广东省佛山市禅城区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）

这是一份广东省佛山市禅城区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列几何体中，其俯视图与左视图完全相同的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝4，BC＝6，EF＝9，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．一元二次方程x2﹣8x+5＝0配方后可化为（ ）
A．（x﹣4）＝19B．（x+4）＝﹣19C．（x﹣4）2＝11D．（x+4）2＝16
4．如图，D是BC上的点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC∽△DABB．△ABC∽△DACC．△ABD∽△ACDD．以上都不对
5．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角互补
6．已知y是x的反比例函数，如下表给出了x与y的一些值，表中“▲”处的数为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
7．在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
9．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示，射入室内的光线，窗户的下端到地面距离BC＝1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5米，AC在地面的影长CM＝4.5米，则AB高为（ ）米．
A．3.5B．2C．1.5D．2.5
10．若一元二次方程x2+mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2B．±2C．±4D．±2
11．如图，一次函数y＝﹣3x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．若矩形OCPD的面积为1时，则点P的坐标为（ ）
A．（，3）B．（，2）
C．（，2）和（1，1）D．（，3）和（1，1）
12．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0）的图象于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（ ）
A．逐渐变大或变小B．等于定值16
C．等于定值8D．另有答案
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
13．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M，C之间的距离是 km．
14．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则x的值＝ ．
15．如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为 ．
16．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a＝ ．
17．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数据如表：
根据数据，估计袋中黑球有 个．
18．例．求1+2+22+23+…+22008的值．
解：可设S＝1+2+22+23+…+22008，则2S＝2+22+23+24+…+22009
因此2S﹣S＝22009﹣1，所以1+2+22+23+…+22008＝22009﹣1．
请仿照以上过程计算出：1+3+32+33+…+32022＝ ．
三、解答题（一）（本大题共2题，每题8分，共16分）
19．（1）如图①，在8×6的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．点C坐标为（2，4），以O为位似中心，在网格图中作△ABC，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹）
（2）则点C′的坐标为 ，周长比C△A′B′C′：C△ABC＝ ．
（3）如图②，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m，DE在阳光下的投影长为6m．
①请你在图②中画出此时DE在阳光下的投影EF．
②根据题中信息，求得立柱DE的长为 m．
20．在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是黄球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色一次是红色、另一次是黄色的（第一次可能是红色也可能是黄色）概率．
四、解答题（二）（本大题共2题，每题10分，共20分）
21．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长．
22．某种商品的标价为75元/件，经过两次降价后的价格为48元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）商场将进货价30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价定为多少？这时应进台灯多少个？
（3）当台灯的售价为多少时，获得的利润最大？
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分）
23．如图，矩形OABC中，点B的坐标（a，b）；点P为线段BC上的一动点（与点B，点C不重合），过动点P的反比例函数y＝的图象交AB于Q，延长PQ交x轴于D．
（1）求证：四边形ADPC为平行四边形；
（2）若a，b是方程3x2﹣28x+64＝0的根（a＞b），点F在AC上，若四边形AQPF为菱形时，求这个反比例函数的解析式并直接写出点F的坐标．
24．如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线一动点，连AC，BD，连AE交DC于F，交BD于G．
（1）若AC＝EC时，求∠DAE的大小；
（2）求证：AG2＝GF•GE；
（3）连DE，求的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．下列几何体中，其俯视图与左视图完全相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据各个几何体的俯视图、左视图的形状进行判断即可．
解：圆锥的俯视图是圆形，左视图是等腰三角形，因此选项A不符合题意；
圆柱的俯视图是圆形，左视图是矩形，因此选项B不符合题意；
正方体的俯视图，左视图都是正方形，因此选项C符合题意；
三棱柱的俯视图是三角形，左视图是长方形，因此选项D不符合题意；
故选：C．
2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝4，BC＝6，EF＝9，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝4，BC＝6，EF＝9，
∴＝，
解得：DE＝6，
故选：D．
3．一元二次方程x2﹣8x+5＝0配方后可化为（ ）
A．（x﹣4）＝19B．（x+4）＝﹣19C．（x﹣4）2＝11D．（x+4）2＝16
【分析】移项后，两边都加上一次项系数一半的平方即可．
解：∵x2﹣8x+5＝0，
∴x2﹣8x＝﹣5，
则x2﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）2＝11，
故选：C．
4．如图，D是BC上的点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC∽△DABB．△ABC∽△DACC．△ABD∽△ACDD．以上都不对
【分析】已知∠ADC＝∠BAC，根据图示可知∠B为公共角，即可判断△ABC∽△DBA，由此可得结论．
解：∵∠ADC＝∠BAC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC．
∴A，C，D错误，
故选：B．
5．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角互补
【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．
解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；
B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；
C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；
D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；
故选：A．
6．已知y是x的反比例函数，如下表给出了x与y的一些值，表中“▲”处的数为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
【分析】用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将表中x＝3代入，即可求出“▲”处的数．
解：设解析式为y＝，
将（2，﹣3）代入解析式得k＝﹣6，
这个函数关系式为：y＝﹣，
把x＝3代入得y＝﹣2，
∴表中“▲”处的数为﹣2，
故选：B．
7．在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用概率公式计算可得．
解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为，
故选：A．
8．下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据矩形的判定方法判断即可．
解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；
B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；
故选：A．
9．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示，射入室内的光线，窗户的下端到地面距离BC＝1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5米，AC在地面的影长CM＝4.5米，则AB高为（ ）米．
A．3.5B．2C．1.5D．2.5
【分析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AE仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB的长，即窗户的高度．
解：∵BN∥AM，
∴∠CBN＝∠A，∠CNB＝∠M，
∴△CBN∽△CAM，
∴＝，
∴＝，
解得：CA＝3（m），
∴AB＝3﹣1＝2（m），
故选：B．
10．若一元二次方程x2+mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2B．±2C．±4D．±2
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝m2﹣4×1×4＝0，然后解关于m的方程即可．
解：根据题意得Δ＝m2﹣4×1×4＝0，
解得m＝±4，
故选：C．
11．如图，一次函数y＝﹣3x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．若矩形OCPD的面积为1时，则点P的坐标为（ ）
A．（，3）B．（，2）
C．（，2）和（1，1）D．（，3）和（1，1）
【分析】由点P在线段AB上可设点P的坐标为（m，﹣3m+4）（0＜m＜），进而可得出OC＝m，OD＝﹣3m+4，结合矩形OCPD的面积为1，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再将其代入点P的坐标中即可求出结论．
解：∵点P在线段AB上（不与点A，B重合），且直线AB的解析式为y＝﹣3x+4，
∴设点P的坐标为（m，﹣3m+4）（0＜m＜），
∴OC＝m，OD＝﹣3m+4．
∵矩形OCPD的面积为1，
∴m（﹣3m+4）＝1，
∴m1＝，m2＝1，
∴点P的坐标为（，3）或（1，1）．
故选：D．
12．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0）的图象于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（ ）
A．逐渐变大或变小B．等于定值16
C．等于定值8D．另有答案
【分析】根据反比例函数k的几何意义得出S△POC＝×2＝1，S矩形ACOD＝6，即可得出＝，从而得出＝，通过证得△POC∽△PBA，得出＝（）2＝，即可得出S△PAB＝16S△POC＝16．
解：如图：
由题意可知S△POC＝×2＝1，S矩形ACOD＝6，
∵S△POC＝OC•PC，S矩形ACOD＝OC•AC，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
∵AB∥x轴，
∴△POC∽△PBA，
∴＝（）2＝，
∴S△PAB＝16S△POC＝16，
∴△PAB的面积等于定值16．
故选：B．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
13．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M，C之间的距离是 5 km．
【分析】根据直角三角形斜边上中线性质得出CM＝AB，再代入求出答案即可．
解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵M为AB的中点，
∴CM＝AB，
∵AB＝10km，
∴CM＝5km，
所以M，C之间的距离是5km，
故答案为：5．
14．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则x的值＝ ﹣2或﹣1 ．
【分析】先把x＝﹣1代入方程求出m，再解一元二次方程求出x的值．
解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，
∴1﹣m+2＝0．
∴m＝3．
当m＝3时，一元二次方程为x2+3x+2＝0，
∴（x+2）（x+1）＝0．
∴x＝﹣2或x＝﹣1．
故答案为：﹣2或﹣1．
15．如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为 1 ．
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE＝∠AED，根据等角对等边，即可求得AE的长，在直角△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，则CE的长即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ADE，
∵DE平分∠AEC，
∵∠DEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝13，
在直角△ABE中，BE＝＝＝12，
∴CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝13﹣12＝1．
故答案为1．
16．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a＝ 3 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值，即可求得反比例函数的解析式，代入点P，即可求得a．
解：∵AB垂直于x轴，垂足为B，
∴△OAB的面积为|k|，
即|k|＝6，
而k＞0，
∴k＝12，
∴反比例函数为y＝，
∵点P（a，4）在此函数的图象上，
∴4a＝12，解得a＝3．
故答案为：3．
17．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数据如表：
根据数据，估计袋中黑球有 8 个．
【分析】根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6．然后列式计算即可．
解：当n很大时，摸到白球的概率约是0.6，
∴袋中黑球有20﹣20×0.6＝8（个）；
故答案为：8．
18．例．求1+2+22+23+…+22008的值．
解：可设S＝1+2+22+23+…+22008，则2S＝2+22+23+24+…+22009
因此2S﹣S＝22009﹣1，所以1+2+22+23+…+22008＝22009﹣1．
请仿照以上过程计算出：1+3+32+33+…+32022＝ ．
【分析】根据题意给式子乘上3，再按题中方法推导即可．
解：设S＝1+3+32+33+…+32022，
则3S＝3+32+33+…+32023，
3S﹣S＝32023﹣1，即2S＝32023﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+…+32018＝．
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共2题，每题8分，共16分）
19．（1）如图①，在8×6的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．点C坐标为（2，4），以O为位似中心，在网格图中作△ABC，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹）
（2）则点C′的坐标为 （1，2） ，周长比C△A′B′C′：C△ABC＝ 1：2 ．
（3）如图②，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m，DE在阳光下的投影长为6m．
①请你在图②中画出此时DE在阳光下的投影EF．
②根据题中信息，求得立柱DE的长为 9 m．
【分析】（1）利用位似图形的性质得出A′，B′，C′的位置，进而得出答案；
（2）由（1）中所画图形可得；
（3）①根据已知连接AC，过点D作DF∥AC，即可得出EF就是DE的投影；
②利用三角形△ABC∽△DEF得出比例式，求出DE即可．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求作三角形，
（2）由（1）知，A′（﹣1，0），C′（1，2），
∵位似比为1：2，
∴C△A′B′C′：C△ABC＝1：2．
故答案为：（1，2）；1：2．
（3）①作法：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，
如图所示，EF就是DE的投影．
②∵太阳光线是平行的，
∴AC∥DF．
∴∠ACB＝∠DFE．
又∵∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴△ABC∽△DEF．
∴，
∵AB＝6m，BC＝4m，EF＝6m，
∴，
∴DE＝9（m）．
故答案为：9
20．在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是黄球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色一次是红色、另一次是黄色的（第一次可能是红色也可能是黄色）概率．
【分析】（1）设袋中的黄球个数为x个，根据摸到球是黄球的概率为列出关于x的方程，解之即可；
（2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可．
解：（1）设袋中的黄球个数为x个，
∴＝
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
∴袋中黄球的个数1个；
（2）画树状图得：
∴一共有12种情况，两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的有4种，
∴两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为＝．
四、解答题（二）（本大题共2题，每题10分，共20分）
21．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长．
【分析】（1）根据平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，得两对角相等，即可证明△ADF∽△DEC；
（2）根据AE与BC垂直，得到两个角为直角，利用勾股定理求出BE与DE的长，由三角形ADF与三角形DEC相似，得出比例线段，求出AF的长即可．
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠C+∠B＝180°，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，
∵∠AFE＝∠B．
∴∠AFD＝∠C，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝7，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴DE＝＝＝10，
由（1）可知△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴AF＝．
22．某种商品的标价为75元/件，经过两次降价后的价格为48元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）商场将进货价30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价定为多少？这时应进台灯多少个？
（3）当台灯的售价为多少时，获得的利润最大？
【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为a，依题意列方程即可求解；
（2）设这种台灯的售价定为x元，根据平均每月10000元的销售利润得：（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000，即可解得答案；
（3）设获得的利润为W，可得W＝（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]，由二次函数的性质即可得答案．
解：（1）设该种商品每次降价的百分率为a，
依题意，得：75（1﹣a）2＝48，
解得：a1＝0.2＝20%，a2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为20%；
（2）设这种台灯的售价定为x元，根据题意得：
（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000，
解得x＝50或x＝80，
∵售价在40～60元，
∴x＝50，
此时600﹣10（x﹣40）＝600﹣10×（50﹣40）＝500（个）
答：这种台灯的售价定为50元，应进台灯500个；
（3）设获得的利润为W，根据题意得：
W＝（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，
∵﹣10＜0，40≤x≤60，
∴当x＝60时，W最大为12000，
答：当台灯的售价为60元时，获得的利润最大是12000元．
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分）
23．如图，矩形OABC中，点B的坐标（a，b）；点P为线段BC上的一动点（与点B，点C不重合），过动点P的反比例函数y＝的图象交AB于Q，延长PQ交x轴于D．
（1）求证：四边形ADPC为平行四边形；
（2）若a，b是方程3x2﹣28x+64＝0的根（a＞b），点F在AC上，若四边形AQPF为菱形时，求这个反比例函数的解析式并直接写出点F的坐标．
【分析】（1）先由动点P的反比例函数y＝的图象交AB于Q用含有a与b的式子表示出点P和点Q的坐标，得到CP的长，然后通过BC∥OA得到△QBP∽△QAD，进而利用相似三角形的性质求得AD的长，最后判断四边形ADPC的形状；
（2）先解方程求得a与b的值，然后得到点A、P、F、Q的坐标，进而利用菱形的性质列出方程求得k的取值，最后得到点F的具体坐标．
【解答】（1）证明：∵动点P的反比例函数y＝的图象交AB于Q，B（a，b），
∴P（，b），Q（a，），k＜ab，
∴CP＝，BP＝a﹣，BQ＝b﹣，AQ＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，
∴△QBP∽△QAD，
∴，即，
∴AD＝，
∴AD＝CP，
∵AD∥CP，
∴四边形ADPC是平行四边形．
（2）解：解方程3x2﹣28x+64＝0得x＝4或x＝，
∵a，b是方程3x2﹣28x+64＝0的根（a＞b），
∴a＝，b＝4，
∴BP＝﹣，BQ＝4﹣，AQ＝，
∵四边形AQPF为菱形，
∴PQ＝PF＝AQ，
∴PQ2＝AQ2，
∴（﹣）2+（4﹣）2＝（）2，
解得：k＝或k＝，
∵k＜ab＝，
∴k＝，
∴反比例函数的解析式为y＝，PF＝AQ＝＝×＝，P（，4），
∴F（，）．
24．如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线一动点，连AC，BD，连AE交DC于F，交BD于G．
（1）若AC＝EC时，求∠DAE的大小；
（2）求证：AG2＝GF•GE；
（3）连DE，求的最小值．
【分析】（1）由等边对等角知∠EAC＝∠CEA，而∠EAC+∠CEA＝45°，可得∠AEC＝22.5°，因为AD∥BE，得∠DAE＝∠AEC＝22.5°；
（2）连接CG，利用SAS证明△ADG≌△CDG，得AG＝CG，∠DAG＝∠DCG，再利用两个角相等证明△CGF∽△EGC，得，从而证明结论；
（3）作△DEA∽△DCP，连接AP，取AD的中点为O，连接PO，OC，则，将双动线转化为单动线进行研究．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝45°，AD∥BE，
∵AC＝EC，
∴∠EAC＝∠CEA，
∵∠EAC+∠CEA＝45°，
∴∠AEC＝22.5°，
∵AD∥BE，
∴∠DAE＝∠AEC＝22.5°；
（2）证明：连接CG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝CG，∠DAG＝∠DCG，
∵∠DAG＝∠E，
∴∠DCG＝∠E，
∵∠CGF＝∠EGC，
∴△CGF∽△EGC，
∴，
∴CG2＝EG•GF，
∴AG2＝GF•GE；
（3）解：如图，作△DEA∽△DCP，连接AP，取AD的中点为O，连接PO，OC，
∴，∠EDA＝∠CDP，
∴∠EDC＝∠ADP，
∴△ECD∽△APD，
∴∠APD＝∠ECD＝90°，
∴PO＝AD，
设PO＝x，则AD＝CD＝2x，CO＝x，
∵CP≥CO﹣PO，
∴CP的最小值为x﹣x，
∵△DEA∽△DCP，
∴，
∴的最小值为﹣1，
∴的最小值为﹣1．
x
﹣2
2
3
y
3
﹣3
▲
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
x
﹣2
2
3
y
3
﹣3
▲
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601