专题03 正弦、余弦函数图像与性质【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（北师大版2019必修第二册）

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专题03 正弦、余弦函数图像与性质【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（北师大2019版）一、单选题1．（2021·全国高三专题练习）如果函数y＝sinωx在区间上单调递减，那么ω的取值范围是（    ）A．[－6，0) B．[－4，0)C．(0，4] D．(0，6]【答案】B【分析】由正弦函数的单调性可得出，再结合正弦函数的单调性列出不等式组，求解得出ω的取值范围.【详解】因为函数在区间上单调递减所以且函数在区间上单调递增则即求得故选：B【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用正弦函数的单调性列出不等式组，从而得出的取值范围.2．（2021·江西上饶市·高三其他模拟（理））已知函数的图象如图所示，则此函数可能是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由图象对称性确定奇偶性，再由函数值的正负排除错误选项，得出正确结论．【详解】图象关于原点对称，为奇函数，CD中定义域是，不合，排除，AB都是奇函数，当时，A中函数值为负，B中函数值为正，排除B．故选：A．【点睛】思路点睛：本题考查由函数图象选择函数解析式，可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3．（2021·全国高三月考（理））已知函数的局部图象如图所示，则下列选项中可能是函数解析式的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函数的奇偶性首先排除选项A,D,再通过特殊值排除选项B，确定正确答案.【详解】选项A，，是偶函数，其图象关于轴对称，所以选项A错误；同理选项B,C的函数是奇函数，它们的图象关于原点对称；选项D的函数也是偶函数，其图象关于轴对称，所以选项D错误；当时，，与函数的图象不符，所以选项B错误；当时，，与图象相符，所以选项C正确.故选：C【点睛】方法点睛：根据函数的图象找解析式，一般研究函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等，来确定正确答案.4．（2021·全国高三月考（理））已知函数的部分图象如图所示，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由最小值可知，再结合与可解其他参数值．【详解】由图象可知.因为，所以.又，可得由，所以，解得，结合选项可知，因此，故选：D．5．（2021·全国高三专题练习（文））函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数为奇函数，排除C、D，根据，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，又由，所以函数为奇函数，排除C、D；又因为，结合选项，可得选项A适合.故选：6．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数，则下列结论中错误的是（    ）A．为偶函数 B．的最大值为C．在区间上单调递增 D．的最小正周期为【答案】C【分析】利用二倍角公式和三角函数性质对每个选项进行判断即可.【详解】已知函数，当， 时，，当， 时，，A选项，，所以 为偶函数正确，B选项，的最大值为，正确，C选项，在区间上不单调，错误，D选项，的最小正周期是，D选项正确，故选：C.7．（2021·河南高三月考（理））已知函数的部分图象如图所示.给出下列结论：①，，；②，；③点为图象的一个对称中心；④在上单调递减.其中所有正确结论的序号是（    ）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】D【分析】根据图象，先求函数的解析式，再根据解析式判断函数的性质.【详解】由图象可知，，，再由，得，故①不正确，②正确；由于为图象的一个对称中心，又的最小正周期为，故其全部的对称中心为，当时，对称中心为，故③错误；由于为的单调递减区间，的最小正周期为，故的单调递减区间为，当时即为，故④正确.故选：D.【点睛】思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证此区间是否是函数的增或减区间.8．（2021·广西梧州市·高三其他模拟（文））已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，则下列四个结论中正确的是（    ）A．函数的图象关于中心对称B．函数在区间内有个零点C．函数的图象关于直线对称D．函数在区间上单调递增【答案】B【分析】求出的值，利用正弦型函数的对称性可判断AC选项的正误；在区间上解方程，可判断B选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误.【详解】由的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为，可得，所以，.A中，，A错误；B中，当时，，当或或或时，即当或或或时，，B正确；C中，，C错误；D中，当时，，所以，函数在区间上不单调，D错误.故选：B.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．9．（2020·全国高一课时练习）函数的定义域是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用负数不能开偶次方根，再由三角不等式的解法求解．【详解】由，得，解得．所以函数的定义域是.故选：D．10．（2021·四川资阳市·高一期末）函数的最大值为（    ）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】函数表示为，利用换元法，，根据二次函数的性质可得结果.【详解】函数，令，，则，，所以当时，函数取得最大值为.故选：D.二、多选题11．（2021·福建漳州市·龙海二中高三月考）已知函数，下列结论正确的是（    ）A．的最小正周期为B．函数的图象关于直线对称.C．函数在上单调递增D．方程在上有个不同的实根【答案】ABD【分析】化简函数的解析式，作出函数的图象，结合函数的图象，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数，作出在上的图象，将的图象向下平移个单位可得到的图象，将所得图象在轴下方的部分沿轴翻折，如图所示，由图可知的最小正周期为，故正确；曲线关于直线对称，故正确；函数在上单调递减，则错误；方程在上有个不同的实根，所以正确.故选：ABD.12．（2021·广东广州市第二中学高一期末）满足不等式的x的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用三角函数的图象解得即可得解.【详解】由三角函数的图象知，当时，，故B，C，D都可以.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：利用三角函数的图象解不等式是解题关键.三、填空题13．（2021·芷江侗族自治县第一中学高一开学考试）已知且，则___________.【答案】【分析】根据题意可判断为定值，再由，即可求得值.【详解】因为，所以，因为，所以，故答案为：.14．（2021·浙江高一期末）满足的的取值范围是_________．【答案】【分析】作出函数的图象，观察图象即可得结果.【详解】作出函数的图象，如图所示，由图象，可知上，满足的的取值范围是，故答案为：.15．（2021·四川高一开学考试）函数，的值域为____________．【答案】【分析】利用同角的三角函数的基本关系式可得，利用换元法可求函数的值域.【详解】因为，故，令，因为，故，故即函数的值域为.故答案为：.16．（2021·江西宜春市·高安中学高一期末（文））已知，则__________【答案】0【分析】直接将代入求出函数值，再求和即可.【详解】， 故答案为：0四、解答题17．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高一期末）已知函数．（1）求在R上的对称轴方程；（2）若，求的值域．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据三角函数的对称轴方程进行求解即可．（2）求出角的范围，结合函数最值和角的关系求出最值即可．【详解】（1）由，得，即函数的对称轴方程为．（2）若，则，所以，则当时，取得最大值，最大值为，当时，取得最小值，最小值为，即函数的值域为．18．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高一期末）设，函数．（1）求在R上的单调增区间；（2）在给定坐标系中作出函数在上的图象．【答案】（1）；（2）图见解析.【分析】（1）由条件根据余弦函数的单调性即可求解．（2）由条件利用五点法作函数函数在一个周期上的简图．【详解】解：（1）由于，函数，令，解得，可得函数的单调递增区间是．（2），列表如下：0x0100作图：19．（2020·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝2cos.（1）求f(x)的单调递增区间．（2）求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．【答案】（1） (k∈Z)；（2）x＝ (k∈Z)时，f(x)取最小值-2.【分析】（1）由余弦函数的单调性可直接求解；（2）由余弦函数的性质可知＝2kπ－π(k∈Z)即可求解.【详解】（1）令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，解得≤x≤ (k∈Z)．∴f(x)的单调递增区间为  (k∈Z)．（2）当＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取最小值－2.即x＝ (k∈Z)时，f(x)取最小值－2.20．（2021·湖南省长沙县第九中学高一期末）已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调递减区间；（3）求在区间上的最大值和最小值【答案】（1）；（2）；（3）最小值为；最大值为.【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（2）解不等式，可得出函数的单调递减区间；（3）由求出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的最小值和最大值.【详解】（1）因为，所以函数的最小正周期；（2）由，得.即函数的单调递减区间为；（3）因为，所以，所以，当即时，函数取最小值，；当即时，函数取最大值，.【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.21．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高一期末）在①将函数f(x)图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称：②函数是奇函数；③当时，函数取得最大值.三个中任选一个，补充在题干中的横线处，然后解答问题.题干：已知函数，其中，其图象相邻的对称中心之间的距离为，___________.（1）求函数y=f(x)的解析式；（2）求函数y=f(x)在上的最小值，并写出取得最小值时x的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）时，函数f(x)取得最小值，最小值为.【分析】（1）由相邻中心距离得周期，从而可得，选择①，写出平移后解析式，由对称性得新函数为偶函数，结合诱导公式求得，选择②，求出，由函数为奇函数，结合诱导公式求得，选择③，求出，代入，结合正弦函数最大值可得，从而得函数解析式；（2）由，求得的范围，然后由正弦函数性质得最小值．【详解】（1）因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象相邻的对称中心之间的距离为，所以周期，即T=π，所以.若选择①，因为函数f(x)图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称，所以的图象关于y轴对称，所以，， 因为，所以.所以函数y=f(x)的解析式为.若选择②，因为是奇函数，所以，，因为，所以.所以函数y=f(x)的解析式为.若选择③，，由题设，当时，函数取得最大值，所以当，即，因为，所以.所以函数y=f(x)的解析式为.（2）因为，，所以，所以当，即时，函数f(x)取得最小值，最小值为.【点睛】关键点点睛：本题考查由三角函数的图象与性质求解析式，解题关键是掌握正弦函数的图象与性质，解题时注意“五点法”和整体思想的应用．对于奇偶性问题注意诱导公式的应用，由此计算比较方便．22．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高一期末）已知（a为常数）．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）若当时，的最大值为4，求a的值．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）利用诱导公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性求解．（2）根据得到，然后利用正弦函数的性质求解.【详解】（1），它的最小正周期为．令，解得，所以函数的单调递增区间为．（2）因为时，所以，所以的最大值为，解得．【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式；2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为；3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．