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2021年安徽杜集区淮北十二中高二上学期期末数学试卷
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这是一份2021年安徽杜集区淮北十二中高二上学期期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共13小题；共65分）
1. 设 0A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 若椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 12，则双曲线 x2a2−y2b2=1 的渐近线方程为
A. y=±32xB. y=±3xC. y=±12xD. y=±x
3. 已知命题 p：∃x∈R，使 sinx=52；命题 q：∀x∈R，都有 x2+x+1>0．给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“¬p∨q”是假命题；
③命题“¬p∨q”是真命题；
④命题“p∨¬q”是假命题；
其中正确的是
A. ②③B. ②④C. ③④D. ①②③
4. 以双曲线 x24−y2=1 的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是
A. y2=4xB. y2=45xC. y2=85xD. y2=5x
5. 在四面体 ABCD 中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且 平面ABD⊥平面BCD，M 为 AB 中点，则 CM 与平面 ABD 所成角的正弦值为
A. 22B. 33C. 32D. 63
6. 若双曲线 x2a2−y2b2=1a>b>0 的渐近线和圆 x2+y2−6y+8=0 相切，则该双曲线的离心率等于
A. 2B. 2C. 3D. 3
7. 过抛物线：y2=2px（p>0）的焦点 F 作倾斜角为 60∘ 的直线 l，若直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A，并且点 A 也在双曲线：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为
A. 213B. 13C. 233D. 5
8. 已知如图所示的三棱锥 D−ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，△ABC 和 △DBC 所在平面相互垂直，AB=3，AC=3，BC=CD=BD=23，则球 O 的表面积为
A. 4πB. 12πC. 16πD. 36π
9. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为
A. 22B. 4C. 23D. 26
10. 若曲线 y=1−ex,x≤11x−1,x>1 与直线 y=kx+1 有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是
A. −3−22,−3+22
B. −3+22,0∪0,+∞
C. −∞,−3−22∪0,+∞
D. −3−22,0∪0,+∞
11. 如图，已知 直线a∥平面α，在平面 α 内有一动点 P，点 A 是定直线 a 上定点，且 AP 与 a 所成角为 θ（θ 为锐角），点 A 到平面 α 距离为 d，则动点 P 的轨迹方程为
A. x2tan2θ+y2=d2B. x2tan2θ−y2=d2
C. y2=2dx−dtanθD. y2=−2dx−dtanθ
12. 如果曲线 C 上的点满足方程 Fx,y=0 ，则以下说法正确的是
A. 曲线 C 的方程是 Fx,y=0
B. 方程 Fx,y=0 的曲线是 C
C. 坐标满足方程 Fx,y=0 的点在曲线 C 上
D. 坐标不满足方程 Fx,y=0 的点不在曲线 C 上
13. 若点 P 在椭圆 x22+y2=1 上，F1 、 F2 分别是椭圆的两焦点，且 ∠F1PF2 为直角，则 △F1PF2 的面积为
A. 2B. 1C. 32D. 12
二、填空题（共5小题；共25分）
14. 在 △ABC 中，“A>π6”是“sinA>12”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）
15. 直线 y=x+m 与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 M 、 N，且 ∣MN∣≥3∣OM+ON∣，其中 O 为坐标原点，则实数 m 的取值范围是 ．
16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 在椭圆 x225+y29=1 上，点 P 满足 AP=λ−1OAλ∈R，且 OA⋅OP=72，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 ．
17. 如图所示，正方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 的棱长为 1，E，F 分别是棱 AAʹ，CCʹ 的中点，过直线 EF 的平面分别与棱 BBʹ，DDʹ 分别交于 M，N 两点，设 BM=x，x∈0,1，给出以下四个结论：
① 平面MENF⊥平面BDDʹBʹ；
② 直线AC∥平面MENF 始终成立；
③四边形 MENF 周长 L=fx，x∈0,1 是单调函数；
④四棱锥 Cʹ−MENF 的体积 V=hx 为常数；
以上结论正确的是 ．
18. 已知正四棱锥 V−ABCD 可绕着 AB 任意旋转，CD∥平面α．若 AB=2，VA=5，则正四棱锥 V−ABCD 在面 α 内的投影面积的取值范围是 ．
三、解答题（共8小题；共104分）
19. 设命题 p：“若 a≥0，则 x2+x−a=0 有实根”．
（1）试写出命题 p 的逆否命题；
（2）判断命题 p 的逆否命题的真假，并写出判断过程．
20. 已知圆 C:x−12+y−22=2，点 P 坐标为 2,−1，过点 P 作圆 C 的切线，切点为 A，B．
（1）求直线 PA，PB 的方程；
（2）求切线长 ∣PA∣ 的值．
（3）求直线 AB 的方程．
21. 如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，D 是 AB 的中点．
（1）证明：BC1∥平面A1CD；
（2）设 AA1=AC=CB=2，AB=22，求异面直线 BC1 与 A1D 所成角的大小．
22. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90∘，PA⊥底面ABCD，且 PA=AD=AB=2BC=2，M，N 分别为 PC，PB 的中点．
（1）求证：PB⊥平面ADMN；
（2）求 BD 与平面 ADMN 所成的角；
（3）点 E 在线段 PA 上，试确定点 E 的位置，使二面角 A−CD−E 为 45∘．
23. 如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 经过点 P1,32，离心率 e=12，直线 l 的方程为 x=4．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）AB 是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P），设直线 AB 与直线 l 相交于点 M，记 PA，PB，PM 的斜率分别为 k1，k2，k3．问：是否存在常数 λ，使得 k1+k2=λk3?若存在，求 λ 的值；若不存在，说明理由．
24. 如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）求证：C1F∥平面ABE；
（3）求三棱锥 E−ABC 的体积．
25. 如图，曲线 M:y2=x 与曲线 N:x−42+2y2=m2m>0 相交于 A,B,C,D 四个点．
（1）求 m 的取值范围；
（2）求四边形 ABCD 的面积的最大值及此时对角线 AC 与 BD 的交点坐标．
26. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 32，它的一个顶点恰好是抛物线 x2=42y 的焦点．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 x=2 与椭圆交于 P，Q 两点，P 点位于第一象限，A，B 是椭圆上位于直线 x=2 两侧的动点．
i 若直线 AB 的斜率为 12 ， 求四边形 APBQ 面积的最大值；
ii 当点 A,B 运动时，满足 ∠APQ=∠BPQ，问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】若 xsin2x<1，则 xsin2xsinx<1sinx．
因为 1sinx>1，
所以 \（x\sin ^{2}x<1\nRightarrw x\sin x<1\）；
若 xsinx<1，则 xsin2x所以 xsinx<1⇒xsin2x<1．
2. A【解析】椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 12，可得 c2a2=14，可得 a2−b2a2=14，解得 ba=32，
所以双曲线 x2a2−y2b2=1 的渐近线方程为：y=±32x．
3. B【解析】因为 52>1，结合正弦函数的性质，易得命题 p 为假命题，
又因为 x2+x+1=x+122+34>0 恒成立，所以 q 为真命题，
故 ¬p 是真命题，¬q 是假命题；
所以①“p∧q”是假命题，①错误；
“p∧¬q”是假命题，②正确，③错误；
命题“p∨¬q”是假命题，④正确；故答案为：②④．
4. B【解析】根据双曲线的方程知，该双曲线的中心为原点，右焦点为 5,0；
所以抛物线方程可设为 y2=2px；
所以 p2=5；
所以 p=25；
所以抛物线方程为 y2=45x．
5. D
【解析】如图所示，取 BD 的中点 O，连接 OA，OC，
因为 AB=AD=BC=CD=1，
所以 OA⊥BD，OC⊥BD．
又 平面ABD⊥平面BCD，
所以 OA⊥平面BCD，OA⊥OC．
建立空间直角坐标系．
又 AB⊥AD，
所以 DB=2．
所以 O0,0,0，A0,0,22，B0,22,0，M0,24,24，C22,0,0．
所以 MC=22,−24,−24．
取平面 ABD 的法向量 n=1,0,0，
所以 CM 与平面 ABD 所成角的正弦值 =∣n⋅MC∣∣n∣∣MC∣=2232=63．
6. C【解析】双曲线 x2a2−y2b2=1a>b>0 的渐近线方程为 y=±bax，即 bx±ay=0．
又因为渐近线与圆 x2+y−32=1 相切，
所以点 0,3 到直线 bx±ay=0 的距离等于半径 1，
即 3ab2+a2=1，解之得 c=3a，可得双曲线离心率为 e=ca=3．
7. A【解析】如图，
设 Ax0,y0，则 ∣AF∣=2x0−p2，又 ∣AF∣=x0+p2，所以 2x0−p2=x0+p2，解得 x0=32p，y0=32∣AF∣=322p=3p，
因为 A32p,3p 在双曲线：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线上，
所以 3p=ba⋅32p，解得：b2=43a2，
由 a2+b2=c2，得 a2+43a2=c2，即 c2a2=73，所以 ca=213．
8. C【解析】因为 AB=3，AC=3，BC=23，
所以 AB2+AC2=BC2，
所以 AC⊥AB，
所以 △ABC 的外接圆的半径为 3，
因为 △ABC 和 △DBC 所在平面相互垂直，
所以球心在 BC 边的高上，
设球心到平面 ABC 的距离为 h，则 h2+3=R2=32×23−h2，
所以 h=1，R=2，
所以球 O 的表面积为 4πR2=16π．
9. C【解析】由三视图知该几何体为棱锥 S−ABD，其中 SC⊥平面ABCD；四面体 S−ABD 的四个面中 SBD 面的面积最大，三角形 SBD 是边长为 22 的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为 34×8=23．
10. B
【解析】作出曲线 y=1−ex,x≤11x−1,x>1 的图象如图：
直线 y=kx+1 过定点 0,1，
当 k=0 时，两个函数只有一个交点，不满足条件，
当 k>0 时，两个函数有 2 个交点，满足条件，
当 k<0 时，直线 y=kx+1 与 y=1x−1 在 x>1 相切时，两个函数只有一个交点，此时 1x−1=kx+1，即 kx2+1−kx−2=0，
判别式 Δ=1−k2+8k=0，k2+6k+1=0，
解得：k=−3+22 或 k=−3−22（舍去），
则此时满足 −3+22综上满足条件的 k 的取值范围是 −3+22,0∪0,+∞．
11. B【解析】过点 A 作 AO⊥α 于点 O，在平面 α 内，以过点 O 作直线 a 的平行线为 x 轴，以过点 O 作 x 轴的垂线为 y 轴建立直角坐标系，作 PB⊥y 轴，连接 AB，
设 P 点坐标为：x,y，
由题意可得：∠APB=θ，AB=xtanθ，OB=y，AO=d．
所以，由勾股定理可得：xtanθ2=d2+y2，
整理可得动点 P 的轨迹方程为：x2tan2θ−y2=d2．
12. D【解析】判断曲线和方程对应关系，必须注意两点：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说，“点不比解多”，称为纯粹性．
②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说，“解不比点多”，称为完备性，由已知条件只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性．
13. B【解析】设 ∣PF1∣=m,∣PF2∣=n，根据题意，得 m2+n2=2c2,m+n=2a.
结合 c=1,a=2，得 m2+n2=4,⋯⋯①m+n=22.⋯⋯②
由 ②2−①，得 mn=2，
所以 △F1PF2 的面积为 12mn=1．
第二部分
14. 必要不充分
【解析】因为 A 是三角形内角，所以 0首先“A>π6”\（ \nRightarrw \）“sinA>12”，
如 A=6π7>π6，而 sinA=sinπ−6π7=sinπ7其次由“sinA>12”⇒π6故“A>π6”是“sinA>12”的必要不充分条件．
15. −2,2
16. 15
【解析】因为 AP=λ−1OA，
所以 OP=λOA，
则 O，P，A 三点共线．
因为 OA⋅OP=72，
所以 OAOP=72，
设线段 OP 与 x 轴的夹角为 θ，设 Ax,y，B 为点 A 在 x 轴的投影，
则线段 OP 在 x 轴上的投影长度为
OPcsθ=72OBOA2=72×xx2+y2=72×11625x+9x≤72×1216×925=15.
当且仅当 x=154 时等号成立．
则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 15．
17. ①②④
【解析】对于①：显然，EF⊥BD，又 EF⊥DDʹ，
所以 EF⊥平面BDDʹBʹ，
所以 平面MENF⊥平面BDDʹBʹ；
所以①正确；
对于②：由已知条件，E，F 是所在棱的中点，则 EF∥AC，且 EF⊂平面MENF，AC⊄平面MENF，
所以 直线AC∥平面MENF 始终成立，
故②正确；
对于③：M 在 B 时，N 在 Dʹ，MENF 的周长最大，MN 在所在棱的中点时，MENF 的周长最小，M 在 Bʹ，N 在 D 时，MENF 的周长最大，
四边形 MENF 周长 L=fx，x∈0,1 不是单调函数．
故③不正确；
对于④：连接 CʹE，CʹM，CʹN，
则四棱锥则分割为两个小三棱锥，
它们以 CʹEF 为底，以 M，N 分别为顶点的两个小棱锥．
因为三角形 CʹEF 的面积是个常数．M，N 到平面 CʹEF 的距离是个常数，
所以四棱锥 Cʹ−MENF 的体积 V 为常函数，所以④正确．
综上，正确的有①②④．
18. 3,4
【解析】由题意，侧面上的高为 5−1=2，所以侧面的面积为 12×2×2=2，又由于底面的面积为 2×2=4，
当正四棱锥的高平行于面时面积最小是 3，
所以正四棱锥 V−ABCD 在面 α 内的投影面积的取值范围是 3,4．
第三部分
19. （1） 命题的逆否命题是：若 x2+x−a=0 无实根，则 a<0．
（2） 因为 x2+x−a=0 无实根，所以 Δ=1+4a<0，所以 a<−14<0，所以命题 p 的逆否命题是真命题．
20. （1） 易知切线斜率存在，设过 P 点圆的切线方程为 y+1=kx−2，
即 kx−y−2k−1=0．
因为圆心 1,2 到直线的距离为 2．
所以 ∣−k−3∣k2+1=2，
解得 k=7 或 k=−1，
故所求的切线方程为 7x−y−15=0 或 x+y−1=0．
（2） 在 Rt△PCA 中，
因为 ∣PC∣=2−12+−1−22=10，∣CA∣=2，
所以 ∣PA∣2=∣PC∣2−∣CA∣2=8．
所以过点 P 的圆的切线长为 22．
（3） 容易求出 kPC=−3，所以 kAB=13，
如图，
由 CA2=CD⋅PC，可求出 CD=CA2PC=210，
设直线 AB 的方程为 y=13x+b，即 x−3y+3b=0，
由 210=∣1−6+3b∣1+32，
解得 b=1 或 b=73（舍），
所以直线 AB 的方程为 x−3y+3=0．
21. （1） 连接 AC1，交 A1C 于点 O，连接 OD，
因为 D 是 AB 的中点，O 是 AC1 的中点，
所以 BC1∥OD，
因为 BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，
所以 BC1∥平面A1CD．
（2） 结合（1）易知 ∠A1DO 即为异面直线 BC1 与 A1D 所成角，
因为 AC=BC，D 为 AB 的中点，
所以 CD⊥AB，
又因为该三棱柱是直三棱柱，
所以 CD⊥平面ABB1A1，
因为 AA1=AC=CB=2，AB=22，
所以 A1D=6，DO=A1O=12A1C=2，
所以 cs∠A1DO=32，
所以 ∠A1DO=π6．
22. （1） 因为 M，N 分别为 PC，PB 的中点，AD∥BC，
所以 AD∥MN，即 A，D，M，N 四点共面，
因为 N 是 PB 的中点，PA=AB，
所以 AN⊥PB．
因为 AD⊥面PAB，
所以 AD⊥PB．
又因为 AD∩AN=N，AD⊂平面ADMN，AN⊂平面ADMN，
所以 PB⊥平面ADMN．
（2） 连接 DN，
因为 PB⊥平面ADMN，
所以 ∠BDN 是 BD 与平面 ADMN 所成的角．
在 Rt△BDN 中，sin∠BDN=BNBD=12，
所以 BD 与平面 ADMN 所成的角是 π6．
（3） 作 AF⊥CD 于点 F，连接 EF，
因为 PA⊥底面ABCD，
所以 CD⊥PA，
所以 CD⊥平面PAF，
所以 CD⊥EF，
所以 ∠AFE 就是二面角 A−CD−E 的平面角，
若 ∠AFE=45∘，则 AE=AF，
由 AF⋅CD=AB⋅AD，可解得 AF=455，
所以当 AE=455 时，二面角 A−CD−E 的平面角为 45∘．
23. （1） 由 P1,32 在椭圆上得，1a2+94b2=1, ⋯⋯①
依题设知 a=2c，则 b2=3c2, ⋯⋯②
② 代入 ①，解得 c2=1，a2=4，b2=3．
故椭圆 C 的方程为 x24+y23=1．
（2） 由题意可设 AB 的斜率为 k，
则直线 AB 的方程为 y=kx−1, ⋯⋯③
代入椭圆方程 3x2+4y2=12，并整理，得 4k2+3x2−8k2x+4k2−3=0．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则有 x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2−34k2+3, ⋯⋯④
在方程 ③ 中令 x=4，得 M 的坐标为 4,3k．
从而 k1=y1−32x1−1，k2=y2−32x2−1，k3=3k−324−1=k−12．
注意到 A，F，B 共线，则有 k=kAF=kBF，即有 y1x1−1=y2x2−1=k．
所以
k1+k2=y1−32x1−1+y2−32x2−1=y1x1−1+y2x2−1−321x1−1+1x2−1=2k−32⋅x1+x2−2x1x2−x1+x2+1, ⋯⋯⑤
④ 代入 ⑤ 得 k1+k2=2k−32⋅8k24k2+3−24k2−34k2+3−8k24k2+3+1=2k−1，
又 k3=k−12，
所以 k1+k2=2k3．故存在常数 λ=2 符合题意．
24. （1） 因为 AB⊥BC ，在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中 BB1⊥AB ，且 BB1∩BC=B ，所以 AB⊥平面BB1CC1 ，又 AB⊂平面ABE，所以 平面ABE⊥平面B1BCC1．
（2）
取 AB 中点 G，连接 GF、GE，由 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点，所以 GF∥AC，GF=12AC，EC1∥AC，EC1=12AC ，所以 GF∥EC1，GF=EC1 ，所以四边形 GFC1E 为平行四边形，所以 C1F∥GE ，由 GE⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE ，所以 C1F∥平面ABE．
（3） 由题目条件，VE−ABC=13×12×3×1×2=33 .
25. （1） 联立曲线 M,N 消去 y 可得 x−42+2x−m2=0，即 x2−6x+16−m2=0，根据条件可得
Δ=36−416−m2>0,x1+x2=6>0,x1x2=16−m2>0,
解得 7 （2） 设 Ax1,y1，Bx2,y2，x2>x1，y1>0，y2>0，则
SABCD=y1+y2x2−x1=x1+x2x2−x1=x1+x2+2x1x2⋅x1+x22−4x1x2=6+216−m2⋅36−4×16−m2.
令 t=16−m2，则 t∈0,3，
SABCD=6+2t⋅36−4t2=22×−t3−3t2+9t+27.
设 ft=−t3−3t2+9t+27，则令
fʹt=−3t2−6t+9=−3t2+2t−3=−3t−1t+3=0.
可得当 t∈0,3 时，fx 的最大值为 f1=32，从而 SABCD 的最大值为 16．
此时 t=1，即 16−m2=1，则 m2=15．
联立曲线 M,N 的方程消去 y 并整理得 x2−6x+1=0，解得 x1=3−22,x2=3+22，
所以 A 点坐标为 3−22,2−1，C 点坐标为 3+22,−2−1，
kAC=−2−1−2−13+22−3−22=−12.
则直线 AC 的方程为
y−2−1=−12x−3−22.
当 y=0 时，x=1，由对称性可知 AC 与 BD 的交点在 x 轴上，
即对角线 AC 与 BD 交点坐标为 1,0．
26. （1） 设椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0, 因为抛物线 x2=42y 的焦点是 0,2 ， b=2 .
由 ca=32,a2=b2+c2, 得 a=22 .
所以椭圆的标准方程为 x28+y22=1 .
（2） i 设 Ax1,y1,Bx2,y2, 直线 AB 的方程为 y=12x+t,
联立 x28+y22=1,y=12x+t.
得：2x2+4tx+4t2−8=0, 即 x2+2tx+2t2−4=0 .
由 Δ>0, 解得 −2由韦达定理得：x1+x2=−2t,x1x2=2t2−4 .
在 x28+y22=1 中，令 x=2 得 P2,1,Q2,−1
所以四边形 APBQ 的面积 :
S=S△APQ+S△BPQ=12∣PQ∣∣x2−x1∣=12×2×∣x2−x1∣=∣x2−x1∣=x1+x22−4x1x2=4t2−42t2−4=−4t2+16.
所以当 t=0 时，Smax=4 .
ii 当 ∠APQ=∠BPQ 时，PA,PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k, 则 PB 的斜率为 −k .
所以 PA 的直线方程为 y−1=kx−2 .
由 y−1=kx−2,x28+y22=1.,
得：1+4k2x2+8k1−2kx+41−2k2−8=0 .
所以 x1+2=8k2k−11+4k2；
同理 PB 的直线方程为 y−1=−kx−2，
可得 x2+2=8k2k+11+4k2 .
所以 x1+x2=16k2−41+4k2,x1−x2=−16k1+4k2 .
所以直线 AB 的斜率为：
kAB=y1−y2x1−x2=kx1−2+1+kx2−2−1x1−x2=kx1+x2−4kx1−x2=k⋅16k2−41+4k2−4k−16k1+4k2=12.
一、选择题（共13小题；共65分）
1. 设 0
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 若椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 12，则双曲线 x2a2−y2b2=1 的渐近线方程为
A. y=±32xB. y=±3xC. y=±12xD. y=±x
3. 已知命题 p：∃x∈R，使 sinx=52；命题 q：∀x∈R，都有 x2+x+1>0．给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“¬p∨q”是假命题；
③命题“¬p∨q”是真命题；
④命题“p∨¬q”是假命题；
其中正确的是
A. ②③B. ②④C. ③④D. ①②③
4. 以双曲线 x24−y2=1 的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是
A. y2=4xB. y2=45xC. y2=85xD. y2=5x
5. 在四面体 ABCD 中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且 平面ABD⊥平面BCD，M 为 AB 中点，则 CM 与平面 ABD 所成角的正弦值为
A. 22B. 33C. 32D. 63
6. 若双曲线 x2a2−y2b2=1a>b>0 的渐近线和圆 x2+y2−6y+8=0 相切，则该双曲线的离心率等于
A. 2B. 2C. 3D. 3
7. 过抛物线：y2=2px（p>0）的焦点 F 作倾斜角为 60∘ 的直线 l，若直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A，并且点 A 也在双曲线：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为
A. 213B. 13C. 233D. 5
8. 已知如图所示的三棱锥 D−ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，△ABC 和 △DBC 所在平面相互垂直，AB=3，AC=3，BC=CD=BD=23，则球 O 的表面积为
A. 4πB. 12πC. 16πD. 36π
9. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为
A. 22B. 4C. 23D. 26
10. 若曲线 y=1−ex,x≤11x−1,x>1 与直线 y=kx+1 有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是
A. −3−22,−3+22
B. −3+22,0∪0,+∞
C. −∞,−3−22∪0,+∞
D. −3−22,0∪0,+∞
11. 如图，已知 直线a∥平面α，在平面 α 内有一动点 P，点 A 是定直线 a 上定点，且 AP 与 a 所成角为 θ（θ 为锐角），点 A 到平面 α 距离为 d，则动点 P 的轨迹方程为
A. x2tan2θ+y2=d2B. x2tan2θ−y2=d2
C. y2=2dx−dtanθD. y2=−2dx−dtanθ
12. 如果曲线 C 上的点满足方程 Fx,y=0 ，则以下说法正确的是
A. 曲线 C 的方程是 Fx,y=0
B. 方程 Fx,y=0 的曲线是 C
C. 坐标满足方程 Fx,y=0 的点在曲线 C 上
D. 坐标不满足方程 Fx,y=0 的点不在曲线 C 上
13. 若点 P 在椭圆 x22+y2=1 上，F1 、 F2 分别是椭圆的两焦点，且 ∠F1PF2 为直角，则 △F1PF2 的面积为
A. 2B. 1C. 32D. 12
二、填空题（共5小题；共25分）
14. 在 △ABC 中，“A>π6”是“sinA>12”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）
15. 直线 y=x+m 与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 M 、 N，且 ∣MN∣≥3∣OM+ON∣，其中 O 为坐标原点，则实数 m 的取值范围是 ．
16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 在椭圆 x225+y29=1 上，点 P 满足 AP=λ−1OAλ∈R，且 OA⋅OP=72，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 ．
17. 如图所示，正方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 的棱长为 1，E，F 分别是棱 AAʹ，CCʹ 的中点，过直线 EF 的平面分别与棱 BBʹ，DDʹ 分别交于 M，N 两点，设 BM=x，x∈0,1，给出以下四个结论：
① 平面MENF⊥平面BDDʹBʹ；
② 直线AC∥平面MENF 始终成立；
③四边形 MENF 周长 L=fx，x∈0,1 是单调函数；
④四棱锥 Cʹ−MENF 的体积 V=hx 为常数；
以上结论正确的是 ．
18. 已知正四棱锥 V−ABCD 可绕着 AB 任意旋转，CD∥平面α．若 AB=2，VA=5，则正四棱锥 V−ABCD 在面 α 内的投影面积的取值范围是 ．
三、解答题（共8小题；共104分）
19. 设命题 p：“若 a≥0，则 x2+x−a=0 有实根”．
（1）试写出命题 p 的逆否命题；
（2）判断命题 p 的逆否命题的真假，并写出判断过程．
20. 已知圆 C:x−12+y−22=2，点 P 坐标为 2,−1，过点 P 作圆 C 的切线，切点为 A，B．
（1）求直线 PA，PB 的方程；
（2）求切线长 ∣PA∣ 的值．
（3）求直线 AB 的方程．
21. 如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，D 是 AB 的中点．
（1）证明：BC1∥平面A1CD；
（2）设 AA1=AC=CB=2，AB=22，求异面直线 BC1 与 A1D 所成角的大小．
22. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90∘，PA⊥底面ABCD，且 PA=AD=AB=2BC=2，M，N 分别为 PC，PB 的中点．
（1）求证：PB⊥平面ADMN；
（2）求 BD 与平面 ADMN 所成的角；
（3）点 E 在线段 PA 上，试确定点 E 的位置，使二面角 A−CD−E 为 45∘．
23. 如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 经过点 P1,32，离心率 e=12，直线 l 的方程为 x=4．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）AB 是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P），设直线 AB 与直线 l 相交于点 M，记 PA，PB，PM 的斜率分别为 k1，k2，k3．问：是否存在常数 λ，使得 k1+k2=λk3?若存在，求 λ 的值；若不存在，说明理由．
24. 如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）求证：C1F∥平面ABE；
（3）求三棱锥 E−ABC 的体积．
25. 如图，曲线 M:y2=x 与曲线 N:x−42+2y2=m2m>0 相交于 A,B,C,D 四个点．
（1）求 m 的取值范围；
（2）求四边形 ABCD 的面积的最大值及此时对角线 AC 与 BD 的交点坐标．
26. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 32，它的一个顶点恰好是抛物线 x2=42y 的焦点．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 x=2 与椭圆交于 P，Q 两点，P 点位于第一象限，A，B 是椭圆上位于直线 x=2 两侧的动点．
i 若直线 AB 的斜率为 12 ， 求四边形 APBQ 面积的最大值；
ii 当点 A,B 运动时，满足 ∠APQ=∠BPQ，问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】若 xsin2x<1，则 xsin2xsinx<1sinx．
因为 1sinx>1，
所以 \（x\sin ^{2}x<1\nRightarrw x\sin x<1\）；
若 xsinx<1，则 xsin2x
2. A【解析】椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 12，可得 c2a2=14，可得 a2−b2a2=14，解得 ba=32，
所以双曲线 x2a2−y2b2=1 的渐近线方程为：y=±32x．
3. B【解析】因为 52>1，结合正弦函数的性质，易得命题 p 为假命题，
又因为 x2+x+1=x+122+34>0 恒成立，所以 q 为真命题，
故 ¬p 是真命题，¬q 是假命题；
所以①“p∧q”是假命题，①错误；
“p∧¬q”是假命题，②正确，③错误；
命题“p∨¬q”是假命题，④正确；故答案为：②④．
4. B【解析】根据双曲线的方程知，该双曲线的中心为原点，右焦点为 5,0；
所以抛物线方程可设为 y2=2px；
所以 p2=5；
所以 p=25；
所以抛物线方程为 y2=45x．
5. D
【解析】如图所示，取 BD 的中点 O，连接 OA，OC，
因为 AB=AD=BC=CD=1，
所以 OA⊥BD，OC⊥BD．
又 平面ABD⊥平面BCD，
所以 OA⊥平面BCD，OA⊥OC．
建立空间直角坐标系．
又 AB⊥AD，
所以 DB=2．
所以 O0,0,0，A0,0,22，B0,22,0，M0,24,24，C22,0,0．
所以 MC=22,−24,−24．
取平面 ABD 的法向量 n=1,0,0，
所以 CM 与平面 ABD 所成角的正弦值 =∣n⋅MC∣∣n∣∣MC∣=2232=63．
6. C【解析】双曲线 x2a2−y2b2=1a>b>0 的渐近线方程为 y=±bax，即 bx±ay=0．
又因为渐近线与圆 x2+y−32=1 相切，
所以点 0,3 到直线 bx±ay=0 的距离等于半径 1，
即 3ab2+a2=1，解之得 c=3a，可得双曲线离心率为 e=ca=3．
7. A【解析】如图，
设 Ax0,y0，则 ∣AF∣=2x0−p2，又 ∣AF∣=x0+p2，所以 2x0−p2=x0+p2，解得 x0=32p，y0=32∣AF∣=322p=3p，
因为 A32p,3p 在双曲线：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线上，
所以 3p=ba⋅32p，解得：b2=43a2，
由 a2+b2=c2，得 a2+43a2=c2，即 c2a2=73，所以 ca=213．
8. C【解析】因为 AB=3，AC=3，BC=23，
所以 AB2+AC2=BC2，
所以 AC⊥AB，
所以 △ABC 的外接圆的半径为 3，
因为 △ABC 和 △DBC 所在平面相互垂直，
所以球心在 BC 边的高上，
设球心到平面 ABC 的距离为 h，则 h2+3=R2=32×23−h2，
所以 h=1，R=2，
所以球 O 的表面积为 4πR2=16π．
9. C【解析】由三视图知该几何体为棱锥 S−ABD，其中 SC⊥平面ABCD；四面体 S−ABD 的四个面中 SBD 面的面积最大，三角形 SBD 是边长为 22 的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为 34×8=23．
10. B
【解析】作出曲线 y=1−ex,x≤11x−1,x>1 的图象如图：
直线 y=kx+1 过定点 0,1，
当 k=0 时，两个函数只有一个交点，不满足条件，
当 k>0 时，两个函数有 2 个交点，满足条件，
当 k<0 时，直线 y=kx+1 与 y=1x−1 在 x>1 相切时，两个函数只有一个交点，此时 1x−1=kx+1，即 kx2+1−kx−2=0，
判别式 Δ=1−k2+8k=0，k2+6k+1=0，
解得：k=−3+22 或 k=−3−22（舍去），
则此时满足 −3+22
11. B【解析】过点 A 作 AO⊥α 于点 O，在平面 α 内，以过点 O 作直线 a 的平行线为 x 轴，以过点 O 作 x 轴的垂线为 y 轴建立直角坐标系，作 PB⊥y 轴，连接 AB，
设 P 点坐标为：x,y，
由题意可得：∠APB=θ，AB=xtanθ，OB=y，AO=d．
所以，由勾股定理可得：xtanθ2=d2+y2，
整理可得动点 P 的轨迹方程为：x2tan2θ−y2=d2．
12. D【解析】判断曲线和方程对应关系，必须注意两点：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说，“点不比解多”，称为纯粹性．
②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说，“解不比点多”，称为完备性，由已知条件只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性．
13. B【解析】设 ∣PF1∣=m,∣PF2∣=n，根据题意，得 m2+n2=2c2,m+n=2a.
结合 c=1,a=2，得 m2+n2=4,⋯⋯①m+n=22.⋯⋯②
由 ②2−①，得 mn=2，
所以 △F1PF2 的面积为 12mn=1．
第二部分
14. 必要不充分
【解析】因为 A 是三角形内角，所以 0
如 A=6π7>π6，而 sinA=sinπ−6π7=sinπ7
15. −2,2
16. 15
【解析】因为 AP=λ−1OA，
所以 OP=λOA，
则 O，P，A 三点共线．
因为 OA⋅OP=72，
所以 OAOP=72，
设线段 OP 与 x 轴的夹角为 θ，设 Ax,y，B 为点 A 在 x 轴的投影，
则线段 OP 在 x 轴上的投影长度为
OPcsθ=72OBOA2=72×xx2+y2=72×11625x+9x≤72×1216×925=15.
当且仅当 x=154 时等号成立．
则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 15．
17. ①②④
【解析】对于①：显然，EF⊥BD，又 EF⊥DDʹ，
所以 EF⊥平面BDDʹBʹ，
所以 平面MENF⊥平面BDDʹBʹ；
所以①正确；
对于②：由已知条件，E，F 是所在棱的中点，则 EF∥AC，且 EF⊂平面MENF，AC⊄平面MENF，
所以 直线AC∥平面MENF 始终成立，
故②正确；
对于③：M 在 B 时，N 在 Dʹ，MENF 的周长最大，MN 在所在棱的中点时，MENF 的周长最小，M 在 Bʹ，N 在 D 时，MENF 的周长最大，
四边形 MENF 周长 L=fx，x∈0,1 不是单调函数．
故③不正确；
对于④：连接 CʹE，CʹM，CʹN，
则四棱锥则分割为两个小三棱锥，
它们以 CʹEF 为底，以 M，N 分别为顶点的两个小棱锥．
因为三角形 CʹEF 的面积是个常数．M，N 到平面 CʹEF 的距离是个常数，
所以四棱锥 Cʹ−MENF 的体积 V 为常函数，所以④正确．
综上，正确的有①②④．
18. 3,4
【解析】由题意，侧面上的高为 5−1=2，所以侧面的面积为 12×2×2=2，又由于底面的面积为 2×2=4，
当正四棱锥的高平行于面时面积最小是 3，
所以正四棱锥 V−ABCD 在面 α 内的投影面积的取值范围是 3,4．
第三部分
19. （1） 命题的逆否命题是：若 x2+x−a=0 无实根，则 a<0．
（2） 因为 x2+x−a=0 无实根，所以 Δ=1+4a<0，所以 a<−14<0，所以命题 p 的逆否命题是真命题．
20. （1） 易知切线斜率存在，设过 P 点圆的切线方程为 y+1=kx−2，
即 kx−y−2k−1=0．
因为圆心 1,2 到直线的距离为 2．
所以 ∣−k−3∣k2+1=2，
解得 k=7 或 k=−1，
故所求的切线方程为 7x−y−15=0 或 x+y−1=0．
（2） 在 Rt△PCA 中，
因为 ∣PC∣=2−12+−1−22=10，∣CA∣=2，
所以 ∣PA∣2=∣PC∣2−∣CA∣2=8．
所以过点 P 的圆的切线长为 22．
（3） 容易求出 kPC=−3，所以 kAB=13，
如图，
由 CA2=CD⋅PC，可求出 CD=CA2PC=210，
设直线 AB 的方程为 y=13x+b，即 x−3y+3b=0，
由 210=∣1−6+3b∣1+32，
解得 b=1 或 b=73（舍），
所以直线 AB 的方程为 x−3y+3=0．
21. （1） 连接 AC1，交 A1C 于点 O，连接 OD，
因为 D 是 AB 的中点，O 是 AC1 的中点，
所以 BC1∥OD，
因为 BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，
所以 BC1∥平面A1CD．
（2） 结合（1）易知 ∠A1DO 即为异面直线 BC1 与 A1D 所成角，
因为 AC=BC，D 为 AB 的中点，
所以 CD⊥AB，
又因为该三棱柱是直三棱柱，
所以 CD⊥平面ABB1A1，
因为 AA1=AC=CB=2，AB=22，
所以 A1D=6，DO=A1O=12A1C=2，
所以 cs∠A1DO=32，
所以 ∠A1DO=π6．
22. （1） 因为 M，N 分别为 PC，PB 的中点，AD∥BC，
所以 AD∥MN，即 A，D，M，N 四点共面，
因为 N 是 PB 的中点，PA=AB，
所以 AN⊥PB．
因为 AD⊥面PAB，
所以 AD⊥PB．
又因为 AD∩AN=N，AD⊂平面ADMN，AN⊂平面ADMN，
所以 PB⊥平面ADMN．
（2） 连接 DN，
因为 PB⊥平面ADMN，
所以 ∠BDN 是 BD 与平面 ADMN 所成的角．
在 Rt△BDN 中，sin∠BDN=BNBD=12，
所以 BD 与平面 ADMN 所成的角是 π6．
（3） 作 AF⊥CD 于点 F，连接 EF，
因为 PA⊥底面ABCD，
所以 CD⊥PA，
所以 CD⊥平面PAF，
所以 CD⊥EF，
所以 ∠AFE 就是二面角 A−CD−E 的平面角，
若 ∠AFE=45∘，则 AE=AF，
由 AF⋅CD=AB⋅AD，可解得 AF=455，
所以当 AE=455 时，二面角 A−CD−E 的平面角为 45∘．
23. （1） 由 P1,32 在椭圆上得，1a2+94b2=1, ⋯⋯①
依题设知 a=2c，则 b2=3c2, ⋯⋯②
② 代入 ①，解得 c2=1，a2=4，b2=3．
故椭圆 C 的方程为 x24+y23=1．
（2） 由题意可设 AB 的斜率为 k，
则直线 AB 的方程为 y=kx−1, ⋯⋯③
代入椭圆方程 3x2+4y2=12，并整理，得 4k2+3x2−8k2x+4k2−3=0．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则有 x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2−34k2+3, ⋯⋯④
在方程 ③ 中令 x=4，得 M 的坐标为 4,3k．
从而 k1=y1−32x1−1，k2=y2−32x2−1，k3=3k−324−1=k−12．
注意到 A，F，B 共线，则有 k=kAF=kBF，即有 y1x1−1=y2x2−1=k．
所以
k1+k2=y1−32x1−1+y2−32x2−1=y1x1−1+y2x2−1−321x1−1+1x2−1=2k−32⋅x1+x2−2x1x2−x1+x2+1, ⋯⋯⑤
④ 代入 ⑤ 得 k1+k2=2k−32⋅8k24k2+3−24k2−34k2+3−8k24k2+3+1=2k−1，
又 k3=k−12，
所以 k1+k2=2k3．故存在常数 λ=2 符合题意．
24. （1） 因为 AB⊥BC ，在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中 BB1⊥AB ，且 BB1∩BC=B ，所以 AB⊥平面BB1CC1 ，又 AB⊂平面ABE，所以 平面ABE⊥平面B1BCC1．
（2）
取 AB 中点 G，连接 GF、GE，由 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点，所以 GF∥AC，GF=12AC，EC1∥AC，EC1=12AC ，所以 GF∥EC1，GF=EC1 ，所以四边形 GFC1E 为平行四边形，所以 C1F∥GE ，由 GE⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE ，所以 C1F∥平面ABE．
（3） 由题目条件，VE−ABC=13×12×3×1×2=33 .
25. （1） 联立曲线 M,N 消去 y 可得 x−42+2x−m2=0，即 x2−6x+16−m2=0，根据条件可得
Δ=36−416−m2>0,x1+x2=6>0,x1x2=16−m2>0,
解得 7
SABCD=y1+y2x2−x1=x1+x2x2−x1=x1+x2+2x1x2⋅x1+x22−4x1x2=6+216−m2⋅36−4×16−m2.
令 t=16−m2，则 t∈0,3，
SABCD=6+2t⋅36−4t2=22×−t3−3t2+9t+27.
设 ft=−t3−3t2+9t+27，则令
fʹt=−3t2−6t+9=−3t2+2t−3=−3t−1t+3=0.
可得当 t∈0,3 时，fx 的最大值为 f1=32，从而 SABCD 的最大值为 16．
此时 t=1，即 16−m2=1，则 m2=15．
联立曲线 M,N 的方程消去 y 并整理得 x2−6x+1=0，解得 x1=3−22,x2=3+22，
所以 A 点坐标为 3−22,2−1，C 点坐标为 3+22,−2−1，
kAC=−2−1−2−13+22−3−22=−12.
则直线 AC 的方程为
y−2−1=−12x−3−22.
当 y=0 时，x=1，由对称性可知 AC 与 BD 的交点在 x 轴上，
即对角线 AC 与 BD 交点坐标为 1,0．
26. （1） 设椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0, 因为抛物线 x2=42y 的焦点是 0,2 ， b=2 .
由 ca=32,a2=b2+c2, 得 a=22 .
所以椭圆的标准方程为 x28+y22=1 .
（2） i 设 Ax1,y1,Bx2,y2, 直线 AB 的方程为 y=12x+t,
联立 x28+y22=1,y=12x+t.
得：2x2+4tx+4t2−8=0, 即 x2+2tx+2t2−4=0 .
由 Δ>0, 解得 −2
在 x28+y22=1 中，令 x=2 得 P2,1,Q2,−1
所以四边形 APBQ 的面积 :
S=S△APQ+S△BPQ=12∣PQ∣∣x2−x1∣=12×2×∣x2−x1∣=∣x2−x1∣=x1+x22−4x1x2=4t2−42t2−4=−4t2+16.
所以当 t=0 时，Smax=4 .
ii 当 ∠APQ=∠BPQ 时，PA,PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k, 则 PB 的斜率为 −k .
所以 PA 的直线方程为 y−1=kx−2 .
由 y−1=kx−2,x28+y22=1.,
得：1+4k2x2+8k1−2kx+41−2k2−8=0 .
所以 x1+2=8k2k−11+4k2；
同理 PB 的直线方程为 y−1=−kx−2，
可得 x2+2=8k2k+11+4k2 .
所以 x1+x2=16k2−41+4k2,x1−x2=−16k1+4k2 .
所以直线 AB 的斜率为：
kAB=y1−y2x1−x2=kx1−2+1+kx2−2−1x1−x2=kx1+x2−4kx1−x2=k⋅16k2−41+4k2−4k−16k1+4k2=12.
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