广东省六校2021-2022学年高三上学期第三次联考数学试题含答案

这是一份广东省六校2021-2022学年高三上学期第三次联考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届六校第三次联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则 (   )A.   B.    C.       D.2．设命题，命题对任何，都有．若命题是真命题，命题是假命题，则实数的取值范围是(   )   A.     B.      C.        D. 3.已知为虚数单位，若复数，是的共轭复数，则＝(   )A.                  B.                 C.             D.  4.定义在上的奇函数满足.若，则=(   )A.                 B.                  C.               D. 5.已知公差不为的等差数列中，，且，，成等比数列，则其前项和取得最大值时，的值为(   )A.              B.                 C. 或       D. 或 6.设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是(   )A．          B．            C．             D．7.已知函数的部分图象如图1所示.若，则的值为(   )A.         B.        C.        D. 8.设实数满足 ，则的取值范围是(   ) A．        B．            C．             D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知直线过点且与圆相切，直线与轴交于点，点是圆上的动点，则下列结论中正确的有(   )       A. 点的坐标为              B. 面积的最大值为 C. 当直线与直线垂直时，D. 的最大值为 10.中，为上一点且满足，若为线段上一点，且满足（为正实数），则下列结论正确的是(   )A．                   B．C．的最大值为 D．的最小值为11.已知函数在上是单调函数，则下列结论中正确的有(   )A. 当时，的取值范围是B. 当时，的取值范围是C. 当时，的取值范围是D. 当时，的取值范围是12. 如图2，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方体表面上运动.以下命题正确的有（     ）A. 侧面上不存在点，使得
B. 点到面的距离与点到面的距离之比为C. 若点满足平面，则动点的轨迹长度为D.若点到点的距离为，则动点的轨迹长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知椭圆的离心率为，则实数的值为       . 14.已知等差数列的前项和为，且，，成公比为的等比数列，则      . 15.已知正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是            . 16.若对任意的，且当时，都有，则的最小值是       .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知中内角的对边分别是，且.（1）求角；（2）若，，求的面积. 18.（12分）某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为台，若年产量不足台，则每台设备的额外成本为万元；若年产量大于等于台小于等于台，则每台设备的额外成本为.每台设备售价为万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式；（2）当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？19.（12分）已知数列满足，.（1）若等差数列恰使数列是以为首项，为公比的等比数列，求使不等式恒成立的实数的最小值；（2）设数列的前项和为，求，.  20.（12分）如图3，已知四边形为正方形，平面， ，，,为线段上的动点，为的中点.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值的取值范围.       21.（12分）在平面直角坐标系中，已知圆，，动圆经过点且与圆相外切，记动圆的圆心的轨迹为.（1）求的方程；（2）试问，在轴上是否存在点，使得过点的动直线交于两点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.   22.（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若满足，求证：. 2022届六校第三次联考数学试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共40分.12345678DBDACAC B二、多选题：每小题5分，共20分.9101112ABDADADBD   三、填空题：每小题5分，共20分.(13) 或；  （14）；  （15）；   （16）.四、解答题17.（10分）已知中内角的对边分别是，且.（1）求角；（2）若，，求的面积.解：（1）， …………………………………………1分，，即，   ……………………………3分解得或.，，    ……………………………………………………4分或.  ……………………………………………………………………5分（2）①当时，由余弦定理得：，化简得：，，  ………………………………………………7分.  ……………………………………………………………8分②当时，由余弦定理得：，化简得：，，不符合题意，舍去.综上，的面积为.  ………………………………………………………10分 18.（12分）某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为台，若年产量不足台，则每台设备的额外成本为万元；若年产量大于等于台小于等于台，则每台设备的额外成本为.每台设备售价为万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式；（2）当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？解：（1）当且时，；当且时，.∴    ………………………………5分（2）解：①当且时，，∴当时，取得最大值，最大值为万元. ………………………………8分②当且时，，当且仅当，即时，取得最大值，最大值为万元.   ………11分,当年产量为台时，年利润最大，最大值为万元.  ……12分 19.（12分）已知数列满足，.（1）若等差数列恰使数列是以为首项，为公比的等比数列，求使不等式恒成立的实数的最小值；（2）设数列的前项和为，求，.    解：（1）（法一）由，，令，得， …………………………………………………………1分，，，， 又为等差数列，.   …………………………………………………3分               .     因此，实数的最小值为.……………………………………………………………5分（法二），    ，，…………………………………………2分则数列是公比为的等比数列，依题意.   …………………………3分后面同法一（略）.（2）由（1）有数列是以为首项，为公比的等比数列，，则.    ……………………………………………7分  ，设，   …………………①则，………………②由①-②，得，.  ………………………………………………………………10分又，.   ……………………………………………………12分20.（12分）如图3，已知四边形为正方形，平面， ，，,为线段上的动点，为的中点.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值的取值范围.解：（1）因为，，所以，则共面. 因为平面，且平面，所以.又，则.由，且为的中点，得，又，所以平面.因为平面，所以.  ………………………………………………………………………5分（2）（法一）连，平面即为平面， 在中，，，，，则，………………7分，…………………8分因为，平面，所以平面，又因为平面，所以点到平面的距离等于的长度，设点到平面的距离为，根据，得.………10分因为点为线段上的动点，所以的最小值为的边上的高，的最大值为边长与边长中的最大者.在中，，,边上的高为，则.设与平面所成角为，则.因此，与平面所成角的正弦值的取值范围为. ………………12分（法二）如图，以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，.,，设平面的法向量为，则 即 令，得，所以.     ……………………………………8分因为为线段上的动点，所以可设，，设与平面所成角为，则，………10分，，，，则.因此，与平面所成角的正弦值的取值范围为.…………………12分 21.（12分）在平面直角坐标系中，已知圆，，动圆经过点且与圆相外切，记动圆的圆心的轨迹为.（1）求的方程；（2）试问，在轴上是否存在点，使得过点的动直线交于两点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设动圆的半径长为，则，，.  …………………………………………………………………2分因此，圆心的轨迹为以、为焦点，实轴长为的双曲线的右支，设的方程为，则根据双曲线定义，，，   …………………………………………………………………4分因此，的方程为.   ……………………………………………5分（说明：没写的范围扣1分） （2）不存在满足条件的点，理由如下：   假设存在满足条件的点，设点的坐标为，直线的斜率为，则直线的方程为，由 消去并整理，得， 设、，则，，……（*）………6分由，得，即， 将，代入上式并化简，得. …………………………………………………8分将（*）式代入上式，有，解得.…10分而当直线交于两点时，必须有且.当时，，，由 无解，则当时，不符合条件.因此，不存在满足条件的点.  ……………………………………………………12分 22.（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若满足，求证：.解：（1）. ①当时， ，由，得；由，得;②当时，由，得或；由，得;③当时，;④当时，由，得或，由，得.综上：当时，的单调减区间为，单调增区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为；当时，的单调减区间为，无单调增区间；当时，的单调减区间为，单调增区间为.…………5分（2）不妨设，由(1)知，当且当时，有.（法一）：要证，即证,，且在单调递减，即证,由，转证：. ,，转证：, ……………………………………………6分令,则，在上单调递减，，从而不等式成立.   ………………………………………8分同理，要证，即证.，且在单调递减，即证，由于，则即证.,，转证：. ………………………………9分令,则，在上单调递增，则. ………………………………………10分,令，则,在上是单调递减函数，则,即. ………11分由在上单调递增，则，从而不等式成立.综合可得成立. …………………………………………………………12分法二：先证明对数平均不等式：.即证：，即证.令，即证，……（*）    ………………7分令，则，，，，不等式成立，从而对数平均不等式成立. …………………………………………9分由，有 ，解得，…………………………………………………………10分由对数平均不等式，有，两边平方，得，令，则，即，解得.因此，不等式成立. ……………………………………………………12分