新教材(辅导班)高一数学寒假讲义13《6.4平面向量的应用》出门测(含解析)

这是一份新教材(辅导班)高一数学寒假讲义13《6.4平面向量的应用》出门测(含解析)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )
A．eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CE,\s\up6(→)) B．eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(CE,\s\up6(→))共线 C．eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→)) D．eq \(DE,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))共线
答案 D
解析 ∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，即eq \(DE,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))共线．
2．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，则eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))为( )
A．1 B．eq \r(3) C．－1 D．－eq \r(3)
答案 A
解析 由题意知，O为BC的中点，且∠ABC＝60°，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，
∴eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝1×2×eq \f(1,2)＝1.
3．已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))，
则eq \f(PD,AD)的值为( )
A．1 B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．2
答案 A
解析 ∵eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))，∴PA必为以PB，PC为邻边的平行四边形的对角线．
∵D为边BC的中点，∴D为PA的中点，∴eq \f(PD,AD)＝1.
4．已知非零向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
答案 D
解析 ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A\(B,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，∴∠A的平分线所在的向量与eq \(BC,\s\up6(→))垂直，所以△ABC为等腰三角形．又eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，∴csA＝eq \f(1,2)，∴∠A＝eq \f(π,3).故△ABC为等边三角形．
5．已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )
A．b＝a3 B．b＝a3＋eq \f(1,a)
C．(b－a3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－a3－\f(1,a)))＝0 D．|b－a3|＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b－a3－\f(1,a)))＝0
答案 C
解析 由题意，知eq \(OA,\s\up6(→))＝(0，b)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(a，a3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(a，a3－b)．因为△OAB为直角三角形，所以①若eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，即a3b＝0，当b＝0时，点O与点A重合；当a＝0时，点O与点B重合，故a3b≠0，即OA与OB不垂直．
②若eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，即b(a3－b)＝0，又b≠0，故a3＝b.
③若eq \(OB,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，则eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，即a2＋a3(a3－b)＝0，又a≠0，故a3＋eq \f(1,a)－b＝0.
故当△OAB为直角三角形时，有a3＝b或a3＋eq \f(1,a)－b＝0，即(b－a3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－a3－\f(1,a)))＝0.
二、填空题
6．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，
则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MD,\s\up6(→))＝________.
答案 2
解析 根据题意可得eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(CB,\s\up6(→))＋\(BA,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(CB,\s\up6(→))＋\(CD,\s\up6(→))))＝－eq \f(1,4)|eq \(CB,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)×(eq \r(2))2＋eq \f(1,2)×eq \r(2)×1×cs135°－eq \f(1,2)×eq \r(2)×2×cs135°＋2×1×cs0°
＝－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＋1＋2＝2.
7．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则eq \f(PA2＋PB2,PC2)＝_______.
答案 10
解析 将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，
则eq \f(PA2＋PB2,PC2)＝eq \f(\(PA,\s\up6(→))2＋\(PB,\s\up6(→))2,\(PC,\s\up6(→))2)＝eq \f(\(PC,\s\up6(→))＋\(CA,\s\up6(→))2＋\(PC,\s\up6(→))＋\(CB,\s\up6(→))2,\(PC,\s\up6(→))2)＝eq \f(2|\(PC,\s\up6(→))|2＋2\(PC,\s\up6(→))·\(CA,\s\up6(→))＋\(CB,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))2,|\(PC,\s\up6(→))|2)
＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|2,|\(PC,\s\up6(→))|2)－6＝42－6＝10.
8．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为eq \f(1,2)，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))
解析 以α，β为邻边的平行四边形的面积为S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝eq \f(1,2)，
所以sinθ＝eq \f(1,2|β|)，又因为|β|≤1，所以eq \f(1,2|β|)≥eq \f(1,2)，
即sinθ≥eq \f(1,2)且θ∈[0，π]，所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))).
三、解答题
9.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝eq \f(1,2)DC．
求：(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
解 (1)设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，
则eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
∴|eq \(AD,\s\up6(→))|2＝eq \(AD,\s\up6(→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))2＝eq \f(4,9)a2＋2×eq \f(2,9)a·b＋eq \f(1,9)b2＝eq \f(4,9)×9＋2×eq \f(2,9)×3×3×cs120°＋eq \f(1,9)×9＝3.
故AD＝eq \r(3).
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角．
∵csθ＝eq \f(\(AD,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))·b,\r(3)×3)＝eq \f(\f(1,3)b2＋\f(2,3)a·b,3\r(3))＝eq \f(\f(1,3)×9＋\f(2,3)×3×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),3\r(3))＝0，
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
B级：“四能”提升训练
1．在矩形ABCD中，AB＝eq \r(3)，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.
答案 eq \f(\r(21),2)
解析 如图，以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，eq \r(3))，C(3，eq \r(3))，D(3,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，eq \r(3))，设eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，则点E的坐标为(3λ，eq \r(3)λ)，故eq \(BE,\s\up6(→))＝(3λ，eq \r(3)λ－eq \r(3))．因为BE⊥AC，所以eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝eq \f(1,4)，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(\r(3),4))).故eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，－\f(\r(3),4)))，则|eq \(ED,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),4)))2)＝eq \f(\r(21),2)，即ED＝eq \f(\r(21),2).
2．四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0