辽宁省沈阳市和平区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）

这是一份辽宁省沈阳市和平区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省沈阳市和平区九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）
1．如图是一根空心方管，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
2．顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．三角形
3．一只不透明袋子中装有1个绿球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将口袋中的球拌匀，从中随机摸出个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，获得数据如下：
摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到黑球的频数
142
186
260
668
1064
1333
摸到黑球的频率
0.7100
0.6200
0.6500
0.6680
0.6650
0.6665
该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，由此估计这个口袋中黑球有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x＝﹣4 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣2
5．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中①号“E”字的高度BC长为b，当测试距离为3m时，②号“E”字的高度DF长为（　　）

A．5b B．3b C．b D．b
6．如图，点D，E是△ABC中AB边上的点，△CDE是等边三角形，且∠ACB＝120°，则下列结论中正确的是（　　）

A．CD2＝AD•BE B．BC2＝BE•BD
C．AC2＝AD•AE D．AC•BC＝AE•BD
7．将抛物线y＝x2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣2，4） D．（2，﹣3）
8．如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形EFGH的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形EFGH的边长为（　　）cm．

A．2 B．2.5 C．3 D．4
9．如图，点P，点Q都在反比例函数y＝的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q作x轴的垂线，交x轴于点A，△OAQ的面积为S2，若S1+S2＝3，则k的值为（　　）

A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
10．某商场在销售一种日用品时发现，如果以单价20元销售，则每周可售出100件，若销售单价每提高0.5元，则每周销售量会相应减少2件．如果该商场这种日用品每周的销售额达到2024元．若设这种日用品的销售单价为x元，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A．（20+x）（100﹣2x）＝2024
B．（20+x）（100﹣）＝2024
C．x[100﹣2（x﹣20）]＝2024
D．x（100﹣×2）＝2024
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气体体积为2m3时，气压是 　 　kPa．

12．如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．若AF＝5，BF＝3，则AC的长为 　 　．

13．在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF位似，位似中心是原点O．已知A与D是对应顶点．且A，D的坐标分别是A（9，18），D（3，6），若△DEF的周长为3，则△ABC的周长为 　 　．
14．甲公司前年缴税100万元，今年缴税121万元，则该公司缴税的年平均增长率 　 　．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF＝EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H在线段AB上，则的值是 　 　．

16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有 　 　（只填写序号）．

三、解答题（第17题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．解方程：2y2+6y＝y+3．
18．计算：|cos60°﹣|+（sin30°）﹣1﹣．
19．在一个不透明的盒子里有红球、黄球、绿球各一个，它们除了颜色外其余都相同，小颖从盒子里随机摸出一球，记录下颜色后放回盒子里，充分摇匀后，再随机摸出一球，并记录下颜色．请用列表法或画树状图法，求小颖两次摸出的球颜色相同的概率．
四、（每小题8分，共16分）
20．如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形．

21．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．

五、（本题10分）
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是 　 　；
（3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为 　 　．

六、（本题10分）
23．如图，小明父亲想用长为100m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为 　 　，并直接写出x的取值范围是 　 　；
（2）求当x为多少m时，面积S为1050m2；
（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？

七、（本题12分）
24．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12．
（1）求菱形ABCD的面积及周长；
（2）点M是射线DA上一个动点，作射线BM，交射线CA于点E．将射线BM绕点B逆时针旋转后交射线CA于点N，旋转角为∠MBN，且∠MBN＝，连接MN．
①如图2，当点N与点O重合时，求△AMN的周长；
②当AE＝BE时，请直接写出AM的长为 　 　；
③BN＝时，请直接写出AM的长为 　 　．


八、（本题12分）
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴负半轴相交于点A（﹣20，0），与y轴相交于点B（0，﹣15）．
（1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式；
（2）如图2，点C是第三象限内抛物线上的一个动点，连接AC、BC，直线OC与直线AB相交于点D，当△ABC的面积最大时，求此时△ABC面积的最大值及点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为线段OD上的一个动点，点E从点O开始沿OD以每秒个单位长度的速度向点D运动（运动到点D时停止），以OE为边，在OD的左侧做正方形OEFG，设正方形OEFG与△OAD重叠的面积为S，运动时间为t秒．当t＞3时，请直接写出S与t之间的函数关系式为 　 　（不必写出t的取值范围）．




参考答案
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）
1．如图是一根空心方管，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解：从正面看，是内外两个正方形，
故选：A．
2．顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．三角形
【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若邻边互相垂直且相等，那么所得四边形是正方形．
解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，FG＝BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，AC＝BD，
∴EF⊥FG，FE＝FG，
∴四边形EFGH是正方形，
故选：C．

3．一只不透明袋子中装有1个绿球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将口袋中的球拌匀，从中随机摸出个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，获得数据如下：
摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到黑球的频数
142
186
260
668
1064
1333
摸到黑球的频率
0.7100
0.6200
0.6500
0.6680
0.6650
0.6665
该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，由此估计这个口袋中黑球有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，这个常数约为0.667，据此知摸出黑球的概率为0.667，继而得摸出绿球的概率为0.333，求出袋子中球的总个数即可得出答案．
解：该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，这个常数约为0.667，
∴估计摸出黑球的概率为0.667，
则摸出绿球的概率为1﹣0.667＝0.333，
∴袋子中球的总个数为1÷0.333≈3，
∴由此估出黑球个数为3﹣1＝2，
故选：C．
4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x＝﹣4 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣2
【分析】先把各方程化为一般式，再分别计算四个方程的根的判别式，然后根据根的判别式判断各方程根的情况．
解：A．Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B．x2+4x+4＝0，Δ＝42﹣4×1×4＝0，则方程有两个相等的实数根，所以B选项符合题意；
C．Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，则方程没有实数根，所以C选项不符合题意；
D．3x2﹣5x+2＝0，Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：B．
5．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中①号“E”字的高度BC长为b，当测试距离为3m时，②号“E”字的高度DF长为（　　）

A．5b B．3b C．b D．b
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．
解：由题意得：CB∥DF，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝，
∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝b，
∴＝，
∴DF＝b，
故选：C．
6．如图，点D，E是△ABC中AB边上的点，△CDE是等边三角形，且∠ACB＝120°，则下列结论中正确的是（　　）

A．CD2＝AD•BE B．BC2＝BE•BD
C．AC2＝AD•AE D．AC•BC＝AE•BD
【分析】通过证明△ACD∽△CBE，可得，即可求解．
解：∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE＝DE，∠CDE＝∠CED＝∠DCE＝60°，
∴∠DAC+∠DCA＝60°，∠BCE+∠CBE＝60°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠DCA+∠ECB＝60°，
∴∠DCA＝∠CBE，∠ECB＝∠CAD，
∴△ACD∽△CBE，
∴，
∴CD2＝AD•BE，
故选：A．
7．将抛物线y＝x2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣2，4） D．（2，﹣3）
【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．
解：将抛物线y＝x2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得y＝（x+2）2+1+3，即y＝（x+2）2+4，
所以顶点坐标为（﹣2，4），
故选：C．
8．如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形EFGH的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形EFGH的边长为（　　）cm．

A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】设正方形的边长为xcm，然后根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
解：设正方形的边长为xcm，AD与EH交点为P，

∵四边形EFGH是正方形，
∴AP＝AD﹣PD＝（6﹣x）cm，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
∴，
解得：x＝4，
故选：D．
9．如图，点P，点Q都在反比例函数y＝的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q作x轴的垂线，交x轴于点A，△OAQ的面积为S2，若S1+S2＝3，则k的值为（　　）

A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据反比例函数k的几何意义得到S1＝|k|，，如何代入解方程，再根据图象在二、四象限确定k的值．
解：由题意得S1＝|k|，，
则，
解得|k|＝2，
∵图象在二、四象，
∴k＜0，
∴k＝﹣2．
故选：D．
10．某商场在销售一种日用品时发现，如果以单价20元销售，则每周可售出100件，若销售单价每提高0.5元，则每周销售量会相应减少2件．如果该商场这种日用品每周的销售额达到2024元．若设这种日用品的销售单价为x元，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A．（20+x）（100﹣2x）＝2024
B．（20+x）（100﹣）＝2024
C．x[100﹣2（x﹣20）]＝2024
D．x（100﹣×2）＝2024
【分析】根据以20元/件的单价销售，则每天可售出100件，如果销售单价每增加0.5元，则每天销售量会减少2件，该商场为使每天的销售额达到2024元，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
x（100﹣×2）＝2024，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气体体积为2m3时，气压是 　50　kPa．

【分析】设出反比例函数解析式，把点的坐标代入可得函数解析式，把V＝2代入得到的函数解析式，可得P．
解：设P＝，
由图象知100＝，
所以k＝100，
故P＝，
当V＝2时，P＝＝50；
故答案为：50．
12．如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．若AF＝5，BF＝3，则AC的长为 　4　．

【分析】根据矩形的性质得到∠B＝90°，根据勾股定理得到AB＝＝4，根据折叠的性质得到CF＝AF＝5，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵AF＝5，BF＝3，
∴AB＝＝4，
∵将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．
∴CF＝AF＝5，
∴BC＝8，
∴AC＝＝＝4，
故答案为：4．
13．在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF位似，位似中心是原点O．已知A与D是对应顶点．且A，D的坐标分别是A（9，18），D（3，6），若△DEF的周长为3，则△ABC的周长为 　9　．
【分析】直接利用对应点坐标得出位似比，进而得出周长比，即可得出答案．
解：∵A，D的坐标分别是A（9，18），D（3，6），
∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，
∴△ABC与△DEF的周长比为：3：1，
∵△DEF的周长为3，
∴△ABC的周长为：9．
故答案为：9．
14．甲公司前年缴税100万元，今年缴税121万元，则该公司缴税的年平均增长率 　10%　．
【分析】设公司缴税的年平均增长率为x，根据增长后的纳税额＝增长前的纳税额×（1+增长率），即可得到去年的纳税额是100（1+x）万元，今年的纳税额是100（1+x）2万元，据此即可列出方程求解．
解：设该公司缴税的年平均增长率为x，依题意得100（1+x）2＝121
解方程得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）
所以该公司缴税的年平均增长率为10%．
故答案为：10%．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF＝EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H在线段AB上，则的值是 　　．

【分析】设AB＝2a，由正方形的性质和勾股定理求出BE的长，可得EF的长，再求出AF的长，得出AH的长，进而可得结果．
解：设AB＝2a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝2a，∠BAD＝90°，
∵E点为AD的中点，
∴AE＝a，
∴BE＝＝＝a，
∴EF＝BE＝a，
∴AF＝EF﹣AE＝（﹣1）a，
∵四边形AFGH为正方形，
∴AH＝AF＝（﹣1）a，
∴＝＝，
故答案为：．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有 　①②③④⑤　（只填写序号）．

【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断①；根据函数的增减性可判断②；由抛物线开口方向及对称轴可得x＝﹣1时y最大，从而判断③；由对称轴可得b＝2a，由x＝﹣1时y＜0可判断④；根据函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点可判断⑤．
解：由图象可知：a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向下，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵k是实数，
∴k2+2＞k2+1＞﹣1，
∴a（k2+2）2+b（k2+2）+c＜a（k2+1）2+b（k2+1）+c，
即a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1），
故②正确；
∵抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c）
∴y最大＝a﹣b+c＝﹣a+c，
∴am2+bm+c≤﹣a+c，
即m（a+b）≤﹣a，
故③正确；
由图象知，x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，
故④正确；
根据图象可知，函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，
故⑤正确，
故答案为：①②③④⑤．
三、解答题（第17题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．解方程：2y2+6y＝y+3．
【分析】先变形为2y（y+3）﹣（y+3）＝0，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
解：∵2y2+6y＝y+3，
∴2y（y+3）﹣（y+3）＝0，
∴（y+3）（2y﹣1）＝0，
∴y+3＝0或2y﹣1＝0，
解得y1＝﹣3，y2＝．
18．计算：|cos60°﹣|+（sin30°）﹣1﹣．
【分析】先计算特殊角的三角函数值，再计算绝对值、负整数指数幂、开方，最后计算加减．
解：|cos60°﹣|+（sin30°）﹣1﹣
＝|﹣|+﹣
＝|﹣1|+2﹣
＝1+2﹣3
＝0．
19．在一个不透明的盒子里有红球、黄球、绿球各一个，它们除了颜色外其余都相同，小颖从盒子里随机摸出一球，记录下颜色后放回盒子里，充分摇匀后，再随机摸出一球，并记录下颜色．请用列表法或画树状图法，求小颖两次摸出的球颜色相同的概率．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小颖两次摸出的球颜色相同的结果有3个，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，小颖两次摸出的球颜色相同的结果有3个，
∴小颖两次摸出的球颜色相同的概率为＝．
四、（每小题8分，共16分）
20．如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形．

【分析】先证DE＝DC，DF＝DC，则DE＝DF，再证四边形AECF是平行四边形，然后证∠ECF＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：∵PQ∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，∠DFC＝∠GCF，
∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACG，
∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，
∴∠DEC＝∠DCE，∠DFC＝∠DCF，
∴DE＝DC，DF＝DC，
∴DE＝DF，
∵点D是边AC的中点，
∴AD＝CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BCA+∠ACG＝180°，
∴∠ECF＝∠DCE+∠DCF＝×180°＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
21．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．

【分析】根据垂直的定义得到∠FOE＝90°，推出AB∥EO，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论．
解：∵EO⊥BF，
∴∠FOE＝90°，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥EO，
∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，
∴，＝，
∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，
∴＝，＝
解得：AB＝3．
答：围墙AB的高度是3m．

五、（本题10分）
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是 　﹣1＜x＜0或x＞2　；
（3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为 　（1﹣，）或（﹣，1+）　．

【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数关系式求出k，把y＝0代入一次函数关系式求得B点横坐标，进而求得结果；
（2）先求出直线和反比例函数另一个交点坐标，然后由图象得出结果；
（3）因为CD∥OB，所以只需CD＝OB，设点C的纵坐标是a，表示出C、D两点横坐标，列出方程求得结果．
解：（1）∵y＝过A（2，﹣1），
∴k＝xy＝2×（﹣1）＝﹣2，
∴y＝，
由y＝0得，﹣x+1＝0，
∴x＝1，
∴B（1，0）；
（2）由＝﹣x+1得，
x1＝2，x2＝﹣1，
∴当一次函数值小于反比例函数值时，
﹣1＜x＜0或x＞2，
故答案是：﹣1＜x＜0或x＞2；
（3）设C（1﹣a，a），D（，a），
∴CD＝|1﹣a+|，
当CD＝OB时，
|1﹣a+|＝1，
∴a＝±，a＝1±
∵C在第二象限，
a＝或a＝1+，
∴C（1﹣，）或（﹣，1+），
故答案是：（1﹣，）或（﹣，1+）．
六、（本题10分）
23．如图，小明父亲想用长为100m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为 　S＝﹣2x2+100x　，并直接写出x的取值范围是 　30≤x＜50　；
（2）求当x为多少m时，面积S为1050m2；
（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？

【分析】（1）根据BC＝（栅栏总长﹣2AB），再利用矩形面积公式即可求出；
（2）把S＝1050代入（1）中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可；
（3）根据二次函数的性质以及自变量的取值范围求最值即可．
解：（1）∵AB＝CD＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，
∴S＝x（100﹣2x）＝﹣2x2+100x，
∵0＜100﹣2x≤40，
∴30≤x＜50，
∴S与x之间的函数表达式为S＝﹣2x2+100x，自变量x的取值范围是30≤x＜50，
故答案安为：S＝﹣2x2+100x，30≤x＜50；
（2）令S＝1050，则﹣2x2+100x＝1050，
解得：x1＝15，x2＝35，
∵30≤x＜50，
∴x＝35，
∴当x为35m时，面积S为1050m2；
（3）∵S＝﹣2（x2﹣50x+625﹣625）＝﹣2（x﹣25）2+1250，
∵﹣2＜0，
∴当x＞25时，S随着x的增大而减小，
∵30≤x＜50，
∴当x＝30时，S有最大值为1200，
∴当AB＝30m，BC＝40m时，面积S有最大值为1200m2．
七、（本题12分）
24．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12．
（1）求菱形ABCD的面积及周长；
（2）点M是射线DA上一个动点，作射线BM，交射线CA于点E．将射线BM绕点B逆时针旋转后交射线CA于点N，旋转角为∠MBN，且∠MBN＝，连接MN．
①如图2，当点N与点O重合时，求△AMN的周长；
②当AE＝BE时，请直接写出AM的长为 　　；
③BN＝时，请直接写出AM的长为 　10或0　．


【分析】（1）利用勾股定理求出AB，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可；
（2）①如图2中，过点M作M⊥BD于G，MK⊥AB于点K，MH⊥AC于H．利用面积法证明＝，求出求出AM，解直角三角形求出OM，可得结论；
②如图3中，设AE＝BE＝x．利用勾股定理求出x，再利用平行线分线段成比例定理求出AM即可；
③分两种情形：如图3﹣1中，当点N在点O的右侧时，作BQ平分∠ABD交AC于点Q．证明点M与点D重合，可得结论．如图3﹣2中，当点N在点O的左侧时，点M与A重合，可得结论．
解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴菱形的周长为16，菱形的面积＝×16×12＝96；

（2）①如图2中，过点M作M⊥BD于G，MK⊥AB于点K，MH⊥AC于H．

∵∠MBD＝∠ABD，
∴∠ABM＝∠MBD，
∴MG＝MK，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴AM＝AD＝，
∵MH∥DO，
∴△AHM∽△AOD，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AH＝，MH＝，
∴OH＝AO﹣AH＝8﹣＝，
∴MO＝＝＝，
∴△AMN的周长＝AM+AO+MO＝+8+＝+；

②如图3中，设AE＝BE＝x．

∵∠EOB＝90°，
∴OE2+OB2＝BE2，
∴（8﹣x）2+62＝x2，
∴x＝，
∴AE＝
∴EC＝AC﹣AE＝16﹣＝，
∵AM∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝．
故答案为：；

③如图3﹣1中，当点N在点O的右侧时，作BQ平分∠ABD交AC于点Q．

在Rt△BON中，ON＝＝＝3，
由（1）可知：＝，
∴＝＝，
∴OQ＝AO＝3，
∴ON＝OQ，
∵BO⊥QN，
∴BQ＝BN，
∴∠QBO＝∠NBO，
∵∠NBM＝∠ABD＝∠QBO，
∴∠NBO＝∠NBM，
∴点M与D重合，
∴AM＝10．

如图3﹣2中，当点N在点O的左侧时，点M与A重合，此时AM＝0．

综上所述，AM的长为10或0．
八、（本题12分）
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴负半轴相交于点A（﹣20，0），与y轴相交于点B（0，﹣15）．
（1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式；
（2）如图2，点C是第三象限内抛物线上的一个动点，连接AC、BC，直线OC与直线AB相交于点D，当△ABC的面积最大时，求此时△ABC面积的最大值及点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为线段OD上的一个动点，点E从点O开始沿OD以每秒个单位长度的速度向点D运动（运动到点D时停止），以OE为边，在OD的左侧做正方形OEFG，设正方形OEFG与△OAD重叠的面积为S，运动时间为t秒．当t＞3时，请直接写出S与t之间的函数关系式为 　S＝﹣+160t﹣240　（不必写出t的取值范围）．


【分析】（1）把A、B两点坐标代入抛物线的表达式即可；
（2）作CE⊥OA，交AB于F，设点E和F的坐标，根据三角形面积公式表示出三角形ABC的面积函数表达式，进而根据二次函数性质求得结果；
（3）根据计算得出t＞3时，重合部分是五边形，可用正方形的面积减去两个三角形面积，根据面积比等于相似比的平分表示出△GOH和△IJF的面积，进而表示出S．
解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝+﹣15，
设AB的函数表达式是y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x﹣15；
（2）如图1，

△ABC的面积记作S，
作CE⊥OA于E，交AB于F，
设C（a，a2+a﹣15），F（a，﹣a﹣15），
∴EF＝（﹣﹣（+﹣15）＝﹣﹣a，
∴S＝EF•AO＝（﹣﹣a）×20＝﹣（a+10）2+225，
∴当a＝﹣10时，S最大＝225，
当a＝﹣10时，y＝+﹣15＝﹣30，
∴C（﹣10，﹣30）；
（3）如图2，

作AN⊥OD于N，
∵C（﹣10，﹣30），
∴OC的解析式是：y＝3x，
由得，
，
∴D（﹣4，﹣12），
∵A（﹣20，0），OD＝4，
∴AD＝20，ON＝2，
∴OA＝AD，S△AON＝60，
∵OE＝t，OD＝4，
∴DE＝4﹣t，
∴JE＝3（4﹣t），
∴IJ＝EF﹣JE＝t﹣3（4﹣t）＝4（t﹣3），
可得：△GFI∽△OGH∽△ANO，
∴＝（）2＝[]2，＝（）2＝（）2，
∴S△IJF＝（t﹣3）2，S△GOH＝，
∴S＝S正方形OEFG﹣S△IJF﹣S△GOH
＝10t2﹣t2﹣（t﹣3）2
＝﹣+160t﹣240，
故答案是：S＝﹣+160t﹣240．