
3．（3分）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选：B．
4．（3分）下列分解因式正确的是（　　）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x2+4） B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2 D．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2）
【分析】利用提公因式法与公式法进行分解逐一判断即可．
【解答】解：A．﹣x2+4x＝﹣x（x﹣4），故A不符合题意；
B．x2+xy+x＝x（x+y+1），故B不符合题意；
C．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2，故C符合题意；
D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）下列等式恒成立的是（　　）
A． B．
C．＝ D．
【分析】根据分式的基本性质，分式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：A.+＝，故A不符合题意；
B.＝，故B符合题意；
C.＝，故C不符合题意；
D.＝﹣，故D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为（　　）

A．16 B．13 C．19 D．10
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝6，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝6，
∵△ABD的周长为13，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19，
故选：C．
7．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC
【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、∠ABC＝∠DCB，AC＝BD，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
故选：C．
8．（3分）因某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：
（1）第一次提价10%，第二次提价30%；
（2）第一次提价30%，第二次提价10%；
（3）第一、二次提价均为20%．
提价最多的方案是（　　）
A．第（1）种 B．第（2）种 C．第（3）种 D．一样多
【分析】根据题意分别求出三种方案提价后的价格，再进行比较即可．
【解答】解：设某种产品的原价为x，依题意得：
第一种方案：（1+10%）x×（1+30%）＝1.43x，
第二种方案：（1+30%）x×（1+10%）＝1.43x，
第三种方案：（1+20%）x×（1+20%）＝1.44x，
则1.44x＞1.43x，
即第三种方案提价最多．
故选：C．
9．（3分）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，则∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．

10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，则BD的长等于（　　）

A．3 B． C．2 D．
【分析】过点E作EF⊥BC于F．先在Rt△BEF中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BF＝BE＝4，于是CF＝BC﹣BF＝2，再根据等腰三角形三线合一的性质得出DC＝2CF＝4，然后根据BD＝BC﹣DC即可求解．
【解答】解：过点E作EF⊥BC于F．
在Rt△BEF中，∵∠BFE＝90°，∠B＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∵AB＝3，AE＝5，
∴BF＝BE＝（AB+AE）＝×（3+5）＝4，
∵BC＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝6﹣4＝2．
∵ED＝EC，EF⊥BC于F，
∴DC＝2CF＝4，
∴BD＝BC﹣DC＝6﹣4＝2．
故选：C．

二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为　4.6×10﹣6　．
【分析】利用科学记数法的知识即可解答．
【解答】解：0.0000046＝4.6×10﹣6．
故答案为：4.6×10﹣6．
12．（3分）已知等腰三角形的一边长等于4cm，一边长等于9cm，它的周长为　22cm　．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4＝22．
故答案为：22cm．
13．（3分）已知a2+b2＝17，ab＝4，则（a+b）2的值是 　25　．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵a2+b2＝17，ab＝4，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17+2×4＝25，
故（a+b）2的值为25，
故答案为25．
14．（3分）已知关于x的分式方程的解是x＝1，则m的值是 　﹣5　．
【分析】把x＝1代入原方程中进行计算即可解答．
【解答】解：把x＝1代入分式方程中得：
＝3，
2+m＝﹣3，
∴m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
15．（3分）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为（2a+3b）的正方形，则需要C类卡片　12　张．

【分析】由题意知长为（2a+3b），宽也为（2a+3b）的正方形的面积应该等于所有小卡片面积之和．
【解答】解：边长为（2a+3b）的正方形的面积为（2a+3b）（2a+3b）＝4a2+12ab+9b2，
A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab，
则可知需要C类卡片12张．
故答案为：12．
16．（3分）如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，AC＝AB+BD，则∠B和∠C的数量关系是 　∠B＝2∠C　．

【分析】在AC上取一点E，使AE＝AB，连接DE，由条件就可以得出△ADB≌△ADE，就可以得出BD＝DE，就可以得出DE＝CE，由三角形的外角与内角的关系就可以得出结论．
【解答】解：在AC上取一点E，使AE＝AB，连接DE，

∵AD平分∠BAC，
在△ADB和△ADE中，
．
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴BD＝ED．∠B＝∠AED．
∵AC＝AB+BD，AC＝AE+EC
∴AB+BD＝AE+CE，
∴BD＝CE，
∴DE＝CE．
∴∠CDE＝∠C．
∵∠C+∠CDE＝∠AED，
∴2∠C＝∠B，
故答案为：∠B＝2∠C．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（1）计算：[a3•a5+（a4）2]÷a2；
（2）分解因式：x2﹣4．
【分析】（1）根据整式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
（2）根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝（a8+a8）÷a2
＝2a8÷a2
＝2a6．
（2）原式＝（x+2）（x﹣2）．
18．（8分）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．

【分析】要证明AC∥DF，只要证明∠ACB＝∠DFE即可，要证明∠ACB＝∠DFE，只要证明△ABC≌△DEF即可，根据题目中的条件可以证明△ABC≌△DEF，本题得以解决．
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥DF．
19．（8分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
（2）原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝a+1；
（2）原式＝•
＝，
当x＝时，原式＝＝2．
20．（8分）在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：A（0，4），B（4，2）都是格点．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹．
（1）画出线段AB关于x轴对称的线段EF；
（2）在x轴上找一点P，使AP+BP最小；
（3）连接AP，BP，画出△APB关于y轴对称的△AP′B′．

【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到结论；
（2）连接AB1交y轴于点P，连接PB，此时PA+PB的值最小；
（3）根据轴对称的性质作出△APB各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图，线段EF即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
（3）如图所示，△AP′B′即为所求．

21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是边AB上的动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F，设∠BCD＝α．
（1）①当α＝20°时，连接CE．则∠AFC的大小是 　45°　；
②当α＜45°时，求∠AFC的大小．
（2）在（1）中②的条件下，若AD＝BC，求证：AF＝CF．

【分析】（1）①连接CE，根据轴对称的性质得BC＝CE，CD⊥BE，可得∠BCD＝∠ECD＝α＝20°，则∠ACE＝90°﹣2α＝50°，由AC＝BC得BC＝CE＝AC，根据等腰直角三角形以及三角形外角的性质即可求解；
②利用①的方法即可求解；
（2）由AD＝BC，AC＝BC得AC＝AD，则∠ACD＝∠ADC＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣α，由三角形外角的性质得∠ADC＝∠BCD+∠ABC＝α+45°，可得α＝22.5°，∠ACD＝67.5°，由（1）中②得∠AFC＝45°，根据三角形的内角和定理得∠CAF＝180°﹣∠AFC﹣∠ACD＝67.5°，则∠CAF＝∠ACD，即可得AF＝CF．
【解答】（1）解：①连接CE，

∵点B关于直线CD的对称点为E，
∴BC＝CE，CD⊥BE，
∴∠BCD＝∠ECD＝α＝20°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴BC＝CE＝AC，∠ACE＝90°﹣2α＝50°，
∴∠AEC＝（180°﹣50°）＝65°，
∵∠AEC＝∠ECF+∠AFC，
∴∠AFC＝∠AEC﹣∠ECF＝65°﹣20°＝45°．
故答案为：45°；
②当α＜45°时，连接CE，

∵点B关于直线CD的对称点为E，
∴BC＝CE，CD⊥BE，
∴∠BCD＝∠ECD＝α，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴BC＝CE＝AC，∠ACE＝90°﹣2α，
∴∠AEC＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，
∵∠AEC＝∠ECF+∠AFC＝α+∠AFC，
∴∠AFC＝∠AEC﹣∠ECF＝45°+α﹣α＝45°；
（2）证明：∵AD＝BC，AC＝BC，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣α，
∵∠ADC＝∠BCD+∠ABC＝α+45°，
∴90°﹣α＝α+45°，
∴α＝22.5°，
∴∠ACD＝67.5°，
由（1）中②得，∠AFC＝45°，
∴∠CAF＝180°﹣∠AFC﹣∠ACD＝67.5°，
∴∠CAF＝∠ACD，
∴AF＝CF．
22．（10分）某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比B款手机多800元，花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．
（1）求A，B两款手机的进货单价分别是多少元？
（2）某周末两天销售单上的数据，如表所示：
日期
A款手机（部）
B款手机（部）
销售总额（元）
星期六
5
8
40100
星期日
6
7
41100
求A，B两款手机的销售单价分别是多少元？
（3）根据（1）（2）所给的信息，手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．
【分析】（1）设B款手机的进货单价是x元，则A款手机的进货单价是（x+800）元，由题意：花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．列出分式方程，求解即可；
（2）设A款手机的销售单价是a元，B款手机的销售单价是b元，根据表中的数据列方程组求解即可；
（3）设购买A款手机m部，B款手机n部，由题意：手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，列出二元一次方程，求其正整数解，得到进货方案，再分别求出总利润，比较即可．
【解答】解：（1）设B款手机的进货单价是x元，则A款手机的进货单价是（x+800）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝2400，
经检验，x＝2400是原方程的解，
则x+800＝2400+800＝3200，
答：A款手机的进货单价是3200元，B款手机的进货单价是2400元；
（2）设A款手机的销售单价是a元，B款手机的销售单价是b元，
根据题意得：，
解得：，
答：A款手机的销售单价是3700元，B款手机的销售单价是2700元；
（3）设购买A款手机m部，B款手机n部，
根据题意，得3200m+2400n＝28000，
化简得，4m+3n＝35，
∵m、n都是正整数，
∴或或，
即有三种进货方案：
方案一：购买A款手机2部，B款款手机9部，利润是：（3700﹣3200）×2+（2700﹣2400）×9＝3700（元）；
方案二：购买A款手机5部，B款款手机5部，利润是：（3700﹣3200）×5+（2700﹣2400）×5＝4000（元）；
方案三：购买A款手机8部，B款款手机1部，利润是：（3700﹣3200）×8+（2700﹣2400）×1＝4300（元）；
∵3700＜4000＜4300，
∴选择方案三获得的总利润最高．
23．（10分）问题背景
如图（1），已知AB∥CD，AD平分∠BAC，求证：AC＝CD；
尝试应用
如图（2），在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的结论；
拓展创新
如图（3），在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，请直接写出你的结论．


【分析】问题背景：由AB∥CD知∠BAD＝∠ADC，由AD平分∠BAC知∠BAD＝∠CAD，据此得∠ADC＝∠CAD，从而得证；
尝试应用：延长AE，DC交于点F，先证△ABE≌△FEC得CF＝AB，再由AE是∠BAD的平分线知∠BAF＝∠FAD，从而得∠FAD＝∠F，据此知AD＝DF，结合DC+CF＝DF可得答案；
拓展创新：延长AE，DF交于点G，同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．
【解答】问题背景：证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝∠CAD，
∴AC＝CD；
尝试应用：
解：如图②，延长AE，DC交于点F，

∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中
CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FEC（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD；

拓展创新：解：如图（3），延长AE，DF交于点G，

同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，
∴AB＝CG，
∴AF+CF＝AB．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（0，4），C（﹣2，﹣2），且∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，若BC交y轴于点M，AB交x轴与点N，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，请探究线段MN，ME，NF的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若在点B处有一个等腰Rt△BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，连接AG，点H为AG的中点，试猜想线段DH与线段CH的数量关系与位置关系，并证明你的结论．


【分析】（1）如图1中，过点C作CT⊥y轴于点T，根点B作BH⊥CT交CT的延长线于点H．证明△ATC≌△CHB（AAS），推出AT＝CH＝6，CT＝BH＝2，可得结论；
（2）结论：MN＝ME+NF．证明△BFN≌△BEK（SAS），推出BN＝BK，∠FBN＝∠EBK，再证明△BMN≌△BMK（SAS），推出MN＝MK，可得结论；
（3）结论：DH＝CH，DH⊥CH．如图3中，延长DH到J，使得HJ＝DH，连接AJ，CJ，延长DG交AC于点M．证明△JDC是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，过点C作CT⊥y轴于点T，根点B作BH⊥CT交CT的延长线于点H．

∵A（0，4），C（﹣2，﹣2），
∴OA＝4，OT＝CT＝2，
∴AT＝4+2＝6，
∵∠ACB＝∠ATC＝∠H＝90°，
∴∠CAT+∠ACT＝90°，∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠CAT＝∠BCH，
∵CA＝CB，
∴△ATC≌△CHB（AAS），
∴AT＝CH＝6，CT＝BH＝2，
∴TH＝CH﹣CT＝4，
∴B（4，4）；

（2）结论：MN＝ME+NF．
理由：在射线OE上截取EK＝FN，连接BK．

∵B（4，4），BE⊥y轴，BF⊥x轴，
∴BE＝BF＝4，∠BEO＝∠BFO＝∠EOF＝90°，
∴四边形BEOF是矩形，
∴∠EBF＝90°，
∵EK＝FN，∠BFN＝∠BEK＝90°，
∴△BFN≌△BEK（SAS），
∴BN＝BK，∠FBN＝∠EBK，
∴∠NBK＝∠FBE＝90°，
∵∠MBN＝45°，
∴∠MBN＝∠BMK＝45°，
∵BM＝BM，
∴△BMN≌△BMK（SAS），
∴MN＝MK，
∵MK＝ME+EK，
∴MN＝EM+FN；

（3）结论：DH＝CH，DH⊥CH．
理由：如图3中，延长DH到J，使得HJ＝DH，连接AJ，CJ，延长DG交AC于点M．

∵AH＝HG，∠AHJ＝∠GHD，HJ＝HD，
∴△AHJ≌△GHD（SAS），
∴AJ＝DG，∠AJH＝∠DGH，
∴AJ∥DM，
∴∠JAC＝∠AMD，
∵DG＝BD，
∴AJ＝BD，
∵∠MCB＝∠BDM＝90°，
∴∠CBD+∠CMD＝180°，
∵∠AMD+∠CMD＝180°，
∴∠AMD＝∠CBD，
∴∠CAJ＝∠CBD，
∵CA＝CB，
∴△CAJ≌△CBD（SAS），
∴CJ＝CD，∠ACJ＝∠BCD，
∴∠JCD＝∠ACB＝90°，
∵JH＝HD，
∴CH⊥DJ，CH＝JH＝HD，
即CH＝DH，CH⊥DH．